مشكلة بازل

مسألة بازل هي مسألة في التحليل الرياضي ذات صلة بنظرية الأعداد ، وتتعلق بمجموع لانهائي من معكوسات المربعات. طُرحت لأول مرة من قِبل بيترو مينغولي عام 1650، وحلها ليونارد أويلر عام 1734، ^{[ 1 ]} وقُرئت في 5 ديسمبر 1735 في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم . ^{[ 2 ]} ولأن المسألة صمدت أمام محاولات كبار علماء الرياضيات في ذلك الوقت، فقد جلب حل أويلر له شهرة فورية وهو في الثامنة والعشرين من عمره. عمّم أويلر المسألة بشكل كبير، وتبنى برنارد ريمان أفكاره بعد أكثر من قرن في بحثه الرائد عام 1859 بعنوان " حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار معين "، حيث عرّف دالة زيتا الخاصة به وأثبت خصائصها الأساسية. سُميت المسألة نسبةً إلى مدينة بازل ، مسقط رأس أويلر وعائلة برنولي التي حاولت حل المسألة دون جدوى.

تطلب مسألة بازل إيجاد المجموع الدقيق لمقلوب مربعات الأعداد الطبيعية ، أي المجموع الدقيق للمتسلسلة اللانهائية : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

مجموع المتسلسلة يساوي تقريبًا 1.644934. ^{[ 3 ]} تطلب مسألة بازل إيجاد المجموع الدقيق لهذه المتسلسلة ( بصيغة مغلقة )، بالإضافة إلى إثبات صحة هذا المجموع. وقد وجد أويلر أن المجموع الدقيق هو${\textstyle {\pi ^{2}}/{6}}$وأعلن عن هذا الاكتشاف عام 1735. استندت حججه إلى تلاعبات لم تكن مبررة في ذلك الوقت، على الرغم من أنه ثبتت صحتها لاحقًا. وقدّم برهانًا مقبولًا عام 1741.

يمكن استخدام حل هذه المسألة لتقدير احتمال أن يكون عددان عشوائيان كبيران أوليين فيما بينهما . فعندما يقترب n من اللانهاية ، يكون عددان صحيحان عشوائيان في النطاق من 1 إلى n أوليين فيما بينهما باحتمال يقترب من${\textstyle {6}/{\pi ^{2}}}$، وهو مقلوب حل مشكلة بازل. ^{[ 4 ]}

اشتقاق أويلر الأصلي للقيمة${\textstyle {\pi ^{2}}/{6}}$بشكل أساسي، تم توسيع الملاحظات حول كثيرات الحدود المحدودة وافترضت أن هذه الخصائص نفسها تنطبق على المتسلسلات اللانهائية.

بالطبع، يتطلب استدلال أويلر الأصلي تبريراً (بعد مئة عام، أثبت كارل فايرشتراس صحة تمثيل أويلر لدالة الجيب كحاصل ضرب لانهائي، وذلك باستخدام نظرية فايرشتراس للتحليل إلى عوامل )، ولكن حتى بدون تبرير، تمكن من التحقق عددياً من خلال الحصول على القيمة الصحيحة فقط، وذلك بمقارنتها بالمجاميع الجزئية للمتسلسلة. وقد منحه هذا التطابق الذي لاحظه ثقة كافية لإعلان نتيجته للمجتمع الرياضي.

لمتابعة حجة أويلر، تذكر متسلسلة تايلور لتوسيع دالة الجيب$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$$ القسمة على x تعطي $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$$

تُبين نظرية تحليل فايرشتراس أن الطرف الأيمن هو حاصل ضرب عوامل خطية مُعطاة بجذوره، تمامًا كما هو الحال بالنسبة لكثيرات الحدود المحدودة. افترض أويلر هذا كطريقة استدلالية لتوسيع كثير حدود من الدرجة اللانهائية بدلالة جذوره، لكن في الواقع، لا يكون هذا صحيحًا دائمًا بالنسبة لكثيرات الحدود العامة.${\displaystyle P(x)}$[ ^{5 ] يؤدي} هذا التحليل إلى توسيع المعادلة إلى: $$\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$$

