المعامل

في الرياضيات ، المعامل هو عامل ضربي يدخل في أحد حدود كثيرة الحدود ، أو متسلسلة ، أو أي نوع آخر من التعبيرات . قد يكون عددًا بدون وحدات ، وفي هذه الحالة يُعرف بالعامل العددي . ^{[ 1 ]} وقد يكون أيضًا ثابتًا بوحدات قياس ، وفي هذه الحالة يُعرف بالمضاعف الثابت . ^{[ 1 ]} بشكل عام، يمكن أن تكون المعاملات أي تعبير (بما في ذلك المتغيرات مثل a و b و c ). ^{[ 2 ] [ 1 ]} عندما لا يكون تركيب المتغيرات والثوابت بالضرورة جزءًا من حاصل ضرب ، يُطلق عليه اسم وسيط . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، كثيرة الحدود${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$لها معاملات 2 و -1 و 3، وقوى المتغير${\displaystyle x}$في كثير الحدود${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$لها معاملات${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$.

أالمعامل الثابت ، المعروف أيضًا بالحدالثابتأو ببساطةالثابت، هو كمية إما مرتبطة ضمنيًابالقوة الصفريةلمتغير ما أو غير مرتبطة بمتغيرات أخرى في التعبير؛ على سبيل المثال، المعاملات الثابتة للتعبيرات أعلاه هي العدد 3 والمعاملc، الموجود في 3=c⋅x^0.يُشار إلى المعامل المرتبط بأعلى درجة للمتغير في كثير الحدود لمتغير واحد بالمعاملالرئيسي؛ على سبيل المثال، في التعبيرات المذكورة أعلاه، المعاملات الرئيسية هي 2 وaعلى التوالي.

في سياق المعادلات التفاضلية ، يمكن كتابة هذه المعادلات غالبًا بدلالة كثيرات الحدود في دالة مجهولة واحدة أو أكثر ومشتقاتها. في هذه الحالة، تكون معاملات المعادلة التفاضلية هي معاملات كثيرة الحدود هذه، وقد تكون هذه المعاملات دوالًا غير ثابتة. يُسمى المعامل معاملًا ثابتًا عندما يكون دالة ثابتة . ولتجنب الالتباس، يُطلق على المعامل غير المرتبط بدوال مجهولة أو مشتقاتها في هذا السياق اسم الحد الثابت بدلًا من المعامل الثابت. على وجه الخصوص، في معادلة تفاضلية خطية ذات معامل ثابت ، لا يُفترض عادةً أن يكون الحد ذو المعامل الثابت دالة ثابتة.

في الرياضيات، المعامل هو عامل ضرب في أحد حدود كثيرة الحدود، أو متسلسلة، أو أي تعبير رياضي. على سبيل المثال، في كثيرة الحدود $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$ مع المتغيرات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$الحدّان الأولان لهما المعاملان 7 و -3. أما الحد الثالث 1.5 فهو المعامل الثابت. في الحد الأخير، المعامل هو 1 ولم يُذكر صراحةً.

في كثير من الحالات، تكون المعاملات أعدادًا (كما هو الحال في كل حد من المثال السابق)، مع أنها قد تكون معلمات للمسألة - أو أي تعبير بدلالة هذه المعلمات. في هذه الحالة، يجب التمييز بوضوح بين الرموز التي تمثل المتغيرات والرموز التي تمثل المعلمات. وفقًا لرينيه ديكارت ، غالبًا ما يُرمز للمتغيرات بـ x ، y ، ...، وللمعلمات بـ a ، b ، c ، ...، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، إذا اعتُبر y معلمًا في التعبير أعلاه، فسيكون معامل x هو -3y ، وسيكون المعامل الثابت (بالنسبة إلى x ) هو 1.5 + y .

عندما يكتب المرء $${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$ يفترض عمومًا أن x هو المتغير الوحيد، وأن a و b و c هي معلمات؛ وبالتالي فإن المعامل الثابت هو c في هذه الحالة.

يمكن كتابة أي متعددة حدود في متغير واحد x على النحو التالي$${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$ لبعض الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle k}$، أين${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$هي المعاملات. وهذا يشمل إمكانية أن يكون لبعض الحدود معامل يساوي صفرًا؛ على سبيل المثال، في${\displaystyle x^{3}-2x+1}$، معامل${\displaystyle x^{2}}$يساوي صفرًا، والحد${\displaystyle 0x^{2}}$لا يظهر بشكل صريح. بالنسبة للأكبر${\displaystyle i}$بحيث${\displaystyle a_{i}\neq 0}$(إن وجد)،${\displaystyle a_{i}}$يُطلق عليه اسم المعامل الرئيسي لكثير الحدود. على سبيل المثال، المعامل الرئيسي لكثير الحدود $${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$ 4. يمكن تعميم هذا على كثيرات الحدود متعددة المتغيرات فيما يتعلق برتبة أحادية الحد ، انظر أساس جروبنر §  الحد الرئيسي والمعامل وأحادية الحد .

في الجبر الخطي ، يُعبَّر عن نظام المعادلات الخطية غالبًا بمصفوفة معاملاته . على سبيل المثال، نظام المعادلات $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$ مصفوفة المعاملات المرتبطة هي${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$ تُستخدم مصفوفات المعاملات في خوارزميات مثل الحذف الغاوسي وقاعدة كرامر لإيجاد حلول للنظام.

العنصر الرئيسي ( أو المعامل الرئيسي أحيانًا ) في صف من المصفوفة هو أول عنصر غير صفري في ذلك الصف. على سبيل المثال، في المصفوفة $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$ المعامل الرئيسي للصف الأول هو 1؛ والمعامل الرئيسي للصف الثاني هو 2؛ والمعامل الرئيسي للصف الثالث هو 4، بينما لا يحتوي الصف الأخير على معامل رئيسي.

على الرغم من أن المعاملات تُعتبر في الغالب ثوابت في الجبر الابتدائي، إلا أنه يمكن اعتبارها متغيرات مع اتساع السياق. على سبيل المثال، الإحداثيات${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$من متجه${\displaystyle v}$في فضاء متجهي ذي أساس${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$هي معاملات متجهات الأساس في التعبير $${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

• معامل الارتباط
• درجة متعددة الحدود
• متعدد الحدود أحادي
• معامل ذي الحدين

• صباح الحداد وسي إتش سكوت (1979) الجبر الجامعي مع التطبيقات ، صفحة 42، دار نشر وينثروب، كامبريدج، ماساتشوستس، رقم ISBN 0-87626-140-3.
• غوردون فولر، والتر ل. ويلسون، هنري س. ميلر، (1982) الجبر الجامعي ، الطبعة الخامسة، صفحة 24، دار نشر بروكس/كول، مونتيري، كاليفورنيا، رقم ISBN 0-534-01138-1.