صيغة جمع بواسون

في الرياضيات ، تُعرف صيغة جمع بواسون بأنها معادلة تربط معاملات متسلسلة فورييه للمجموع الدوري لدالة ما بقيم تحويل فورييه المستمر لتلك الدالة . وبالتالي، يُحدد المجموع الدوري لدالة ما بشكل كامل بواسطة عينات منفصلة من تحويل فورييه للدالة الأصلية. وعلى العكس، يُحدد المجموع الدوري لتحويل فورييه لدالة ما بشكل كامل بواسطة عينات منفصلة من الدالة الأصلية. اكتشف سيميون دينيس بواسون صيغة جمع بواسون ، وتُعرف أحيانًا باسم إعادة جمع بواسون .

لدالة سلسة ذات قيم مركبة${\displaystyle s(x)}$على${\displaystyle \mathbb {R} }$والتي تتلاشى عند اللانهاية مع جميع المشتقات ( دالة شوارتز )، وتنص أبسط صيغة لصيغة مجموع بواسون على أن

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k).}$

المعادلة 1

أين${\displaystyle S}$هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle s}$، أي،${\textstyle S(\xi )\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx.}$يمكن إعادة صياغة صيغة الجمع بطرق مكافئة عديدة، ولكن إحدى أبسطها هي التالية. ^{[ 1 ]} لنفترض أن${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$( L1 لمساحة L1 ) و^​​${\displaystyle \Lambda }$هي شبكة أحادية المعامل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم يتم تقسيم الفترة إلى${\displaystyle f}$، والذي يُعرَّف بأنه المجموع${\textstyle f_{\Lambda }(x)=\sum _{\lambda \in \Lambda }f(x+\lambda ),}$يتقارب في${\displaystyle L^{1}}$معيار${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Lambda }$إلى${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}/\Lambda )}$دالة متسلسلة فورييه$${\displaystyle f_{\Lambda }(x)\sim \sum _{\lambda '\in \Lambda '}{\hat {f}}(\lambda ')e^{2\pi i\lambda 'x}}$$أين${\displaystyle \Lambda '}$الشبكة المزدوجة لـ${\displaystyle \Lambda }$(لاحظ أن متسلسلة فورييه على الجانب الأيمن لا يلزم أن تتقارب في${\displaystyle L^{1}}$أو غير ذلك.)

يترك${\textstyle s\left(x\right)}$لتكن دالة سلسة ذات قيم مركبة على${\displaystyle \mathbb {R} }$والتي تتلاشى عند اللانهاية مع جميع المشتقات ( دالة شوارتز )، وتحويل فورييه الخاص بها${\displaystyle S\left(f\right)}$، كما هو مُعرَّف $${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)e^{-2\pi ixf}dx.}$$ ثم${\displaystyle S(f)}$وهي أيضًا دالة شوارتز، ولدينا العلاقة التبادلية التي $${\displaystyle s(x)=\int _{-\infty}^{\infty}S(f)e^{2\pi ixf}df.}$$

تقسيم فترات${\displaystyle s(x)}$مع نقطة${\displaystyle P>0}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP).}$$ وبالمثل، فإن تقسيم الفترة${\displaystyle S(f)}$مع نقطة${\displaystyle 1/T}$، أين${\displaystyle T>0}$، يكون $${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).}$$

ثم المعادلة 1 ،${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k),}$هي حالة خاصة (P=1، x=0) من هذا التعميم: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},}$

المعادلة 2

وهو عبارة عن متسلسلة فورييه بمعاملات تمثل عينات من الدالة${\displaystyle S(f).}$وعلى العكس من ذلك، فإن المعادلة 2 تتبع من المعادلة 1 من خلال تطبيق السلوك المعروف لتحويل فورييه تحت عمليات الإزاحة (انظر خصائص تحويل فورييه: تغيير المقياس الزمني والإزاحة).

بصورة مماثلة:

${\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},}$

المعادلة 3

يُعرف أيضًا باسم تحويل فورييه المهم في الزمن المنفصل .

نثبت ذلك، ^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle s\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ثم متسلسلة فورييه (التي قد تكون متباعدة) لـ${\displaystyle s_{P}(x)}$يكون $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right)e^{2\pi i{\frac {k}{P}}x}.}$$ متى${\displaystyle s(x)}$إذا كانت دالة شوارتز، فإن هذا يثبت المساواة في المعادلة 2 من القسم السابق.

أولاً، التقسيم الدوري${\displaystyle s_{P}(x)}$يتقارب في${\displaystyle L^{1}}$معيار إلى${\displaystyle L^{1}([0,P])}$دالة دورية على${\displaystyle \mathbb {R} }$وبالتالي قابلة للتكامل على أي فترة طولها${\displaystyle P.}$لذا يجب علينا أن نبين أن معاملات متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$نكون${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right)}$أين${\textstyle S\left(f\right)}$هو تحويل فورييه لـ${\textstyle s\left(x\right)}$. (لا${\textstyle S\left[k\right]}$، وهو معامل فورييه لـ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$.)

