نظرية الالتفاف

في الرياضيات ، تنص نظرية الالتفاف على أنه في ظل شروط معينة، يكون تحويل فورييه للالتفاف بين دالتين (أو إشارتين ) مساويًا لحاصل ضرب تحويلي فورييه لهما. وبشكل أعم، فإن الالتفاف في مجال معين (مثل المجال الزمني ) يساوي الضرب النقطي في المجال الآخر (مثل مجال التردد ). وتُطبق صيغ أخرى من نظرية الالتفاف على تحويلات مختلفة مرتبطة بتحويل فورييه .

دوال المتغير المستمر

لنفترض دالتين $u(x)$ و $v(x)$ باستخدام تحويلات فورييه $U$ و $V$ :

${\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\[1ex]V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

أين ${\mathcal {F}}$ يرمز إلى مُعامل تحويل فورييه . يمكن تطبيع التحويل بطرق أخرى، وفي هذه الحالة تكون عوامل القياس ثابتة (عادةً $2\pi$ أو ${\sqrt {2\pi }}$ سيظهر ) في نظرية الالتفاف أدناه. التفاف $u$ و $v$ يُعرَّف بما يلي:

$r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .$

في هذا السياق، تشير علامة النجمة إلى عملية الالتفاف، بدلاً من الضرب القياسي. رمز الضرب الموتري $\otimes$ يُستخدم أحيانًا بدلاً من ذلك.

تنص نظرية الالتفاف على ما يلي: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{: المعادلة 8}

$R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=U(f)V(f).\quad f\in \mathbb {R}$ ( المعادلة 1أ )

تطبيق تحويل فورييه العكسي ${\mathcal {F}}^{-1},$ ينتج عنه النتيجة التالية : ^{[ 2 ]}^{: المعادلتان 7 و 10}

نظرية الالتفاف

$r(x)=\{u*v\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{U\cdot V\}.$ ( المعادلة 1ب )

تنطبق النظرية أيضاً بشكل عام على الدوال متعددة الأبعاد.

الاشتقاق متعدد الأبعاد للمعادلة 1

ضع في اعتبارك الدوال $u,v$ في فضاء L ^p $L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ باستخدام تحويلات فورييه $U,V$ :

${\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}$

أين $f\cdot x$ يشير إلى الناتج الداخلي لـ $\mathbb {R} ^{n}$ : $f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},$ و $dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.$

التفاف $u$ و $v$ يُعرَّف بواسطة :

$r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau .$

أيضًا:

$\iint |u(\tau )v(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|u(\tau )|\int |v(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |u(\tau )|\,\|v\|_{1}\,d\tau =\|u\|_{1}\|v\|_{1}.$

وبالتالي، وفقًا لنظرية فوبيني، لدينا أن $r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ لذا فإن تحويل فورييه الخاص به $R$ يتم تعريفها بواسطة الصيغة التكاملية التالية :

${\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}$

لاحظ أن $|u(\tau )v(x-\tau )e^{-i2\pi f\cdot x}|=|u(\tau )v(x-\tau )|,$ وبالتالي، بناءً على الحجة المذكورة أعلاه، يمكننا تطبيق نظرية فوبيني مرة أخرى (أي تبديل ترتيب التكامل):

${\begin{aligned}R(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}v(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{V(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }\,d\tau \right)} _{U(f)}\ V(f).\end{aligned}}$

تنطبق هذه النظرية أيضًا على تحويل لابلاس ، وتحويل لابلاس ثنائي الجانب ، وعند تعديلها بشكل مناسب، تنطبق على تحويل ميلين وتحويل هارتلي (انظر نظرية ميلين العكسية ). ويمكن تعميمها على تحويل فورييه للتحليل التوافقي المجرد المعرف على مجموعات أبيلية متراصة محليًا .