إذا قمنا بضرب هذا المنتج رسميًا وجمعنا جميع حدود x ² (يُسمح لنا بالقيام بذلك بسبب متطابقات نيوتن ) ^، فإننا نرى بالاستقراء أن معامل x ² لـ sin x / x هو ^{[ 6} ]$$\displaystyle \left\(\frac{1}{\pi^2}\)+\frac{1}{4\pi^2\)+\frac{1}{9\pi^2\)+\cdots\)=-\frac{1}{\pi^2\)\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2\)}\$$

لكن من متسلسلة التفاضل اللانهائية الأصلية لـ sin x / x ، فإن معامل ^x² هو -1/3 ! = -1/6 . يجب أن يكون هذان المعاملان متساويين ؛ وبالتالي ،$${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

بضرب طرفي هذه المعادلة في − π ² نحصل على مجموع مقلوبات الأعداد الصحيحة المربعة الموجبة. ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

تُعد دالة زيتا لريمان ζ ( s ) من أهم الدوال في الرياضيات لارتباطها بتوزيع الأعداد الأولية . تُعرَّف دالة زيتا لأي عدد مركب s ذي جزء حقيقي أكبر من 1 بالصيغة التالية: $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

بأخذ s = 2 ، نرى أن ζ (2) يساوي مجموع مقلوب مربعات جميع الأعداد الصحيحة الموجبة: $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.}$$

يمكن إثبات التقارب عن طريق اختبار التكامل ، أو عن طريق المتباينة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}$$

هذا يعطينا الحد الأعلى 2، ولأن المجموع اللانهائي لا يحتوي على حدود سالبة، فلا بد أن يتقارب إلى قيمة تقع بين 0 و2. يمكن إثبات أن ζ ( s ) لها تعبير بسيط بدلالة أعداد برنولي عندما يكون s عددًا زوجيًا موجبًا. مع s = 2n : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.}$$

دالة sinc المعيارية${\displaystyle {\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$له تمثيل تحليلي لـ Weierstrass كحاصل ضرب لانهائي: $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

الجداء اللانهائي تحليلي ، لذا فإن أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين واشتقاقه ينتج $${\displaystyle {\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}}$$

(بسبب التقارب المنتظم ، يُسمح بتبديل المشتقة والمتسلسلة اللانهائية). بعد قسمة المعادلة على${\displaystyle 2x}$وبإعادة التجميع يحصل المرء $${\displaystyle {\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.}$$

نقوم بتغيير المتغيرات (${\displaystyle x=-it}$): $${\displaystyle -{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.}$$

يمكن استخدام صيغة أويلر لاستنتاج أن $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.}$$أو باستخدام الدالة الزائدية المقابلة : $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

ثم $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

والآن نأخذ الحد كـ${\displaystyle t}$يقترب من الصفر، واستخدم قاعدة لوبيتال ثلاث مرات. بتطبيق نظرية تانيري على${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$يمكننا تبديل المتسلسلات النهائية واللانهائية بحيث${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$وبموجب قاعدة المستشفى $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$$

استخدم متطابقة بارسيفال (المطبقة على الدالة f ( x ) = x ) للحصول على $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$$

لـ n ≠ 0 ، و c ₀ = 0. وبالتالي، $${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$$

و $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$$

لذلك، $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$ حسب الحاجة.

بافتراض وجود أساس متعامد كامل في الفضاء${\displaystyle L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$من الدوال الدورية L2 على${\displaystyle (0,1)}$(أي الفضاء الجزئي للدوال القابلة للتكامل التربيعي والتي هي دورية أيضًا )، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }}$هوية بارسيفال تخبرنا بذلك $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},}$$

أين${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$يُعرَّف بدلالة الجداء الداخلي على فضاء هيلبرت هذا المعطى بواسطة $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).}$$

يمكننا اعتبار الأساس المتعامد على هذا الفضاء المحدد بواسطة${\displaystyle e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )}$بحيث${\displaystyle \langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}}$ثم إذا أخذنا${\displaystyle f(\vartheta ):=\vartheta }$يمكننا حساب كليهما $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}&=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}}$$

باستخدام حساب التفاضل والتكامل الابتدائي والتكامل بالتجزئة ، على التوالي. وأخيرًا، باستخدام متطابقة بارسيفال المذكورة في الشكل أعلاه، نحصل على أن $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}}$$

