سلسلة ميركاتور

في الرياضيات ، تُعرف متسلسلة ميركاتور أو متسلسلة نيوتن-ميركاتور بأنها متسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي :

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

في تدوين الجمع ،

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}$

تتقارب المتسلسلة إلى اللوغاريتم الطبيعي (بعد إزاحته بمقدار 1) كلما${\displaystyle -1<x\leq 1}$.

اكتُشفت المتسلسلة بشكل مستقل من قِبل يوهانس هود (1656) ^{[ 1 ]} وإسحاق نيوتن (1665)، لكن لم ينشر أي منهما النتيجة. كما اكتشفها نيكولاس ميركاتور بشكل مستقل، وأدرج قيم المتسلسلة للأعداد الصغيرة في أطروحته "لوغاريتموتكنيا " عام 1668 ؛ وقد أُدرجت المتسلسلة العامة في مراجعة جون واليس للكتاب عام 1668 في " المعاملات الفلسفية" . ^{[ 2 ]}

يمكن الحصول على المتسلسلة عن طريق حساب متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle \ln(x)}$في${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle \ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-\cdots ,}$

واستبدال كل${\displaystyle x}$مع${\displaystyle x+1}$أو بدلاً من ذلك، يمكن البدء بالمتسلسلة الهندسية المنتهية (${\displaystyle t\neq -1}$)

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

مما يعطي

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt}$

وبالتكامل على أساس كل مصطلح،

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.}$

لو${\displaystyle -1<x\leq 1}$، يؤول حد الباقي إلى الصفر عندما${\displaystyle n\to \infty }$.

يمكن إجراء التكامل التكراري لهذا التعبير k مرة أخرى للحصول على

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

أين

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{km}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

و

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

هي كثيرات حدود في x . ^{[ 3 ]}

جلسة${\displaystyle x=1}$ينتج عن متسلسلة ميركاتور سلسلة توافقية متناوبة

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}$

متسلسلة القوى المعقدة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} {\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

سلسلة تايلور لـ${\displaystyle -\log(1-z)}$حيث يرمز log إلى الفرع الرئيسي للوغاريتم المركب . تتقارب هذه المتسلسلة بدقة لجميع الأعداد المركبة.${\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}$في الواقع، كما يتضح من اختبار النسبة ، فإن نصف قطر تقاربها يساوي 1، وبالتالي فهي تتقارب تقاربًا مطلقًا على كل قرص B (0, r ) بنصف قطر r < 1. علاوة على ذلك، فإنها تتقارب تقاربًا منتظمًا على كل قرص مقسم إلى أجزاء.   ${\textstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}$، حيث δ  >  0. وهذا يتبع مباشرة من المتطابقة الجبرية:

${\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}$

مع ملاحظة أن الجانب الأيمن متقارب بشكل منتظم على القرص المغلق بأكمله.

• جون كريج
• اللوغاريتم الطبيعي زائد 1

• وايسشتاين، إريك دبليو. "سلسلة ميركاتور" . عالم الرياضيات .
• أنطون فون براونمول (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie ، الجزء 134، عبر أرشيف الإنترنت
• إريكسون ولارسون ووحيد. تحليلات Matematisk med untilämpningar ، الجزء 3. جوتنبرج 2002. ص.  10.
• بعض معاصري ديكارت وفيرما وباسكال وهيغنز من كتاب "موجز تاريخ الرياضيات" (الطبعة الرابعة، 1908) بقلم دبليو دبليو راوس بول