المتوسط ​​التوافقي المعاكس

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يُعرف المتوسط ​​التوافقي المعاكس (أو المتوسط ​​التوافقي المضاد [ 1 ] ) بأنه دالة مكملة للمتوسط ​​التوافقي . ويُعد المتوسط ​​التوافقي المعاكس حالة خاصة من متوسط ​​ليمر .لص{\displaystyle L_{p}}، حيث p = 2.

تعريف

يُعرَّف المتوسط ​​التوافقي العكسي لمجموعة من الأعداد الحقيقية الموجبة [ 2 ] بأنه المتوسط ​​الحسابي لمربعات الأعداد مقسومًا على المتوسط ​​الحسابي للأعداد: ج⁡(x1،x2،...،xن)=1ن(x12+x22+⋯+xن2)1ن(x1+x2+⋯+xن)،=x12+x22+⋯+xن2x1+x2+⋯+xن.\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \over n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \over {1 \over n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}}

صيغ ذات متغيرين

من صيغتي المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​التوافقي لمتغيرين، لدينا: أ⁡(أ،ب)=أ+ب2ح⁡(أ،ب)=112⋅(1أ+1ب)=2أبأ+بج⁡(أ،ب)=2⋅أ(أ،ب)-ح(أ،ب)=أ+ب-2أبأ+ب=(أ+ب)2-2أبأ+ب=أ2+ب2أ+ب\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}}

لاحظ أنه بالنسبة لمتغيرين، فإن متوسط ​​المتوسط ​​التوافقي والمتوسط ​​التوافقي المعاكس يساوي تمامًا المتوسط ​​الحسابي:

A ( H ( a , b ), C ( a , b )) = A ( a , b )

كلما اقتربت قيمة a من الصفر، اقترب المتوسط ​​التوافقي H ( a , b ) أيضًا من الصفر. يتأثر المتوسط ​​التوافقي بشدة بالقيم المنخفضة. من ناحية أخرى، يتأثر المتوسط ​​التوافقي المعاكس بالقيم الأكبر، لذا عندما تقترب a من الصفر، تقترب C ( a , b ) من b (وبالتالي يبقى متوسطهما A ( a , b )).     

هناك علاقتان بارزتان أخريان بين المتوسطات لمتغيرين. أولاً، المتوسط ​​الهندسي للمتوسطين الحسابي والتوافقي يساوي المتوسط ​​الهندسي للقيمتين: جي⁡(أ⁡(أ،ب)،ح⁡(أ،ب))=جي⁡(أ+ب2،2أبأ+ب)=أ+ب2⋅2أبأ+ب=أب=جي⁡(أ،ب){\displaystyle \operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)}

أما العلاقة الثانية فهي أن المتوسط ​​الهندسي للمتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​التوافقي العكسي هو الجذر التربيعي لمتوسط ​​المربعات: جي⁡(أ⁡(أ،ب)،ج⁡(أ،ب))=جي⁡(أ+ب2،أ2+ب2أ+ب)=أ+ب2⋅أ2+ب2أ+ب=أ2+ب22=R⁡(أ،ب)\begin{aligned}\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\=\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}=\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}\\[2pt]=\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}}

يمكن إنشاء المتوسط ​​التوافقي المعاكس لمتغيرين هندسيًا باستخدام شبه منحرف. [ 3 ]

إنشاءات إضافية

يمكن إنشاء المتوسط ​​التوافقي المعاكس على دائرة بطريقة مشابهة لإنشاء المتوسطات الفيثاغورية لمتغيرين. [ 4 ] المتوسط ​​التوافقي المعاكس هو باقي قطر الدائرة التي يقع عليها المتوسط ​​التوافقي. [ 5 ]

تاريخ

تم اكتشاف المتوسط ​​التوافقي المعاكس من قبل عالم الرياضيات اليوناني إيودوكسوس في القرن الرابع قبل الميلاد. [ 6 ]

ملكيات

يحقق المتوسط ​​التوافقي المعاكس الخصائص المميزة لمتوسط ​​قائمة من القيم الموجبةx{\textstyle \mathbf {x} }:

  • مين(x)≤ج⁡(x)≤الأعلى(x){\displaystyle \min \left(\mathbf {x} \right)\leq \operatorname {C} \left(\mathbf {x} \right)\leq \max \left(\mathbf {x} \right)}
  • ج⁡(ت⋅x1،ت⋅x2،...،ت⋅xن)=ت⋅ج(x1،x2،...،xن) ل ت>0{\displaystyle \operatorname {C} \left(t\cdot \mathbf {x} _{1},t\cdot \mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,t\cdot \mathbf {x} _{n}\right)=t\cdot C\left(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {x} _{n}\right){\text{ for }}t>0}

تستلزم الخاصية الأولى خاصية النقطة الثابتة ، أي أنه بالنسبة لجميع قيم k > 0،

C ( k , k , ..., k ) = k

إنها ليست رتيبة - بل تزيد قيمةx{\displaystyle \mathbf {x} }يمكن أن يقلل ذلك من قيمة المتوسط ​​التوافقي المعاكس. على سبيل المثال ، C(1, 4) > C(2, 4) .