من الممكن إثبات النتيجة باستخدام حساب التفاضل والتكامل الابتدائي عن طريق تطبيق تقنية التفاضل تحت علامة التكامل على التكامل المنسوب إلى فريتاس: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}\right)dx.}$$

على الرغم من أنه لا يمكن التعبير عن الدالة الأولية للدالة المراد تكاملها بدلالة الدوال الأولية، إلا أنه يمكن تحقيق ذلك عن طريق التفاضل بالنسبة إلى${\displaystyle \alpha }$نصل إلى

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}}dx,}$$ والتي يمكن دمجها عن طريق الاستبدال${\displaystyle u=e^{-x}}$وإكمال المربع. في النطاق${\displaystyle -2<\alpha <2}$يختزل التكامل المحدد إلى

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}={\frac {2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\left[\arctan \left({\frac {\alpha +2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)-\arctan \left({\frac {\alpha }{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)\right].}$$

يمكن تبسيط التعبير باستخدام صيغة جمع دالة الظل العكسي وتكامله بالنسبة إلى${\displaystyle \alpha }$عن طريق التعويض المثلثي ، مما ينتج عنه

$${\displaystyle I(\alpha )=-{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}+c.}$$

ثابت التكامل${\displaystyle c}$يمكن تحديد ذلك من خلال ملاحظة وجود قيمتين متميزتين لـ${\displaystyle I(\alpha )}$ترتبط ببعضها البعض من خلال

$${\displaystyle I(2)=4I(0),}$$ لأنه عند الحساب${\displaystyle I(2)}$يمكننا تحليل${\displaystyle 1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x})^{2}}$وعبّر عنها من حيث${\displaystyle I(0)}$باستخدام لوغاريتم متطابقة القوة والاستبدال${\displaystyle u=x/2}$وهذا يجعل من الممكن تحديد${\displaystyle c={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ويترتب على ذلك

$${\displaystyle I(-2)=2\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}.}$$

يمكن حساب هذا التكامل النهائي عن طريق توسيع اللوغاريتم الطبيعي إلى متسلسلة تايلور الخاصة به :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}}{n}}dx=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

تشير المتطابقتان الأخيرتان إلى

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

بينما تستخدم معظم البراهين نتائج من الرياضيات المتقدمة ، مثل تحليل فورييه ، والتحليل المركب ، وحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، فإن ما يلي لا يتطلب حتى حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد (إلى أن يتم أخذ نهاية واحدة في النهاية).

للاطلاع على برهان باستخدام نظرية الباقي، انظر هنا .

الدليل

تتمثل الفكرة الرئيسية وراء البرهان في تحديد حدود المجاميع الجزئية (المحدودة). $${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}$$ بين تعبيرين، يؤول كل منهما إلى π² / ⁶ عندما يقترب m من اللانهاية . يُشتق هذان التعبيران من متطابقات تتضمن دالتي ظل التمام وقاطع التمام . تُشتق هاتان المتطابقتان بدورهما من صيغة دي موافر ، وسنتناول الآن إثباتهما.

ليكن x عددًا حقيقيًا حيث 0 < x < π / 2 ، وليكن n عددًا صحيحًا فرديًا موجبًا. عندئذٍ ، من صيغة دي موافر وتعريف دالة الظل التمام، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}&={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}}$$

من نظرية ذات الحدين ، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}}$$

بدمج المعادلتين ومساواة الأجزاء التخيلية نحصل على المتطابقة $${\displaystyle {\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.}$$

نأخذ هذه المتطابقة، ونثبت عددًا صحيحًا موجبًا m ، ونضع n = 2m + 1 ، ونعتبر x _r = r π / 2m + 1 حيث r = 1، 2، ...، m . إذن nx _r هو مضاعف لـ π، وبالتالي sin ( nx r ₎ = 0 . $${\displaystyle 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}$$

لكل قيمة لـ r = 1، 2، ...، m ، فإن القيم x_{_r} = x _₁ ، x _₂ ، ...، x_{_m} هي أعداد مختلفة في الفترة 0 < x _{_r} < π / 2 . وبما أن الدالة cot ^²x دالة أحادية على هذه الفترة، فإن الأعداد t _{_r} = cot^² x _{_r} تكون مختلفة لكل قيمة لـ r = 1، 2، ...، m . وبناءً على المعادلة السابقة، فإن هذه الأعداد m هي جذور كثيرة الحدود من الدرجة m.$${\displaystyle p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.}$$

