مشط ديراك

في الرياضيات ، مشط ديراك (المعروف أيضًا باسم دالة شا ، أو سلسلة النبضات ، أو دالة أخذ العينات ) هو دالة دورية معممة ذات الصيغة التالية: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$لفترة زمنية محددة${\displaystyle T}$[ ¹ ]هنا^​​​${\displaystyle t}$⁠ متغير حقيقي، والمجموع يشمل جميع الأعداد الصحيحة ⁠${\displaystyle k}$دالة ديراك دلتا${\displaystyle \delta }$وتُعدّ مشط ديراك توزيعات معتدلة . ^{[ 2 ] [ 3 ]} يشبه رسم الدالة مشطًا (مع${\displaystyle \delta }$(كما هو الحال في "أسنان" المشط)، ومن هنا جاء اسمه واستخدام الحرف السيريلي sha (Ш) الذي يشبه المشط للدلالة على الوظيفة.

الرمز ⁠${\displaystyle {\text{Ш}}(t)}$، حيث الفترة${\displaystyle T}$تم حذف ⁠ ، ويمثل مشط ديراك ذو فترة وحدة: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (t):=\operatorname {\text{Ш}} _{1}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (tk)}$$ وهذا يعني ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \!\left({t}/{T}\right).}$$

نظرًا لأن دالة ديراك المشطية دورية، يمكن تمثيلها كمتسلسلة فورييه تستند إلى نواة ديريشليه : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{t}/{T}}.}$$

تتيح دالة مشط ديراك تمثيل الظواهر المستمرة والمتقطعة ، مثل أخذ العينات والتشويه ، ضمن إطار واحد لتحليل فورييه المستمر على التوزيعات المعتدلة، دون الحاجة إلى الرجوع إلى متسلسلات فورييه. ويُعدّ تحويل فورييه لمشط ديراك مشط ديراك آخر. وبفضل نظرية الالتفاف على التوزيعات المعتدلة ، والتي تُعرف بصيغة جمع بواسون ، في معالجة الإشارات ، يسمح مشط ديراك بنمذجة أخذ العينات عن طريق الضرب به، كما يسمح بنمذجة التقسيم الدوري عن طريق الالتفاف به. ^{[ 4 ]}

يمكن إنشاء مشط ديراك بطريقتين، إما باستخدام عامل المشط (إجراء عملية أخذ العينات ) المطبق على الدالة الثابتة .${\displaystyle 1}$أو بدلاً من ذلك، باستخدام عامل التكرار (الذي يقوم بعملية التقسيم الدوري ) المطبق على دالة ديراك دلتا .${\displaystyle \delta }$. رسميًا، ينتج عن هذا ما يلي: ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$ أين $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$و$${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

في معالجة الإشارات ، تسمح هذه الخاصية من جهة بأخذ عينات من دالة.${\displaystyle f(t)}$عن طريق الضرب في${\displaystyle {\text{Ш}}_{T}}$ومن ناحية أخرى، يسمح أيضًا بتقسيم الفترة الزمنية لـ${\displaystyle f(t)}$عن طريق الالتفاف مع${\displaystyle {\text{Ш}}_{T}}$⁠ . ^{[ 7 ]} متطابقة ديراك المشطية هي حالة خاصة من نظرية الالتفاف للتوزيعات المعتدلة.

تنتج خاصية القياس لمشط ديراك من خصائص دالة دلتا ديراك .${\displaystyle \delta (t)={\tfrac {1}{a}}\delta \!\left({\tfrac {t}{a}}\right)}$^{[ 8 ]} للأعداد الحقيقيةالموجبة${\displaystyle a}$وبناءً على ذلك: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$ لاحظ أن ذلك يتطلب أرقام قياس موجبة${\displaystyle a}$إن استخدام الأعداد السالبة بدلاً من الأعداد الصحيحة ليس قيداً، لأن الإشارة السالبة ستعكس فقط ترتيب عملية الجمع داخل ⁠${\displaystyle {\text{Ш}}_{T}}$، وهو ما لا يؤثر على النتيجة.

