التقارب في القياس

التقارب في القياس هو أحد مفهومين رياضيين متميزين، وكلاهما يعمم مفهوم التقارب في الاحتمال .

يترك${\displaystyle f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R} }$دوال قابلة للقياس على فضاء قياس${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$التسلسل${\displaystyle f_{n}}$يقال إنتتقارب عالميًا في قياس${\displaystyle f}$إذا لكل${\displaystyle \varepsilon >0,}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0,}$$ وإلىتتقارب محليًا في القياس إلى${\displaystyle f}$إذا لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$وكل${\displaystyle F\in \Sigma }$مع ${\displaystyle \mu (F)<\infty ,}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0.}$$

في فضاء قياس محدود، يكون كلا المفهومين متكافئين. أما في غير ذلك، فيمكن أن يشير التقارب في القياس إما إلى التقارب الكلي في القياس ^{[ 1 ] : 2.2.3} أو التقارب المحلي في القياس، وذلك بحسب المؤلف.

طَوَال،${\displaystyle f}$و${\displaystyle f_{n}}$(${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) هي دوال قابلة للقياس${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$.

• التقارب العالمي في القياس يستلزم التقارب المحلي في القياس. إلا أن العكس غير صحيح؛ أي أن التقارب المحلي في القياس أضعف بشكل عام من التقارب العالمي في القياس.
• لكن إذا${\displaystyle \mu (X)<\infty }$أو بشكل أعم، إذا${\displaystyle f}$وجميع${\displaystyle f_{n}}$إذا اختفت خارج مجموعة ذات قياس محدود، فإن التمييز بين التقارب المحلي والتقارب العالمي في القياس يختفي.
• لو${\displaystyle \mu }$هي σ- محدودة و( f _n ) تتقارب (محليًا أو عالميًا) إلى${\displaystyle f}$من حيث القياس، هناك متتالية فرعية تتقارب إلى${\displaystyle f}$في كل مكان تقريبًا . ^{[ 1 ] : 2.2.5} إن افتراض محدودية σ ليس ضروريًا في حالة التقارب العالمي في القياس.
• لو${\displaystyle \mu }$يكون${\displaystyle \sigma }$-محدود،${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$محليًا في القياس إذا وفقط إذا كان لكل متتالية جزئية متتالية جزئية بدورها تتقارب إلى${\displaystyle f}$في كل مكان تقريباً.
• على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$في كل مكان تقريباً، إذن${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$محلياً بالقياس. والعكس غير صحيح.
• تتحقق ليمّة فاتو ونظرية التقارب الرتيب إذا تم استبدال التقارب في كل مكان تقريبًا بالتقارب (المحلي أو العالمي) في القياس.
• لو${\displaystyle \mu }$يكون${\displaystyle \sigma }$بالنسبة للمصفوفات المنتهية، فإن نظرية التقارب المسيطر لليبيغ تنطبق أيضًا إذا تم استبدال التقارب في كل مكان تقريبًا بالتقارب (المحلي أو العالمي) في القياس. ^{[ 1 ] : 2.8.6}
• لو${\displaystyle X=[a,b]\subseteq \mathbb {R} }$و μ هو مقياس ليبيغ ، وهناك متتابعات${\displaystyle (g_{n})}$من دوال الخطوة و${\displaystyle (h_{n})}$من الدوال المتصلة التي تتقارب عالميًا في القياس إلى${\displaystyle f}$.
• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle f_{n}}$تكون في L ^p ( μ ) لبعض${\displaystyle p>0}$و${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$في${\displaystyle p}$-المعيار، ثم${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$على مستوى العالم بالقياس. والعكس صحيح.
• لو${\displaystyle f_{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$بالقياس و${\displaystyle g_{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle g}$إذن بالقياس${\displaystyle f_{n}+g_{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle f+g}$في القياس. بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت مساحة القياس محدودة،${\displaystyle f_{n}g_{n}}$ويتقارب أيضًا إلى${\displaystyle fg}$.

يترك${\displaystyle X=\mathbb {R} }$،${\displaystyle \mu }$مقياس ليبيغ، و${\displaystyle f}$الدالة الثابتة ذات القيمة الصفرية.

• التسلسل${\displaystyle f_{n}=\chi _{[n,\infty )}}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$محلياً من حيث القياس، لكنه لا يتقارب مع${\displaystyle f}$على مستوى العالم بالقياس.
• التسلسل

${\displaystyle f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]},}$

أين${\displaystyle k=\lfloor \log _{2}n\rfloor }$و${\displaystyle j=n-2^{k}}$، أول خمسة حدود منها هي

${\displaystyle \chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]},}$

يتقارب إلى${\displaystyle 0}$على مستوى العالم بالقدر؛ ولكن لا شيء${\displaystyle x}$يفعل${\displaystyle f_{n}(x)}$تتقارب إلى الصفر. ومن ثم${\displaystyle (f_{n})}$يفشل في التقارب إلى${\displaystyle f}$في كل مكان تقريبًا. ^{[ 1 ] : 2.2.4}

• التسلسل

${\displaystyle f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}}$

يتقارب إلى${\displaystyle f}$في كل مكان تقريبًا وعلى مستوى العالم بدرجة ما، ولكن ليس في${\displaystyle p}$- المعيار لأي${\displaystyle p\geq 1}$.

توجد طوبولوجيا ، تُسمى طوبولوجيا التقارب (المحلي) في القياس ، على مجموعة الدوال القابلة للقياس من X بحيث يتوافق التقارب المحلي في القياس مع التقارب على تلك الطوبولوجيا. تُعرَّف هذه الطوبولوجيا بواسطة عائلة المقاييس الزائفة .$${\displaystyle \{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},}$$ أين $${\displaystyle \rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|fg|,1\}\,d\mu .}$$ بشكل عام، يمكن للمرء أن يقتصر على بعض المجموعات الفرعية من F (بدلاً من جميع المجموعات الفرعية الممكنة ذات القياس المحدود). يكفي أن يكون لكل${\displaystyle G\subset X}$ذات قياس محدود و${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد F في العائلة بحيث${\displaystyle \mu (G\setminus F)<\varepsilon .}$متى${\displaystyle \mu (X)<\infty }$، قد نأخذ في الاعتبار مقياسًا واحدًا فقط${\displaystyle \rho _{X}}$لذا فإن طوبولوجيا التقارب في القياس المحدود قابلة للقياس. إذا${\displaystyle \mu }$إذا كان المقياس التعسفي محدودًا أم لا، $${\displaystyle d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|fg|\geq \delta \})+\delta }$$ لا يزال يحدد مقياسًا يولد التقارب العالمي في القياس. ^{[ 2 ]}

لأن هذه البنية الطوبولوجية تُولَّد بواسطة مجموعة من المقاييس الزائفة، فهي قابلة للتوحيد . إن العمل مع هياكل موحدة بدلاً من الطوبولوجيات يسمح لنا بصياغة خصائص موحدة مثل خاصية كوشي .

• فضاء التقارب

• دي إتش فريملين، 2000. نظرية القياس . توريس فريملين.
• إتش إل رويدن، 1988. التحليل الحقيقي . برنتيس هول.
• جي بي فولاند 1999، القسم 2.4. التحليل الحقيقي . جون وايلي وأولاده.