ليمر تعني

في الرياضيات، متوسط ​​ليمر لمجموعة مرتبة${\displaystyle x}$تُعرَّف مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ، التي سُميت على اسم ديريك هنري ليمر ، ^{[ 1 ] على النحو التالي:}

${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}}.}$

المتوسط ​​المرجح لـ Lehmer بالنسبة إلى مجموعة من العناصر${\displaystyle w}$يُعرَّف الوزن الموجب على النحو التالي:

$$$

يُعد متوسط ​​ليمر بديلاً لمتوسطات القوى للاستيفاء بين الحد الأدنى والحد الأقصى عبر المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​التوافقي .

مشتق من${\displaystyle p\mapsto L_{p}(\mathbf {x} )}$غير سالب

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},}$

وبالتالي فإن هذه الدالة رتيبة، والمتباينة

${\displaystyle p\leq q\Longrightarrow L_{p}(\mathbf {x} )\leq L_{q}(\mathbf {x} )}$

يحجز.

مشتق المتوسط ​​المرجح لليمر هو:

${\displaystyle {\frac {\partial L_{p,w}(\mathbf {x} )}{\partial p}}={\frac {(\sum wx^{p-1})(\sum wx^{p}\ln {x})-(\sum wx^{p})(\sum wx^{p-1}\ln {x})}{(\sum wx^{p-1})^{2}}}}$

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$هو الحد الأدنى لعناصر${\displaystyle \mathbf {x} }$.
• ${\displaystyle L_{0}(\mathbf {x} )}$هو المتوسط ​​التوافقي .
• ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)}$هو المتوسط ​​الهندسي للقيمتين${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$.
• ${\displaystyle L_{1}(\mathbf {x} )}$هو المتوسط ​​الحسابي .
• ${\displaystyle L_{2}(\mathbf {x} )}$هو المتوسط ​​التوافقي المعاكس .
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$هو الحد الأقصى لعناصر${\displaystyle \mathbf {x} }$.
  مخطط البرهان: دون فقدان للعمومية، ليكن${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$لتكن القيم التي تساوي القيمة القصوى. ثم${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )=x_{1}\cdot {\frac {k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p}}{k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p-1}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p-1}}}}$

• يقصد
• القوة تعني

• متوسط ​​ليمر في عالم الرياضيات