الالتفاف الدوري (معاملات متسلسلة فورييه)

يعتبر $P$ الدوال الدورية $u_{_{P}}$ و $v_{_{P}},$ والتي يمكن التعبير عنها كمجموعات دورية :

$u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)$ و $v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).$

عملياً، الجزء غير الصفري من المكونات $u$ و $v$ غالباً ما تكون محدودة المدة $P,$ لكن لا شيء في النظرية يتطلب ذلك.

معاملات متسلسلة فورييه هي:

${\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z$

أين ${\mathcal {F}}$ يرمز إلى تكامل متسلسلة فورييه .

المنتج: $u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)$ وهو أيضًا $P$ دورية، ومعاملات متسلسلة فورييه الخاصة بها تُعطى بواسطة الالتفاف المنفصل لـ $U$ و $V$ التسلسلات: ${\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].$
الالتفاف: ${\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau$ هو أيضًا $P$ -دوري، ويسمى التفاف دوري .

اشتقاق الالتفاف الدوري

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ is an arbitrary parameter}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ by periodicity}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{substituting }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}$

تنص نظرية الالتفاف المقابلة على ما يلي :

${\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].$ ( المعادلة 2 )

اشتقاق المعادلة 2

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],\quad {\text{due to periodicity}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}$

دوال المتغير المنفصل (المتتابعات)

وباستخدام اشتقاق مشابه للمعادلة 1، توجد نظرية مماثلة للمتتاليات، مثل عينات من دالتين متصلتين، حيث الآن ${\mathcal {F}}$ يرمز إلى مُعامل تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT). لنفترض وجود متتابعتين $u[n]$ و $v[n]$ مع التحويلات $U$ و $V$ :

${\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}$

الالتفاف المنفصل لـ $u$ و $v$ يُعرَّف بما يلي:

$r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].$

نظرية الالتفاف للمتتاليات المنفصلة هي: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{: ص.60 (2.169)}

$R(f)={\mathcal {F}}\{u*v\}(f)=\ U(f)V(f).$ ( المعادلة 3 )

الالتفاف الدوري

$U(f)$ و $V(f),$ كما هو مُعرَّف أعلاه، فهي دورية، ودورتها تساوي 1. لنأخذ في الاعتبار $N$ -المتتابعات الدورية $u_{_{N}}$ و $v_{_{N}}$ :

$u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]$ و $v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .$

تحدث هذه الوظائف نتيجة لأخذ العينات $U$ و $V$ على فترات من $1/N$ وإجراء تحويل فورييه المنفصل العكسي (DFT) على $N$ العينات (انظر § أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل ). الالتفاف المنفصل :

$\{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]$

وهو أيضًا $N$ - دورية، وتسمى التفافًا دوريًا . إعادة تعريف ${\mathcal {F}}$ المشغل كـ $N$ بالنسبة لـ DFT بطول n، فإن النظرية المقابلة هي: ^{[ 5 ]}^{[ 4 ]}^{: ص 548}

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .$ ( المعادلة 4أ )

وبالتالي:

$\{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}.$ ( المعادلة 4ب )

في ظل الظروف المناسبة، يكون ذلك ممكناً $N$ تسلسل بطول يحتوي على جزء خالٍ من التشوه من $u*v$ الالتفاف. ولكن عندما يكون الجزء غير الصفري من $u(n)$ أو $v(n)$ التسلسل يساوي أو أطول من $N,$ بعض التشوه أمر لا مفر منه. هذا هو الحال عندما $V(k/N)$ يتم الحصول على التسلسل عن طريق أخذ عينات مباشرة من تحويل فورييه المنفصل (DTFT) لاستجابة النبضة ذات الطول اللانهائي . ^{[ أ ]}

ل $u$ و $v$ المتتاليات التي لا تقل مدتها عن الصفر عن أو تساوي $N,$ التبسيط النهائي هو:

الالتفاف الدائري

$\{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.$ ( المعادلة 4ج )

يُستخدم هذا الشكل غالبًا لتنفيذ عملية الالتفاف العددي بكفاءة باستخدام الحاسوب . (انظر § خوارزميات الالتفاف السريع و § مثال )

كعكس جزئي، فقد تم إثبات ^{[ 6 ]} أن أي تحويل خطي يحول الالتفاف إلى منتج هو DFT (حتى تبديل المعاملات).