من الواضح أن${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$دورية ذات دورة${\displaystyle T}$أي​ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$$ للجميع​${\displaystyle t}$. متسلسلة فورييه المركبة لمثل هذه الدالة الدورية هي $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{t}/{T}},}$$ حيث (باستخدام نظرية التوزيع ) تكون معاملات فورييه $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{t}/{T}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{T}/{2}}^{{T}/{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{t}/{T}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{T}/{2}}^{{T}/{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{t}/{T}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

جميع معاملات فورييه هي${\displaystyle 1/T}$مما ينتج عنه $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{t}/{T}}.}$$

عندما تكون الدورة وحدة واحدة، يتبسط هذا إلى $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$ هذه سلسلة متباعدة ، عندما تُفهم على أنها سلسلة من الأعداد المركبة العادية، ولكنها تصبح متقاربة بمعنى التوزيعات .

يتم استخدام "الجذر التربيعي" لمشط ديراك في بعض تطبيقات الفيزياء، على وجه التحديد: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \delta _{N}^{(1/2)}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {NT}}}\sum _{\nu =0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{T}}\xi \nu },\quad \lim _{N\rightarrow \infty }\left|\delta _{N}^{(1/2)}(\xi )\right|^{2}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -kT).}$$ لكن هذا ليس توزيعًا بالمعنى المعتاد.

إن تحويل فورييه لمشط ديراك هو أيضاً مشط ديراك. بالنسبة لتحويل فورييه${\displaystyle {\mathcal {F}}}$معبر عنها في مجال التردد (هرتز) مشط ديراك${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$فترة${\displaystyle T}$يتحول إلى مشط ديراك مُعاد تحجيمه من الفترة ⁠${\displaystyle 1/T}$، أي لـ

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}(\xi )}$

يتناسب مع مشط ديراك آخر، ولكن مع دورة${\displaystyle 1/T}$في مجال التردد (راديان/ثانية). مشط ديراك${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$فترة الوحدة${\displaystyle T=1}$وبالتالي فهي دالة ذاتية لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إلى القيمة الذاتية${\displaystyle 1}$⁠ .

يمكن إثبات هذه النتيجة ^{[ 7 ]} من خلال النظر في تحويلات فورييه الخاصة بها.${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$من عائلة الدوال${\displaystyle s_{\tau }(x)}$محدد بواسطة

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

منذ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$هي سلسلة متقاربة من الدوال الغاوسية ، وتتحول الدوال الغاوسية إلى دوال غاوسية أخرى ، كل منها من تحويلات فورييه الخاصة بها.${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$وينتج عن ذلك أيضًا سلسلة من التوزيعات الغاوسية، ويثبت الحساب الصريح أن

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

الوظائف${\displaystyle s_{\tau }(x)}$و${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$وبالتالي، يشبه كل منها دالة دورية تتكون من سلسلة من النتوءات الغاوسية المتساوية البعد.${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$و${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$يتم تحديد "ارتفاعاتها" (معاملاتها الأولية) بواسطة دوال غلاف غاوسية متناقصة ببطء تتلاشى إلى الصفر عند اللانهاية. لاحظ أنه في النهاية${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$تتحول كل نبضة غاوسية إلى نبضة ديراك حادة للغاية متمركزة على التوالي عند${\displaystyle x=n}$و${\displaystyle \xi =m}$لكل منها على حدة${\displaystyle n}$و​${\displaystyle m}$وبالتالي جميع العوامل المسبقة أيضًا${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$في${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$في النهاية يصبح من المستحيل تمييزه عن${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$لذلك فإن الدوال${\displaystyle s_{\tau }(x)}$وتحويلات فورييه الخاصة بها${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$تتقارب إلى نفس الدالة، وهذه الدالة الحدية هي سلسلة من النبضات الغاوسية اللانهائية متساوية البعد، حيث يتم ضرب كل نبضة بنفس العامل المسبق وهو واحد، أي مشط ديراك لفترة الوحدة:

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x})}$ و ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