انطلاقاً من تعريف معاملات فورييه، لدينا :

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

حيث يُبرر استبدال الجمع بالتكامل بالتقارب المُهيمن . مع تغيير المتغيرات (${\displaystyle \tau =x+nP}$وبذلك يصبح هذا كما يلي، مما يكمل برهان المعادلة 2 :

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{(n+1)P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}.}$$

وهذا يثبت المعادلة 2 لـ${\displaystyle L^{1}}$الدوال، بمعنى أن الطرف الأيمن هو متسلسلة فورييه (التي قد تكون متباعدة) للطرف الأيسر. وبالمثل، إذا${\displaystyle S(f)}$هو في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$، ويُظهر برهان مماثل النسخة المقابلة من المعادلة 3 .

وأخيراً، إذا${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$إذا كانت متسلسلة فورييه متقاربة تقاربًا مطلقًا ، فإن المعادلة 2 تتحقق كمساواة في كل مكان تقريبًا. وهذا هو الحال، على وجه الخصوص، عندما${\displaystyle s(x)}$هي دالة شوارتز. وبالمثل، فإن المعادلة 3 صحيحة عندما${\displaystyle S(f)}$هي دالة شوارتز.

يمكن تفسير هذه المعادلات بلغة التوزيعات ^{[ 4 ] [ 5 ] : §7.2} لدالة${\displaystyle s}$والتي تتناقص مشتقاتها جميعها بسرعة (انظر دالة شوارتز ). تنشأ صيغة جمع بواسون كحالة خاصة من نظرية الالتفاف على التوزيعات المعتدلة ، باستخدام توزيع ديراك المشطي ومتسلسلة فورييه الخاصة به :

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T).}$$

بمعنى آخر، تأريخ دالة ديراك دلتا${\displaystyle \delta ,}$ينتج عن ذلك مشط ديراك ، وهو ما يتوافق مع تجزئة طيفه الذي يساوي واحدًا باستمرار. وبالتالي، فهذا أيضًا مشط ديراك ولكن بزيادات متبادلة.

في هذه الحالة${\displaystyle T=1,}$المعادلة 1 تتبع بسهولة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

بصورة مماثلة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

أو: ^{[ 6 ] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا إثبات صيغة جمع بواسون بشكل مفاهيمي تمامًا باستخدام توافق ازدواجية بونترياجين مع المتتاليات الدقيقة القصيرة مثل ^{[ 7 ].}${\textstyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$

المعادلة 2 صحيحة بشرط${\displaystyle s(x)}$هي دالة متصلة قابلة للتكامل تحقق الشرط التالي:${\textstyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$بالنسبة للبعض${\displaystyle C>0,\delta >0}$وكل${\displaystyle x.}$^{[ 8 ] [ 9 ]} لاحظ أن مثل هذا${\displaystyle s(x)}$وهي متصلة بشكل منتظم ، وهذا بالإضافة إلى فرضية التضاؤل ​​على${\displaystyle s}$، أظهر أن السلسلة التي تحدد${\displaystyle s_{_{P}}}$يتقارب بانتظام إلى دالة متصلة . المعادلة 2 صحيحة بالمعنى القوي أن كلا الطرفين يتقاربان بانتظام وبشكل مطلق إلى نفس النهاية. ^{[ 9 ]}

تتحقق المعادلة 2 بشكل نقطي في ظل الافتراض الأضعف تمامًا بأن${\displaystyle s}$يتميز بتغير محدود و ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

ومن ثم يتم فهم متسلسلة فورييه على الجانب الأيمن من المعادلة 2 على أنها حد (متقارب شرطيًا) للمجاميع الجزئية المتناظرة.

كما هو موضح أعلاه، فإن المعادلة 2 صحيحة في ظل الافتراض الأقل تقييدًا بكثير وهو${\displaystyle s(x)}$هو في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ولكن بعد ذلك، من الضروري تفسيرها بمعنى أن الجانب الأيمن هو متسلسلة فورييه (التي قد تكون متباعدة) لـ${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$^{[ 3 ]} في هذه الحالة، يمكن توسيع المنطقة التي تتحقق فيها المساواة من خلال النظر في طرق الجمع مثلجمع سيزارو. عند تفسير التقارب بهذه الطريقةالمعادلة 2، الحالة${\displaystyle x=0,}$يسري هذا في ظل الشروط الأقل تقييداً التي${\displaystyle s(x)}$الدالة قابلة للتكامل، والصفر نقطة استمرارية لها.${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ومع ذلك، قد لا تصح المعادلة 2 حتى عندما يكون كلا${\displaystyle s}$و${\displaystyle S}$تكون قابلة للتكامل ومتصلة، وتتقارب المجاميع تقاربًا مطلقًا. ^{[ 10 ]}

