توزيع بيتا الأولي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 77 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع بيتا الأولي (المعروف أيضًا باسم توزيع بيتا المعكوس أو توزيع بيتا من النوع الثاني [ 1 ] ) توزيعًا احتماليًا متصلًا تمامًا .ص∈[0،1]{\displaystyle p\in [0,1]}إذا كان التوزيع بيتا ، فإن الاحتمالاتص1-ص{\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}له توزيع بيتا أولي.

التعريفات

يتم تعريف توزيع بيتا الأولي لـx>0{\displaystyle x>0}بمعاملين α و β ، ودالة كثافة الاحتمال الخاصة بهما :

و(x)=xα-1(1+x)-α-βب(α،β){\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

حيث B هي دالة بيتا .

دالة التوزيع التراكمي هي

F(x؛α،β)=أناx1+x(α،β)،{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}

حيث I هي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة .

بينما يُعدّ توزيع بيتا المرتبط التوزيع المسبق المترافق لمعلمة توزيع برنولي مُعبَّرًا عنه كاحتمال، فإنّ توزيع بيتا برايم هو التوزيع المسبق المترافق لمعلمة توزيع برنولي مُعبَّرًا عنه كنسبة احتمالية . هذا التوزيع هو توزيع بيرسون من النوع السادس . [ 1 ]

نمط المتغير X الموزع على النحو التاليβ′(α،β){\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )}يكونX^=α-1β+1{\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}. ومعناه هوαβ-1{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}لوβ>1{\displaystyle \beta >1}(لوβ≤1{\displaystyle \beta \leq 1}المتوسط ​​لانهائي (بمعنى آخر، ليس له متوسط ​​محدد) وتباينه هوα(α+β-1)(β-2)(β-1)2{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}لوβ>2{\displaystyle \beta >2}.

ل-α<ك<β{\displaystyle -\alpha <k<\beta }اللحظة k​هـ[Xك]{\displaystyle E[X^{k}]}يُعطى بواسطة

هـ[Xك]=ب(α+ك،β-ك)ب(α،β).{\displaystyle E[X^{k}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta -k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}

لك∈شمال{\displaystyle k\in \mathbb {N} }معك<β،{\displaystyle k<\beta ,}وهذا يتبسط إلى

هـ[Xك]=∏أنا=1كα+أنا-1β-أنا.{\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}

يمكن كتابة دالة التوزيع التراكمي أيضًا على النحو التالي:

xα⋅2F1(α،α+β،α+1،-x)α⋅ب(α،β){\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

أين2F1{\displaystyle {}_{2}F_{1}}هي دالة غاوس فوق الهندسية 2 F 1  .

تحديد المعلمات البديلة

يمكن أيضًا إعادة تحديد معلمات توزيع بيتا برايم من حيث معلمات المتوسط ​​μ  >  0 والدقة ν  >  0 ( [ 2 ] ص.  36).

خذ بعين الاعتبار المعلمات μ = α /( β − 1) و ν = β − 2، أي α = μ (1 + ν ) و β = 2 + ν . تحت هذه المعلمة E[ Y ] = μ و Var[Y] = μ (1 + μ )/ ν .                  

تعميم

يمكن إضافة معيارين آخرين لتشكيل توزيع بيتا برايم المعممβ′(α،β،ص،q){\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}:

دالة كثافة الاحتمال :

و(x؛α،β،ص،q)=ص(xq)αص-1(1+(xq)ص)-α-βqب(α،β){\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{q\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

مع المتوسط

qΓ(α+1ص)Γ(β-1ص)Γ(α)Γ(β)لو βص>1{\displaystyle {\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1}

والوضع​

q(αص-1βص+1)1صلو αص≥1{\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1}

لاحظ أنه إذا كان p = q = 1 فإن توزيع بيتا الأولي المعمم يختزل إلى توزيع بيتا الأولي القياسي .

يمكن الحصول على هذا التعميم من خلال التحويل العكسي التالي. إذاy∼β′(α،β){\displaystyle y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}وx=qy1/ص{\displaystyle x=qy^{1/p}}لq،ص>0{\displaystyle q,p>0}، ثمx∼β′(α،β،ص،q){\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}.

توزيع جاما المركب

يُعد توزيع جاما المركب [ 3 ] تعميمًا لتوزيع بيتا برايم عند إضافة معامل المقياس q ، ولكن حيث p  =  1. وقد سُمي بهذا الاسم لأنه يتكون من خلال دمج توزيعين جاما :

β′(x؛α،β،1،q)=∫0∞جي(x؛α،ر)جي(ر؛β،q)در{\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr}

أينجي(x؛أ،ب){\displaystyle G(x;a,b)}دالة توزيع جاما ذات شكلأ{\displaystyle a}ومقياس معكوسب{\displaystyle b}.

يمكن الحصول على المنوال والمتوسط ​​والتباين لـ γ المركب عن طريق ضرب المنوال والمتوسط ​​في مربع المعلومات أعلاه في q والتباين في q 2 .

طريقة أخرى للتعبير عن التراكم هي إذار∼جي(β،q){\displaystyle r\sim G(\beta ,q)}وx|ر∼جي(α،ر){\displaystyle x\mid r\sim G(\alpha ,r)}، ثمx∼β′(α،β،1،q){\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)}يُتيح هذا إحدى طرق توليد متغيرات عشوائية ذات توزيعات جاما المركبة أو بيتا الأولية. وهناك طريقة أخرى تتمثل في نسبة متغيرات جاما المستقلة، كما هو موضح أدناه.