اشتقاقات المعادلة 4

يتم اشتقاق المعادلة في المجال الزمني على النحو التالي:

${\begin{aligned}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}v_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle {\text{due to periodicity}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}$

ويتبع اشتقاق مجال التردد من قسم البيانات الدورية ، والذي يشير إلى أنه يمكن كتابة تحويلات فورييه المنفصلة على النحو التالي:

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5a)}}$

${\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).$

المنتج مع $V(f)$ وبذلك يتم اختزالها إلى دالة تردد منفصلة:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}(f)&=G_{_{N}}(f)V(f)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(f)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot V(k/N)\cdot \delta \left(f-k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}$

حيث تكافؤ $V(k/N)$ و $\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right)$ ويترتب على ذلك من § أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل . لذلك، فإن تكافؤ (5أ) و(5ب) يتطلب ما يلي:

$\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{u_{_{N}}*v\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\right).$

يمكننا أيضًا التحقق من التحويل العكسي لـ DTFT للمعادلة (5ب):

${\begin{aligned}(u_{_{N}}*v)[n]&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(f-k/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(f-k/N\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\right)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{u_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{v_{_{N}}\}{\bigg )}.\end{aligned}}$

نظرية الالتفاف لتحويل فورييه العكسي

توجد أيضًا نظرية الالتفاف لتحويل فورييه العكسي:

هنا، " $\cdot$ يمثل " ناتج هادامارد ، و" $*$ يمثل " عملية التفاف بين المصفوفتين.

${\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}$

لهذا السبب.

${\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}$

نظرية الالتفاف للتوزيعات المعتدلة

تمتد نظرية الالتفاف لتشمل التوزيعات المعتدلة . هنا، $v$ هو توزيع معتدل عشوائي:

${\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}$

لكن $\alpha =F\{u\}$ يجب أن يكون "يتناقص بسرعة" نحو $-\infty$ و $+\infty$ لضمان وجود كل من ناتج الالتفاف وناتج الضرب. أو بصورة مكافئة، إذا $u=F^{-1}\{\alpha \}$ هي دالة عادية سلسة "بطيئة النمو"، وتضمن وجود كل من ناتج الضرب وناتج الالتفاف. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

على وجه الخصوص، كل توزيع معتدل ذو دعم مضغوط، مثل دالة ديراك دلتا ، يكون "متناقصًا بسرعة". وبالمثل، فإن الدوال محدودة النطاق ، مثل الدالة التي تكون ثابتة $1$ هي دوال عادية سلسة "تنمو ببطء". على سبيل المثال، إذا $v\equiv \operatorname {\text{Ш}}$ إذا كانت دالة ديراك مشطية، فإن كلا المعادلتين تعطيان صيغة مجموع بواسون ، وإذا، علاوة على ذلك، $u\equiv \delta$ هل هذا هو دلتا ديراك؟ $\alpha \equiv 1$ هو واحد باستمرار وهذه المعادلات تعطي هوية مشط ديراك .

انظر أيضاً

دالة توليد العزوم لمتغير عشوائي

ملحوظات

↑ مثال على ذلك هو دالة MATLAB ، hilbert(u,N) .