تنطبق صيغة جمع بواسون في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد العشوائية. ليكن${\displaystyle \Lambda }$كن الشبكة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$تتكون من نقاط ذات إحداثيات صحيحة. بالنسبة لدالة${\displaystyle s}$في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$، لنفترض المتسلسلة المعطاة بجمع إزاحات${\displaystyle s}$بعناصر من${\displaystyle \Lambda }$:

$${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

نظرية لـ${\displaystyle s}$في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$تتقارب المتسلسلة المذكورة أعلاه نقطيًا في كل مكان تقريبًا، وتُعرّف${\displaystyle \Lambda }$- دالة دورية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$وبالتالي فهي دالة${\displaystyle \mathbb {P} s({\bar {x}})}$على الحلقة${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda .}$ae${\displaystyle \mathbb {P} s}$يكمن في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}$مع${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{L_{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}\leq \|s\|_{L_{1}(\mathbb {R} )}.}$ علاوة على ذلك، بالنسبة للجميع${\displaystyle \nu }$في${\displaystyle \Lambda ,}$

${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \nu \cdot {\bar {x}}}d{\bar {x}}}$

(تحويل فورييه لـ${\displaystyle \mathbb {P} s}$على الحلقة${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda }$) يساوي

${\displaystyle S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}s(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx}$

(تحويل فورييه لـ${\displaystyle s}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$).

متى${\displaystyle s}$بالإضافة إلى ذلك، فهي متصلة، وكلاهما${\displaystyle s}$و${\displaystyle S}$إذا تلاشت بسرعة كافية عند اللانهاية، فيمكن للمرء "عكس" متسلسلة فورييه مرة أخرى إلى مجالها${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$وأدلي بتصريح أقوى. بتعبير أدق، إذا

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

لبعض قيم C و δ > 0، فإن ^{[ 9 ] : VII §2}

$${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi \nu \cdot x},}$$

حيث تتقارب كلتا المتسلسلتين تقاربًا مطلقًا ومنتظمًا على Λ. عندما d = 1 و x = 0، فإن هذا يعطي المعادلة 1 أعلاه.

وبشكل أعم، فإن صيغة من العبارة صحيحة إذا تم استبدال Λ بشبكة أكثر عمومية في فضاء متجهي محدود الأبعاد.${\displaystyle V}$اختر مقياسًا ثابتًا تحت التحويل${\displaystyle m}$على${\displaystyle V}$وهي فريدة حتى قيمة عددية موجبة. وهذا ينطبق أيضاً على الدوال.${\displaystyle s\in L_{1}(V,m)}$نحدد التقسيم الدوري

${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )}$

كما سبق.

الشبكة المزدوجة${\displaystyle \Lambda '}$يُعرَّف على أنه مجموعة جزئية من فضاء المتجهات الثنائي${\displaystyle V'}$والتي تُقيّم إلى أعداد صحيحة على الشبكة${\displaystyle \Lambda }$أو بدلاً من ذلك، من خلال ثنائية بونترياجين ، كما هو الحال مع شخصيات${\displaystyle V}$التي تحتوي${\displaystyle \Lambda }$في النواة. ثم يكون البيان هو أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle \nu \in \Lambda '}$تحويل فورييه${\displaystyle \mathbb {P} S}$تقسيم الفترات${\displaystyle \mathbb {P} s}$كوظيفة على${\displaystyle V/\Lambda }$وتحويل فورييه${\displaystyle S}$ل${\displaystyle s}$على${\displaystyle V}$ترتبط هذه العلاقات ببعضها البعض من خلال التطبيع المناسب.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} S(\nu )&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \langle \nu ,{\bar {x}}\rangle }m(d{\bar {x}})\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V}s(x)e^{-i2\pi \langle \nu ,x\rangle }m(dx)\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}S(\nu )\end{aligned}}}$

لاحظ أن الطرف الأيمن مستقل عن اختيار المقياس الثابت${\displaystyle \mu }$. لو${\displaystyle s}$و${\displaystyle S}$هي متصلة وتميل إلى الصفر أسرع من${\displaystyle 1/r^{\dim(V)+\delta }}$ثم

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda +x)=\sum _{\nu \in \Lambda '}\mathbb {P} S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }}$

بخاصة

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda )={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )}$

يُطبَّق هذا في نظرية دوال ثيتا ، وهو أسلوب ممكن في هندسة الأعداد . في الواقع، يُستخدم هذا الأسلوب بشكل روتيني في الدراسات الحديثة حول عدّ نقاط الشبكة في المناطق - حيث يكمن السؤال تحديدًا في جمع دالة المؤشر لمنطقة D على نقاط الشبكة، وبالتالي فإن الطرف الأيسر من صيغة الجمع هو المطلوب، بينما يمكن تحليل الطرف الأيمن رياضيًا .

• تحليل فورييه §  ملخص
• صيغة بوست العكسية
• صيغة فورونوي
• تحويل فورييه المنفصل زمنيًا
• صيغ صريحة لدوال L