عنصر غير قابل للاختزال

في الجبر ، العنصر غير القابل للاختزال في مجال تكاملي هو عنصر غير صفري غير قابل للعكس (أي أنه ليس وحدة )، وليس ناتج ضرب عنصرين غير قابلين للعكس.

العناصر غير القابلة للاختزال هي العناصر النهائية لعملية التحليل إلى عوامل ؛ أي أنها العوامل التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل أخرى. إذا كانت العوامل غير القابلة للاختزال لكل عنصر غير صفري وغير وحدوي مُعرَّفة بشكل فريد، حتى الضرب في وحدوي، فإن المجال التكاملي يُسمى مجال تحليل فريد ، ولكن هذا لا ينطبق بالضرورة على جميع المجالات التكاملية. اكتُشف في القرن التاسع عشر أن حلقات الأعداد الصحيحة لبعض حقول الأعداد ليست مجالات تحليل فريدة، وبالتالي، قد تظهر بعض العناصر غير القابلة للاختزال في تحليل معين لعنصر ما، ولا تظهر في تحليلات أخرى لنفس العنصر. يُعدّ تجاهل هذه الحقيقة الخطأ الرئيسي في العديد من البراهين الخاطئة لنظرية فيرما الأخيرة التي قُدِّمت خلال القرون الثلاثة الفاصلة بين صياغة فيرما وبرهان وايلز لها .

لو${\displaystyle R}$إذا كان مجالًا تكامليًا، فإن${\displaystyle a}$هو عنصر لا يمكن اختزاله من${\displaystyle R}$إذا وفقط إذا، بالنسبة للجميع${\displaystyle b,c\in R}$المعادلة${\displaystyle a=bc}$وهذا يعني أن المثال الذي يولده${\displaystyle a}$يساوي المثالي الناتج عن${\displaystyle b}$أو مساوياً للمثالية التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle c}$لا ينطبق هذا التكافؤ على الحلقات التبديلية العامة، ولذلك يُفترض عادةً عدم وجود قواسم صفرية غير صفرية في تعريف العناصر غير القابلة للاختزال. وينتج عن ذلك أيضًا وجود عدة طرق لتوسيع تعريف العنصر غير القابل للاختزال ليشمل أي حلقة تبديلية . ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle R}$ليكن مجالًا تكامليًا. عنصر${\displaystyle a\in R}$غير قابل للاختزال إذا لم يكن وحدة، وكلما${\displaystyle a=bc}$، أيضاً${\displaystyle b}$أو${\displaystyle c}$هي وحدة.

عرّف أندرسون وفالديس-ليون في عام 1996 العناصر غير القابلة للاختزال في الحلقات التبديلية العشوائية (التي قد تحتوي على قواسم صفرية ): حيث عرّفا العناصر بأنها غير قابلة للاختزال بقوة شديدة ، وغير قابلة للاختزال من الرتبة m ، وغير قابلة للاختزال بقوة ، وغير قابلة للاختزال (بترتيب تنازلي للقوة) بناءً على شروط مختلفة على${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$(النظرية 2.13). ^{[ 1 ]} جميع التعريفات تتطلب${\displaystyle a}$أن لا تكون وحدة. ^{[ 1 ]} إن عدم قابليتها للاختزال بشكل قوي للغاية يتوافق مع التعريف أعلاه. شرط عدم قابلية الاختزال من الرتبة m هو أنه كلما${\displaystyle a=bc}$،${\displaystyle (b)=(1)}$أو${\displaystyle (b)=(a)}$الشرط الذي لا يمكن اختزاله بقوة هو أنه كلما${\displaystyle a=bc}$،${\displaystyle a}$يعادل إما${\displaystyle b}$أو${\displaystyle c}$حتى الضرب في وحدة واحدة. وأخيرًا، الشرط غير القابل للاختزال هو أنه كلما${\displaystyle a=bc}$، أيضاً${\displaystyle (a)=(b)}$أو${\displaystyle (a)=(c)}$[ ^{1 ]​}

لا ينبغي الخلط بين العناصر غير القابلة للاختزال والعناصر الأولية . (عنصر غير صفري وغير وحدوي)${\displaystyle a}$في حلقة تبديلية${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم عدد أولي إذا، كلما${\displaystyle a\mid bc}$بالنسبة للبعض${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$في${\displaystyle R,}$ثم${\displaystyle a\mid b}$أو${\displaystyle a\mid c.}$في مجال التكامل ، يكون كل عنصر أولي غير قابل للاختزال، ^{[ أ ] [ 2 ]،} لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. يكون العكس صحيحًا بالنسبة لمجالات التحليل الفريد ^{[ 2 ]} (أو، بشكل أعم، مجالات القاسم المشترك الأكبر ).

علاوة على ذلك، فبينما يكون المثالي الناتج عن عنصر أولي مثاليًا أوليًا ، فإنه ليس صحيحًا بشكل عام أن المثالي الناتج عن عنصر غير قابل للاختزال هو مثالي غير قابل للاختزال . ومع ذلك، إذا${\displaystyle D}$هو نطاق GCD و${\displaystyle x}$هو عنصر لا يمكن اختزاله من${\displaystyle D}$ثم كما ذكر أعلاه${\displaystyle x}$هو عدد أولي، وبالتالي فإن المثالي الناتج عن${\displaystyle x}$هو مثال أولي (وبالتالي غير قابل للاختزال) لـ${\displaystyle D}$.

في حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$يمكن إثبات أن العدد 3 غير قابل للاختزال باستخدام حجج المعيار . ومع ذلك، فهو ليس عنصرًا أوليًا في هذه الحلقة، لأنه، على سبيل المثال،

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

لكن العدد 3 لا يقسم أيًا من العاملين. ^{[ 3 ]}

• متعددة الحدود غير القابلة للاختزال