الإحداثيات الكنسية

في الرياضيات والميكانيكا الكلاسيكية ، تُعرف الإحداثيات الكنسية بأنها مجموعات من الإحداثيات على فضاء الطور ، والتي يمكن استخدامها لوصف نظام فيزيائي عند أي لحظة زمنية معينة. تُستخدم الإحداثيات الكنسية في صياغة هاميلتون للميكانيكا الكلاسيكية . ويظهر مفهوم مشابه في ميكانيكا الكم ؛ انظر إلى نظرية ستون-فون نيومان وعلاقات التبادل الكنسية لمزيد من التفاصيل.

بما أن الميكانيكا الهاميلتونية يتم تعميمها بواسطة الهندسة التبسيطية والتحويلات القانونية يتم تعميمها بواسطة تحويلات الاتصال ، فإن تعريف القرن التاسع عشر للإحداثيات القانونية في الميكانيكا الكلاسيكية يمكن تعميمه إلى تعريف أكثر تجريدًا في القرن العشرين للإحداثيات على حزمة الظل المشترك لمتشعب (المفهوم الرياضي لفضاء الطور) .

في الميكانيكا الكلاسيكية ، الإحداثيات الكنسية هي إحداثيات${\displaystyle q^{i}}$و${\displaystyle p_{i}}$في فضاء الطور المستخدم في الصيغة الهاميلتونية . تحقق الإحداثيات الأساسية علاقات بواسون الأساسية :

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

من الأمثلة النموذجية للإحداثيات الكنسية ما يلي:${\displaystyle q^{i}}$لتكون الإحداثيات الديكارتية المعتادة ، و${\displaystyle p_{i}}$لتكون مكونات الزخم . ومن ثم بشكل عام، فإن${\displaystyle p_{i}}$تُعرف الإحداثيات باسم "الزخم المترافق".

يمكن الحصول على الإحداثيات الكنسية من الإحداثيات المعممة للصيغة اللاغرانجية عن طريق تحويل ليجندر ، أو من مجموعة أخرى من الإحداثيات الكنسية عن طريق تحويل كنسي .

تُعرَّف الإحداثيات الكنسية بأنها مجموعة خاصة من الإحداثيات على حزمة الظل المشترك لمتشعب . وعادةً ما تُكتب على شكل مجموعة من${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$أو${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$حيث تشير x 's أو q 's إلى الإحداثيات على المتشعب الأساسي وتشير p 's إلى الزخم المترافق ، وهي أشكال 1 في حزمة الظل المشترك عند النقطة q في المتشعب.

التعريف الشائع للإحداثيات القانونية هو أي مجموعة من الإحداثيات على حزمة الظل التمام التي تسمح بكتابة الشكل القانوني الأحادي بالشكل التالي

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

حتى التفاضل الكلي. إن تغيير الإحداثيات الذي يحافظ على هذا الشكل هو تحويل قانوني ؛ وهذه حالة خاصة من التشاكل التبسيطي ، والذي هو في الأساس تغيير للإحداثيات على مشعب تبسيطي .

في العرض التالي، نفترض أن المتشعبات هي متشعبات حقيقية، بحيث أن متجهات الظل المشترك التي تعمل على متجهات الظل تنتج أعدادًا حقيقية.

بالنظر إلى متعدد الشعب Q ، يمكن اعتبار حقل متجه X على Q ( مقطع من حزمة المماس TQ ) بمثابة دالة تعمل على حزمة المماس المشترك ، وذلك من خلال الازدواجية بين فضاءي المماس والمماس المشترك. أي، تعريف دالة

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

بحيث

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

ينطبق هذا على جميع متجهات الظل التمام p في${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$. هنا،${\displaystyle X_{q}}$هو متجه في${\displaystyle T_{q}Q}$، الفضاء المماسي للمتشعب Q عند النقطة q . الدالة${\displaystyle P_{X}}$تُسمى دالة الزخم المقابلة لـ X.

في الإحداثيات المحلية ، يمكن كتابة حقل المتجهات X عند النقطة q على النحو التالي

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

حيث${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$تمثل هذه الإحداثيات الإطار المرجعي على TQ . ويكون الزخم المرافق عندئذٍ على النحو التالي:

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

حيث${\displaystyle p_{i}}$تُعرَّف بأنها دوال الزخم المقابلة للمتجهات${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$:

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

ال${\displaystyle q^{i}}$بالإضافة إلى${\displaystyle p_{j}}$تشكل معًا نظام إحداثيات على حزمة الظل التمام${\displaystyle T^{*}Q}$وتسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات الأساسية .

في ميكانيكا لاغرانج ، تُستخدم مجموعة مختلفة من الإحداثيات، تُسمى الإحداثيات المعممة . ويُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$مع${\displaystyle q^{i}}$يُطلق عليه الوضع المعمم و${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$السرعة المعممة . عندما يتم تعريف هاميلتوني على حزمة الظل المشترك، فإن الإحداثيات المعممة ترتبط بالإحداثيات القانونية عن طريق معادلات هاميلتون-جاكوبي .

• جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب. الابن ؛ سافكو، جون ل. (2002). الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة). سان فرانسيسكو: أديسون ويسلي. الصفحات 347-349 . ISBN  0-201-65702-3.
• رالف أبراهام وجيرولد إي. مارسدن ، أسس الميكانيكا ، (1978) بنجامين-كامينغز، لندن، رقم ISBN 0-8053-0102-Xانظر القسم 3.2 .