المتوسط ​​التوافقي العكسي أعلى قيمة من المتوسط ​​الحسابي وأعلى أيضًا من الجذر التربيعي لمتوسط ​​المربعات : مين(x)≤ح⁡(x)≤جي⁡(x)≤ل⁡(x)≤أ⁡(x)≤R⁡(x)≤ج⁡(x)≤الأعلى(x){\displaystyle \min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )} حيث x هي قائمة من القيم، وH هو المتوسط ​​التوافقي، وG هو المتوسط ​​الهندسي ، وL هو المتوسط ​​اللوغاريتمي ، وA هو المتوسط ​​الحسابي ، وR هو الجذر التربيعي المتوسط ، و C هو المتوسط ​​التوافقي المعاكس. ما لم تكن جميع قيم x متساوية، يمكن استبدال علامات ≤ أعلاه بعلامة <.

قد يكون اسم "التوافقي المعاكس" ناتجًا عن حقيقة أنه عند حساب متوسط ​​متغيرين فقط، يكون المتوسط ​​التوافقي المعاكس أعلى من المتوسط ​​الحسابي بنفس القدر الذي يكون فيه المتوسط ​​الحسابي أعلى من المتوسط ​​التوافقي (أي أن المتوسط ​​الحسابي للمتغيرين يساوي المتوسط ​​الحسابي لمتوسطيهما التوافقي والتوافقي المعاكس).

العلاقة بالمتوسط ​​الحسابي والتباين

المتوسط ​​التوافقي العكسي لمتغير عشوائي يساوي مجموع المتوسط ​​الحسابي والتباين مقسومًا على المتوسط ​​الحسابي. [ 7 ]

ج⁡(x)=أ⁡(x)+متغير⁡(x)أ⁡(x){\displaystyle \operatorname {C} (\mathbf {x} )=\operatorname {A} (\mathbf {x} )+{\frac {\operatorname {Var} (\mathbf {x} )}{\operatorname {A} (\mathbf {x} )}}}

اقترح كلافام نسبة التباين إلى المتوسط ​​الحسابي كإحصائية اختبار . [ 8 ]

بما أن التباين دائمًا ≥0 فإن المتوسط ​​التوافقي العكسي يكون دائمًا أكبر من أو يساوي المتوسط ​​الحسابي.

علاقات أخرى

أي متوسط ​​توافقي عكسي لعددين صحيحين موجبين مختلفين هو وتر في ثلاثية فيثاغورس ، بينما أي وتر في ثلاثية فيثاغورس هو متوسط ​​توافقي عكسي لعددين صحيحين موجبين مختلفين. [ 1 ]

ويرتبط ذلك أيضًا بإحصائية كاتز [ 9 ]جن=ن2s2-مم{\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}} حيث m هو المتوسط، و s² هو التباين، و n هو حجم العينة.

J n موزعة توزيعاً طبيعياً تقاربياً بمتوسط ​​يساوي صفراً وتباين يساوي 1.

الاستخدامات في الإحصاء

ناقش كوكس مشكلة العينة المتحيزة الحجمية عام 1969 في سياق مشكلة أخذ عينات من الألياف. يساوي متوسط ​​العينة المتحيزة الحجمية متوسطها التوافقي المعاكس، [ 10 ] ويُستخدم المتوسط ​​التوافقي المعاكس أيضًا لتقدير حقول التحيز في النماذج الضربية ، بدلًا من المتوسط ​​الحسابي المستخدم في النماذج الجمعية . [ 11 ]

يمكن استخدام المتوسط ​​التوافقي المعاكس لحساب متوسط ​​قيمة شدة البكسلات المتجاورة في الرسم البياني، وذلك لتقليل التشويش في الصور وجعلها أكثر وضوحًا للعين. [ 12 ]

إن احتمال أخذ عينة من الليف يتناسب طرديًا مع طوله. ولهذا السبب، فإن متوسط ​​العينة المعتاد (المتوسط ​​الحسابي) يُعد تقديرًا متحيزًا للمتوسط ​​الحقيقي. ولتوضيح ذلك، انظر إلى ز(x)=xو(x)م{\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{m}}} حيث f ( x ) هو التوزيع الحقيقي للمجتمع، و g ( x ) هو التوزيع المرجح بالطول، و m هو متوسط ​​العينة. إن أخذ القيمة المتوقعة المعتادة للمتوسط ​​هنا يعطي المتوسط ​​التوافقي المعاكس بدلاً من المتوسط ​​الحسابي المعتاد للعينة. [ 13 ] يمكن التغلب على هذه المشكلة بأخذ القيمة المتوقعة للمتوسط ​​التوافقي (1/ x ). القيمة المتوقعة والتباين لـ 1/ x هما هـ⁡[1x]=1م{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}} وله تباين متغير⁡(1x)=مهـ[1x-1]نم2{\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {mE\left[{\frac {1}{x}}-1\right]}{nm^{2}}}} حيث E هو عامل التوقع. تقاربياً، يتوزع E[1/ x ] توزيعاً طبيعياً.