باستخدام صيغ فييتا، يمكننا حساب مجموع الجذور مباشرةً من خلال فحص أول معاملين لكثير الحدود، وتُظهر هذه المقارنة أن $${\displaystyle \cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.}$$

بالتعويض عن المتطابقة csc ² x = cot ² x + 1 ، نحصل على $${\displaystyle \csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

والآن ، لننظر إلى المتباينة cot ² x < 1 / x ² < csc ² x (الموضحة هندسيًا أعلاه). إذا جمعنا كل هذه المتباينات لكل عدد من الأعداد x r = r π / 2 m ₊ 1 ، وإذا استخدمنا المتطابقتين أعلاه ، فسنحصل على $${\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

بضرب طرفي المعادلة في ( π / 2 م + 1 ) ²، يصبح هذا $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).}$$

عندما تقترب قيمة m من اللانهاية، فإن تعبيري الطرفين الأيمن والأيسر يقتربان من π² / 6 ، لذا ^، وفقًا لنظرية الضغط ، $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

وبهذا يكتمل البرهان.

يمكن أيضًا تقديم برهان بافتراض صحة حدسية ويل حول أعداد تاماغاوا . ^{[ 13 ]} تنص الحدسية على أنه في حالة المجموعة الجبرية SL ₂ ( R )، يكون عدد تاماغاوا لهذه المجموعة واحدًا. أي أن خارج قسمة المجموعة الخطية الخاصة على الأعداد النسبية ( adeles) على المجموعة الخطية الخاصة على الأعداد النسبية ( مجموعة مضغوطة ، لأن${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Q} )}$(هو شبكة في الأديل) له قياس تاماغاوا 1: $${\displaystyle \tau (SL_{2}(\mathbb {Q} )\setminus SL_{2}(A_{\mathbb {Q} }))=1.}$$

لتحديد مقياس تاماغاوا، المجموعة${\displaystyle SL_{2}}$يتكون من مصفوفات $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}}}$$ مع${\displaystyle xt-yz=1}$. شكل الحجم الثابت على المجموعة هو $${\displaystyle \omega ={\frac {1}{x}}dx\wedge dy\wedge dz.}$$

مقياس الناتج هو حاصل ضرب مقاييس${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )}$بما يتوافق مع المكان اللانهائي، ومقاييس${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p})}$في كل مكان محدود، حيث${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هي الأعداد الصحيحة p-adic .

بالنسبة للعوامل المحلية، $${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=|SL_{2}(F_{p})|\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p))}$$ أين${\displaystyle F_{p}}$هو الحقل الذي${\displaystyle p}$العناصر، و${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$هي مجموعة التطابق الفرعية modulo${\displaystyle p}$بما أن كل إحداثيات${\displaystyle x,y,z}$قم برسم المجموعة الأخيرة على${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$و${\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}\right|_{p}=1}$، مقياس${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$يكون${\displaystyle \mu _{p}(p\mathbb {Z} _{p})^{3}=p^{-3}}$، أين${\displaystyle \mu _{p}}$هو مقياس هار المعياري على${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$كما تُظهر عملية حسابية قياسية أن${\displaystyle |SL_{2}(F_{p})|=p(p^{2}-1)}$يؤدي الجمع بين هذه العناصر إلى${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=(1-1/p^{2})}$.

في المكان اللانهائي، يتم إجراء حساب تكاملي على المجال الأساسي لـ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$يُظهر ذلك أن${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} ))=\pi ^{2}/6}$وبالتالي فإن تخمين ويل يعطي في النهاية $${\displaystyle 1={\frac {\pi ^{2}}{6}}\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right).}$$ على الجانب الأيمن، نُدرك منتج أويلر لـ${\displaystyle 1/\zeta (2)}$وهكذا نجد حلاً لمشكلة بازل.

يُظهر هذا النهج الصلة بين الهندسة (الزائدية) والحساب، ويمكن عكسه لتقديم برهان على حدسية ويل للحالة الخاصة لـ${\displaystyle SL_{2}}$رهناً بإثبات مستقل أن${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$.