منذ​${\displaystyle {1}}$، نحصل في هذه الحالة على النتيجة المراد إثباتها:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

النتيجة المقابلة للفترة${\displaystyle T}$يمكن إيجادها من خلال استغلال خاصية القياس لتحويل فورييه ،

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

ثمة طريقة أخرى لإثبات أن مشط ديراك يتحول إلى مشط ديراك آخر، تبدأ بدراسة تحويلات فورييه المستمرة للدوال الدورية بشكل عام، ثم تُخصص لحالة مشط ديراك. ولإظهار أن القاعدة المحددة تعتمد على اصطلاح تحويل فورييه، سيتم توضيح ذلك باستخدام التردد الزاوي مع${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$: لأي دالة دورية${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$تحويل فورييه الخاص به

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$يطيع:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

لأن تحويل فورييه${\displaystyle f(t)}$و${\displaystyle f(t+T)}$يؤدي إلى${\displaystyle F(\omega )}$و​${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}}$تشير هذه المعادلة إلى أن${\displaystyle F(\omega )=0}$في كل مكان تقريبًا باستثناءات محتملة تقع في${\displaystyle \omega =k\omega _{0}}$، مع${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$و​${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$عند حساب تحويل فورييه عند${\displaystyle F(k\omega _{0})}$ينتج عن ذلك تعبير متسلسلة فورييه المقابل مضروبًا في دالة دلتا المقابلة. في الحالة الخاصة لتحويل فورييه لمشط ديراك، يغطي تكامل متسلسلة فورييه على دورة واحدة دالة ديراك فقط عند نقطة الأصل، وبالتالي يعطي${\displaystyle 1/T}$لكل​${\displaystyle k}$. يمكن تلخيص ذلك بتفسير مشط ديراك على أنه نهاية لنواة ديريشليه بحيث، عند المواضع ⁠${\displaystyle \omega =k\omega _{0}}$، جميع الدوال الأسية في المجموع${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$تشير إلى نفس الاتجاه وتضيف بشكل بنّاء. بعبارة أخرى، يؤدي تحويل فورييه المستمر للدوال الدورية إلى

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$مع​${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$،​

و

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

معاملات متسلسلة فورييه${\displaystyle c_{k}=1/T}$للجميع${\displaystyle k}$عندما​${\displaystyle f\rightarrow {\text{Ш}}_{T}}$، أي

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

هو مشط ديراك آخر، ولكن مع دورة.${\displaystyle 2\pi /T}$في مجال التردد الزاوي (راديان/ثانية).

كما ذُكر، تعتمد القاعدة المحددة على اصطلاح تحويل فورييه المستخدم. في الواقع، عند استخدام خاصية القياس لدالة ديراك دلتا، يمكن إعادة صياغة ما سبق في مجال التردد العادي (هرتز) والحصول على ما يلي: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$ بحيث يتحول مشط ديراك ذو الفترة الوحدوية إلى نفسه: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

وأخيرًا، فإن مشط ديراك هو أيضًا دالة ذاتية لتحويل فورييه المستمر الوحدوي في فضاء التردد الزاوي للقيمة الذاتية ⁠${\displaystyle 1}$عندما​${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$لأن بالنسبة لتحويل فورييه الوحدوي

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

يمكن إعادة صياغة ما سبق على النحو التالي $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

يؤدي ضرب أي دالة بمشط ديراك إلى تحويلها إلى سلسلة من النبضات ذات تكاملات تساوي قيمة الدالة عند عقد المشط. تُستخدم هذه العملية بشكل متكرر لتمثيل عملية أخذ العينات. $${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

بسبب خاصية التحويل الذاتي لمشط ديراك ونظرية الالتفاف ، فإن هذا يتوافق مع الالتفاف مع مشط ديراك في مجال التردد. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

بما أن الالتفاف مع دالة دلتا${\displaystyle \delta (t-kT)}$يكافئ ذلك إزاحة الدالة بمقدار${\displaystyle kT}$، يتوافق الالتفاف مع مشط ديراك مع النسخ أو الجمع الدوري :