ملكيات

  • لوX∼β′(α،β){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}ثم1X∼β′(β،α){\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}.
  • لوY∼β′(α،β){\displaystyle Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}، وX=qY1/ص{\displaystyle X=qY^{1/p}}، ثمX∼β′(α،β،ص،q){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}.
  • لوX∼β′(α،β،ص،q){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}ثمكX∼β′(α،β،ص،كq){\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}.
  • β′(α،β،1،1)=β′(α،β){\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}
  • لوX∼بيتا(α،β){\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}، ثمX1-X∼β′(α،β){\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}و1X-1∼β′(β،α){\displaystyle {\frac {1}{X}}-1\sim \beta '(\beta ,\alpha )}يمكن استخدام هذه الخاصية لتوليد متغيرات موزعة توزيع بيتا الأولي.
  • لوX∼β′(α،β){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}، ثمX1+X∼بيتا(α،β){\displaystyle {\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}و1X+1∼بيتا(β،α){\displaystyle {\frac {1}{X+1}}\sim {\textrm {Beta}}(\beta ,\alpha )}هذا نتيجة طبيعية للخاصية المذكورة أعلاه.
  • لوX∼F(2α،2β){\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )}إذا كان يتبع توزيع F ، فـαβX∼β′(α،β){\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}أو ما يعادل ذلك،X∼β′(α،β،1،βα){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})}.
  • بالنسبة لمعاملات توزيع جاما I:
    • لوXك∼Γ(αك،θك){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})}إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.X1X2∼β′(α1،α2،1،θ1θ2){\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}. ملحوظةθ1،θ2،θ1θ2{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}}جميعها معلمات مقياس لتوزيعاتها الخاصة.
  • فيما يخصّ تحديد معلمات توزيع جاما II:
    • لوXك∼Γ(αك،βك){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})}إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.X1X2∼β′(α1،α2،1،β2β1){\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}. الβك{\displaystyle \beta _{k}}هي معلمات المعدل، بينماβ2β1{\displaystyle {\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}}هو مُعامل قياس.
    • لوβ2∼Γ(α1،β1){\displaystyle \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})}وX2|β2∼Γ(α2،β2){\displaystyle X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})}، ثمX2∼β′(α2،α1،1،β1){\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})}. الβك{\displaystyle \beta _{k}}هي معلمات معدل لتوزيعات جاما، ولكنβ1{\displaystyle \beta _{1}}هو معامل المقياس لـ beta prime.
  • β′(ص،1،أ،ب)=داغوم(ص،أ،ب){\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)}توزيع داغوم
  • β′(1،ص،أ،ب)=سينغ مادالا(ص،أ،ب){\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)}توزيع سينغ -مادالا .
  • β′(1،1،γ،σ)=LL(γ،σ){\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )}التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي .
  • يُعد توزيع بيتا برايم حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع 6 .
  • إذا كان X له توزيع باريتو ذو حد أدنىxم{\displaystyle x_{m}}ومعامل الشكلα{\displaystyle \alpha }، ثمXxم-1∼β′(1،α){\displaystyle {\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}.
  • إذا كان X يتبع توزيع لوماكس ، المعروف أيضًا باسم توزيع باريتو من النوع الثاني، بمعامل شكلα{\displaystyle \alpha }ومعامل المقياسλ{\displaystyle \lambda }، ثمXλ∼β′(1،α){\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}.
  • إذا كان X يتبع توزيع باريتو القياسي من النوع الرابع بمعامل شكلα{\displaystyle \alpha }ومعامل عدم المساواةγ{\displaystyle \gamma }، ثمX1γ∼β′(1،α){\displaystyle X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}أو ما يعادل ذلك،X∼β′(1،α،1γ،1){\displaystyle X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)}.
  • يُعد توزيع ديريشلي المعكوس تعميمًا لتوزيع بيتا برايم.
  • لوX∼β′(α،β){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}، ثمln⁡X{\displaystyle \ln X}له توزيع لوجستي معمّم . وبشكل أعم، إذاX∼β′(α،β،ص،q){\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}، ثمln⁡X{\displaystyle \ln X}له توزيع لوجستي معمّم مُقاس ومُزاح .
  • لوX∼β′(12،12){\displaystyle X\sim \beta '\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}، ثم±X{\displaystyle \pm {\sqrt {X}}}يتبع توزيع كوشي، وهو ما يعادل توزيع الطالب-t بدرجات حرية تساوي 1.

ملحوظات

  1. 1 2 جونسون وآخرون (1995)، ص 248
  2. ↑ بورغينيون، م.؛ سانتوس-نيتو، م.؛ دي كاسترو، م. (2021). "نموذج انحدار جديد للمتغيرات العشوائية الموجبة ذات التوزيع الملتوي والذيل الطويل". مترون . 79 : 33-55 . doi : 10.1007/s40300-021-00203-y . S2CID 233534544 . 
  3. ↑ دوبي، ساتيا د. (ديسمبر 1970). "توزيعات جاما وبيتا وF المركبة". ميتريكا . 16 : 27-31 . doi : 10.1007/BF02613934 . S2CID 123366328 . 

مراجع

  • جونسون، إن إل، كوتز، إس، بالاكريشنان، إن (1995). التوزيعات أحادية المتغير المستمرة ، المجلد 2 (الطبعة الثانية)، وايلي. ISBN 0-471-58494-0
  • بورغينيون، م.؛ سانتوس-نيتو، م.؛ دي كاسترو، م. (2021)، "نموذج انحدار جديد للمتغيرات العشوائية الموجبة ذات التوزيع الملتوي والذيل الطويل"، ميترون ، 79 : 33-55 ، doi : 10.1007/s40300-021-00203-y ، S2CID 233534544