يمكن إثبات مسألة بازل باستخدام الهندسة الإقليدية ، بالاستفادة من فكرة أن خط الأعداد الحقيقية يُمكن اعتباره دائرة ذات نصف قطر لانهائي . ويُقدّم هنا رسم توضيحي بديهي، وإن لم يكن دقيقًا تمامًا.

• اختر عددًا صحيحًا${\displaystyle N}$وخذ${\displaystyle N}$نقاط متساوية التباعد على دائرة محيطها يساوي${\displaystyle 2N}$نصف قطر الدائرة هو${\displaystyle N/\pi }$وطول كل قوس بين نقطتين هو${\displaystyle 2}$. سمِّ النقاط${\displaystyle P_{1..N}}$.
• لنأخذ نقطة عامة أخرى${\displaystyle Q}$على الدائرة، والتي ستقع عند جزء${\displaystyle 0<\alpha <1}$جزء من القوس بين نقطتين متتاليتين (مثلاً${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$(دون فقدان للعمومية).
• ارسم جميع الأوتار المتصلة${\displaystyle Q}$مع كل واحد من${\displaystyle P_{1..N}}$النقاط. الآن (وهذا هو مفتاح البرهان)، احسب مجموع مربعات معكوس أطوال جميع هذه الأوتار، ولنسمها${\displaystyle sisc}$.
• يعتمد البرهان على الحقيقة البارزة وهي (لـ ثابت)${\displaystyle \alpha }$)، ال${\displaystyle sisc}$لا يعتمد على${\displaystyle N}$لاحظ أنه بشكل بديهي، كما${\displaystyle N}$يزداد عدد الأوتار، لكن طولها يزداد أيضًا (مع ازدياد حجم الدائرة)، لذا فإن مربعها العكسي يتناقص.
• على وجه الخصوص، خذ الحالة التي${\displaystyle \alpha =1/2}$وهذا يعني أن${\displaystyle Q}$هي نقطة منتصف القوس بين نقطتين متتاليتين${\displaystyle P}$'s. الـ${\displaystyle sisc}$ويمكن بعد ذلك إيجادها بسهولة من الحالة${\displaystyle N=1}$، حيث يوجد واحد فقط${\displaystyle P}$وواحد${\displaystyle Q}$على الجانب المقابل من الدائرة. عندئذٍ يكون الوتر هو قطر الدائرة، وطوله${\displaystyle 2/\pi }$. ال${\displaystyle sisc}$ثم${\displaystyle \pi ^{2}/4}$.
• متى${\displaystyle N}$عندما تتجه الدائرة إلى ما لا نهاية، فإنها تقترب من خط الأعداد الحقيقية. إذا حددت نقطة الأصل عند${\displaystyle Q}$النقاط${\displaystyle P_{1..N}}$يتم وضعها في المواضع الفردية (الموجبة والسالبة)، لأن طول الأقواس هو 1 من${\displaystyle Q}$ل${\displaystyle P_{1}}$ومن 2 فصاعدًا. ومن ثم تحصل على هذا التباين في مسألة بازل:

$${\displaystyle \sum _{z=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(2z-1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{4}}}$$

• ومن هنا، يمكنك استعادة الصيغة الأصلية باستخدام القليل من الجبر، كما يلي:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2}}\sum _{z=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(2z-1)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$$

إنه،

$${\displaystyle {\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$$

أو

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$.

استقلال${\displaystyle sisc}$من${\displaystyle N}$يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام الهندسة الإقليدية في الحالة الأكثر تقييدًا حيث${\displaystyle N}$هو قوة للعدد 2، أي${\displaystyle N=2^{n}}$وهذا ما يسمح بتطبيق الحجة الحدية. ويتم البرهان بالاستقراء على${\displaystyle n}$ويستخدم نظرية فيثاغورس العكسية ، التي تنص على ما يلي:

$${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}$$

أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هما الساقان و${\displaystyle h}$يمثل ارتفاع المثلث القائم الزاوية.