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

يؤدي هذا إلى صياغة طبيعية لنظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات . إذا كان طيف الدالة${\displaystyle x}$لا يحتوي على ترددات أعلى من B (أي أن طيفه غير صفري فقط في الفترة ⁠${\displaystyle (-B,B)}$ثم عينات من الدالة الأصلية على فترات زمنية محددة.${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$تكفي هذه الخطوات لإعادة بناء الإشارة الأصلية. يكفي ضرب طيف الدالة المأخوذة عينات منها بدالة مستطيلة مناسبة، وهو ما يعادل تطبيق مرشح تمرير منخفض ذي شكل جداري .

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{2B}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X)=X}$

في المجال الزمني، يُعادل هذا "الضرب بدالة المستطيل" "الالتفاف بدالة الجيب". ^{[ 10 ]} وبالتالي، فإنه يستعيد الدالة الأصلية من عيناتِها. يُعرف هذا بصيغة ويتاكر-شانون للاستيفاء .

ملاحظة : من الناحية النظرية، لا يمكن ضرب دالة المستطيل بدالة معممة، مثل مشط ديراك. ويعود ذلك إلى عدم تحديد نتائج الضرب عند حدود الفترات. كحل بديل، تُستخدم دالة لايت هيل الوحدوية بدلًا من دالة المستطيل. تتميز هذه الدالة بسلاسة عند حدود الفترات، وبالتالي تُنتج نواتج ضرب محددة في كل مكان، انظر لايت هيل 1958 ، صفحة 62 ، النظرية 22 لمزيد من التفاصيل. 

في الإحصاء الاتجاهي ، مشط ديراك ذو الفترة${\displaystyle 2\pi }$وهو مكافئ لدالة ديراك دلتا الملتفة وهو نظير دالة ديراك دلتا في الإحصاء الخطي.

في الإحصاء الخطي، المتغير العشوائي${\displaystyle (x)}$عادةً ما يتم توزيعها على خط الأعداد الحقيقية، أو على مجموعة فرعية منه، وكثافة الاحتمال لـ${\displaystyle x}$هي دالة مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية، وتكاملها من${\displaystyle -\infty }$ل${\displaystyle +\infty }$هو الواحد. في الإحصاء الاتجاهي، المتغير العشوائي${\displaystyle (\theta )}$يتم توزيعها على دائرة الوحدة، وكثافة الاحتمال لـ${\displaystyle \theta }$هي دالة مجالها فترة ما من الأعداد الحقيقية ذات طول${\displaystyle 2\pi }$والتي يكون تكاملها على تلك الفترة مساويًا للواحد. وكما أن تكامل حاصل ضرب دالة ديراك دلتا مع دالة اختيارية على خط الأعداد الحقيقية يعطي قيمة تلك الدالة عند الصفر، فإن تكامل حاصل ضرب مشط ديراك ذي دورة${\displaystyle 2\pi }$مع دالة دورية اعتباطية${\displaystyle 2\pi }$تعطي عملية رسم الدالة على دائرة الوحدة قيمة تلك الدالة عند الصفر.

• فلتر مشط
• مشط التردد
• صيغة جمع بواسون
• دالة ثيتا

• براندوود، د. (2003). تحويلات فورييه في الرادار ومعالجة الإشارات . بوسطن: دار أرتيك هاوس. ISBN 1580531741. إل سي سي إن 2002044073 . 
• لايت هيل، إم جيه (1958). مقدمة في تحليل فورييه والدوال المعممة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9781139171427 . ISBN 978-0-521-05556-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• وودوارد، بي إم (1953). الاحتمالات ونظرية المعلومات، مع تطبيقات على الرادار . دار بيرغامون للنشر. OCLC 6570386 . 

• قرطبة، أ. (1989). "أمشاط ديراك". رسائل في الفيزياء الرياضية . 17 (3): 191-196 . Bibcode : 1989LMaPh..17..191C . doi : 10.1007/BF00401584 . S2CID 189883287 .