تعتمد الكفاءة التقاربية لأخذ العينات المتحيزة للطول، مقارنةً بأخذ العينات العشوائية، على التوزيع الأساسي. فإذا كانت f ( x ) تتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، تكون الكفاءة 1، بينما إذا كان التوزيع يتبع توزيع جاما بمعامل b ، تكون الكفاءة b /( b -1) . وقد استُخدم هذا التوزيع في نمذجة سلوك المستهلك [ 14 ]، وكذلك في أخذ عينات الجودة.

وقد تم استخدامه جنبًا إلى جنب مع التوزيع الأسي في تخطيط النقل في شكل معكوسه. [ 15 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 باهيكالا، جوسي (2010). "حول المتوسط ​​التوافقي المعاكس والثلاثيات الفيثاغورية" . عناصر الرياضيات . 65 (2): 62-67 . doi : 10.4171/em/141 .
  2. ↑ انظر "متوسطات الأعداد المركبة" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات بكلية تكساس . 1 (1). 1 يناير 2005. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 9 سبتمبر 2006.
  3. ↑ أومبرغر، شانون. "بناء المتوسط ​​التوافقي المعاكس في شبه منحرف" . جامعة جورجيا .
  4. ↑ نيلسن، روجر ب. (7 أغسطس 1997). براهين بدون كلمات/تمارين في التفكير البصري . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 56. ISBN  0-88385-700-6.
  5. ↑ سلايف، فاليري أ.؛ تشونوفكينا، آنا ج.؛ ميرونوفسكي، ليونيد أ. (2019). علم القياس ونظرية القياس . دي جرويتر . ص 217. ISBN  9783110652505.
  6. ^ أنطوان، سي. (1998). ليه موين . باريس: مطابع الجامعات الفرنسية.
  7. ↑ كينغلي، مايكل سي إس (1989). "توزيع فقمات الحلقات الخارجة من الشاطئ: تفسير لقانون تايلور". مجلة علم البيئة . 79 (79): 106-110 . Bibcode : 1989Oecol..79..106K . doi : 10.1007/BF00378246 . PMID 28312819 . 
  8. ↑ كلافام، آرثر روي (1936). "التشتت الزائد في مجتمعات المراعي واستخدام الأساليب الإحصائية في علم البيئة النباتية". مجلة علم البيئة . 24 (14): 232-251 . Bibcode : 1936JEcol..24..232C . doi : 10.2307/2256277 . JSTOR 2256277 . 
  9. ↑ كاتز، ل. (1965). المعالجة الموحدة لفئة واسعة من توزيعات الاحتمالات المنفصلة . وقائع الندوة الدولية حول التوزيعات المنفصلة. مونتريال .
  10. ↑ زيلين، مارفن (1972). أخذ العينات المتحيزة للطول والمشاكل الطبية الحيوية . اجتماع الجمعية البيومترية. دالاس ، تكساس .
  11. ↑ بانيرجي، أبهيروب؛ ماجي، براديبتا (2013). مجموعات تقريبية لتصحيح مجال التحيز في صور الرنين المغناطيسي باستخدام المتوسط ​​التوافقي المضاد والمؤشر الكمي . معاملات IEEE في التصوير الطبي.
  12. ↑ ميترا، صبري (أكتوبر 2021). “مرشح متوسط ​​متناقض”. كاجيان علميا للمعلوماتية دان كومبيوتر . 2 (2): 75- 79.
  13. ↑ سودمان، سيمور (1980). تقنيات أخذ العينات الحصصية وإجراءات الترجيح لتصحيح التحيز الترددي .
  14. ↑ كيلور، بروس د.؛ داميكو، مايكل؛ هورتون، فيرونيكا (2001). "اتجاهات المستهلك العالمية". علم النفس والتسويق . 18 (1): 1-19 . doi : 10.1002/1520-6793(200101)18:1 < 1::AID-MAR1 > 3.0.CO ; 2-U .
  15. ↑ أمريين، محمد؛ فينكاتيسوارلو، باندي (2024). "طريقة جديدة لحل مشكلات النقل بناءً على التوزيع الأسي والمتوسط ​​التوافقي المعاكس". مجلة الرياضيات التطبيقية والمعلوماتية . 42 (3): 647-661 .