مراجع

↑ ماكجيليم، كلير د.؛ كوبر، جورج ر. (1984). تحليل الإشارات والأنظمة المستمرة والمتقطعة ( الطبعة الثانية). هولت، راينهارت ووينستون. ص 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0.
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الالتفاف" . من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 8 فبراير 2021 .
↑ بروكيس، جون ج.؛ مانولاكيس، ديمتري ج. (1996)، معالجة الإشارات الرقمية: المبادئ والخوارزميات والتطبيقات ( الطبعة الثالثة)، نيو جيرسي: برنتيس هول إنترناشونال، ص 297، رمز Bibcode : 1996dspp.book.....P ، ISBN 9780133942897sAcfAQAAIAAJ
1 2 أوبنهايم، آلان ف .؛ شيفر، رونالد و .؛ باك، جون ر. (1999). معالجة الإشارات الزمنية المنفصلة ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 0-13-754920-2.
↑ رابينر، لورانس ر.؛ جولد، برنارد (1975). نظرية وتطبيق معالجة الإشارات الرقمية . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، ص 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.
↑ أميوت، إيمانويل (2016). الموسيقى عبر فضاء فورييه . علم الموسيقى الحاسوبي. زيورخ: سبرينغر. ص 8. doi : 10.1007/978-3-319-45581-5 . ISBN 978-3-319-45581-5. S2CID 6224021 .
↑ هورفاث، جون (1966). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية والتوزيعات . ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر.
^ باروس نيتو، خوسيه (1973). مقدمة لنظرية التوزيعات . نيويورك، نيويورك: ديكر.
↑ بيترسن، بنت إي. (1983). مقدمة في تحويل فورييه والمؤثرات التفاضلية الزائفة . بوسطن، ماساتشوستس: دار نشر بيتمان.

للمزيد من القراءة

كاتزنيلسون، يتسحاق (1976)، مقدمة في التحليل التوافقي ، دوفر، ISBN 0-486-63331-4
لي، بينغ؛ بابو، جي. جوجيش (2019)، "نظرية الالتفاف والكفاءة التقاربية"، دورة دراسات عليا في الاستدلال الإحصائي ، نيويورك: سبرينغر، ص 295-327 ، ISBN 978-1-4939-9759-6
كروتشيفيلد، ستيف (9 أكتوبر 2010)، "متعة الالتفاف" ، جامعة جونز هوبكنز ، تم الاطلاع عليه في 19 نوفمبر 2010

مصادر إضافية

للاطلاع على تمثيل مرئي لاستخدام نظرية الالتفاف في معالجة الإشارات ، انظر:

محاكاة جامعة جونز هوبكنز المدعومة بلغة جافا : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

[6] مثال على ذلك هو دالة MATLAB ، hilbert(u,N) .

[McGillem-1] ماكجيليم، كلير د.؛ كوبر، جورج ر. (1984). تحليل الإشارات والأنظمة المستمرة والمتقطعة ( الطبعة الثانية). هولت، راينهارت ووينستون. ص 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0.

[Weisstein-2] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الالتفاف" . من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 8 فبراير 2021 .

[Proakis-3] بروكيس، جون ج.؛ مانولاكيس، ديمتري ج. (1996)، معالجة الإشارات الرقمية: المبادئ والخوارزميات والتطبيقات ( الطبعة الثالثة)، نيو جيرسي: برنتيس هول إنترناشونال، ص 297، رمز Bibcode : 1996dspp.book.....P ، ISBN 9780133942897sAcfAQAAIAAJ

[Oppenheim-4] 1 2 أوبنهايم، آلان ف .؛ شيفر، رونالد و .؛ باك، جون ر. (1999). معالجة الإشارات الزمنية المنفصلة ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 0-13-754920-2.

[Rabiner-5] رابينر، لورانس ر.؛ جولد، برنارد (1975). نظرية وتطبيق معالجة الإشارات الرقمية . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، ص 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.

[7] أميوت، إيمانويل (2016). الموسيقى عبر فضاء فورييه . علم الموسيقى الحاسوبي. زيورخ: سبرينغر. ص 8. doi : 10.1007/978-3-319-45581-5 . ISBN 978-3-319-45581-5. S2CID 6224021 .

[8] هورفاث، جون (1966). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية والتوزيعات . ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر.

[9] باروس نيتو، خوسيه (1973). مقدمة لنظرية التوزيعات . نيويورك، نيويورك: ديكر.

[10] بيترسن، بنت إي. (1983). مقدمة في تحويل فورييه والمؤثرات التفاضلية الزائفة . بوسطن، ماساتشوستس: دار نشر بيتمان.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ أ ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]