• في الحالة الأساسية لـ${\displaystyle n=0}$يوجد وتر واحد فقط. في حالة${\displaystyle \alpha =1/2}$، وهو ما يتوافق مع القطر و${\displaystyle sisc}$يكون${\displaystyle \pi ^{2}/4}$كما هو مذكور أعلاه.
• والآن، افترض أن لديك${\displaystyle 2^{n}}$نقاط على دائرة نصف قطرها${\displaystyle 2^{n}/\pi }$والمركز${\displaystyle O}$، و${\displaystyle 2^{n+1}}$نقاط على دائرة نصف قطرها${\displaystyle 2^{n+1}/\pi }$والمركز${\displaystyle R}$تتمثل خطوة الاستقراء في إثبات أن هاتين الدائرتين لهما نفس${\displaystyle sisc}$بالنسبة لـ${\displaystyle \alpha }$.

• ابدأ برسم الدوائر بحيث تشترك في نقطة واحدة${\displaystyle Q}$. لاحظ أن${\displaystyle R}$يقع على الدائرة الأصغر. ثم لاحظ أن${\displaystyle 2^{n+1}}$يكون دائمًا زوجيًا، وتُظهر حجة هندسية بسيطة أنه يمكنك اختيار أزواج من النقاط المتقابلة${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$على الدائرة الأكبر عن طريق توصيل كل زوج بقطر. علاوة على ذلك، بالنسبة لكل زوج، ستكون إحدى النقاط في النصف "السفلي" من الدائرة (أقرب إلى${\displaystyle Q}$) والآخر في النصف "العلوي".

• قطر الدائرة الأكبر${\displaystyle P_{1}P_{2}}$يقطع الدائرة الأصغر عند${\displaystyle R}$وفي نقطة أخرى${\displaystyle P}$يمكنك بعد ذلك مراعاة الاعتبارات التالية:
  • ${\displaystyle P_{1}{\widehat {Q}}P_{2}}$هي زاوية قائمة، لأن${\displaystyle P_{1}P_{2}}$هو قطر.
  • ${\displaystyle Q{\widehat {P}}R}$هي زاوية قائمة، لأن${\displaystyle QR}$هو قطر.
  • ${\displaystyle Q{\widehat {R}}P_{2}=Q{\widehat {R}}P}$نصف${\displaystyle Q{\widehat {O}}P}$لنظرية الزاوية المحيطية .
  • وبالتالي، القوس${\displaystyle QP}$يساوي القوس${\displaystyle QP_{2}}$وذلك لأن نصف القطر يساوي النصف.
  • الوتر${\displaystyle QP}$هو ارتفاع المثلث القائم الزاوية${\displaystyle QP_{1}P_{2}}$وبالتالي، بالنسبة لنظرية فيثاغورس العكسية:

$${\displaystyle {\frac {1}{{\overline {QP}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {QP_{1}}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {QP_{2}}}^{2}}}}$$

• وبالتالي، بالنسبة لنصف النقاط على الدائرة الأكبر (النقاط الموجودة في النصف السفلي)، توجد نقطة مقابلة على الدائرة الأصغر لها نفس المسافة القوسية من${\displaystyle Q}$(بما أن محيط الدائرة الأصغر يساوي نصف محيط الدائرة الأكبر، فإن النقطتين الأخيرتين الأقرب إلى${\displaystyle R}$يجب أن تكون مسافة القوس 2 أيضًا). والعكس صحيح، بالنسبة لكل من${\displaystyle 2^{n}}$إذا كانت لدينا نقاط على الدائرة الأصغر، فيمكننا إنشاء زوج من النقاط على الدائرة الأكبر، وجميع هذه النقاط متساوية البعد ولها نفس المسافة القوسية من${\displaystyle Q}$.
• علاوة على ذلك، فإن الإجمالي${\displaystyle sisc}$لأن الدائرة الأكبر هي نفسها${\displaystyle sisc}$بالنسبة للدائرة الأصغر، لأن كل زوج من النقاط على الدائرة الأكبر له نفس مجموع مربعات المعكوس مثل النقطة المقابلة على الدائرة الأصغر. ^{[ 14 ]}

انظر إلى الحالات الخاصة لهويات دالة زيتا لريمان عندما${\displaystyle s=2.}$تظهر هويات وتمثيلات أخرى مميزة لهذا الثابت في الأقسام أدناه.