التناظر

يكون الشكل الهندسي أو الجسم متناظرًا إذا أمكن تقسيمه إلى جزأين متطابقين أو أكثر مرتبة بشكل منظم. ^{[ 5 ]} وهذا يعني أن الجسم يكون متناظرًا إذا كان هناك تحويل يُحرك أجزاءً منفردة منه، دون تغيير شكله الكلي. ويُحدد نوع التناظر إما بترتيب الأجزاء أو بنوع التحويل.

• يتمتع الجسم بتناظر انعكاسي (تناظر خطي أو تناظر مرآوي) إذا كان هناك خط (أو مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد ) يمر عبره ويقسمه إلى جزأين متطابقين تمامًا. ^{[ 6 ]}
• يتمتع الجسم بتناظر دوراني إذا كان من الممكن تدويره حول نقطة ثابتة (أو في ثلاثة أبعاد حول خط) دون تغيير شكله العام. ^{[ 7 ]}
• يتمتع الجسم بتناظر انتقالي إذا أمكن نقله (تحريك كل نقطة من نقاط الجسم بنفس المسافة) دون تغيير شكله العام. ^{[ 8 ]}
• يتمتع الجسم بتناظر حلزوني إذا كان من الممكن نقله وتدويره في آن واحد في الفضاء ثلاثي الأبعاد على طول خط يُعرف باسم محور اللولب . ^{[ 9 ]}
• يتمتع الجسم بتناظر المقياس إذا لم يتغير شكله عند تكبيره أو تصغيره. ^{[ 10 ]} كما تُظهر الأشكال الكسورية شكلاً من أشكال تناظر المقياس، حيث تتشابه الأجزاء الأصغر من الشكل الكسوري في الشكل مع الأجزاء الأكبر. ^{[ 11 ]}
• وتشمل التناظرات الأخرى تناظر الانعكاس الانزلاقي (انعكاس متبوع بانتقال) وتناظر الدوران والانعكاس (مزيج من الدوران والانعكاس ^{[ 12 ]} ).

تكون العلاقة الثنائية R = S × S متناظرة إذا كان لكل عنصرين a و b في S ، كلما كان Rab صحيحًا ، يكون Rba صحيحًا أيضًا . ^{[ 13 ]} وبالتالي، فإن العلاقة "في نفس عمر" متناظرة، لأنه إذا كان بولس في نفس عمر مريم، فإن مريم في نفس عمر بولس.

في منطق القضايا، تشمل الروابط المنطقية الثنائية المتناظرة " و " (∧، أو &)، و"أو " (∨، أو |)، و" إذا وفقط إذا" (↔)، بينما الرابط " إذا" (→) غير متناظر. ^{[ 14 ]} تشمل الروابط المنطقية المتناظرة الأخرى "لا و" ( nand ، أو ⊼)، و "لا شرطي" ( xor ، أو ⊻)، و "لا أو" (nor، أو ⊽).

بتعميم مفهوم التناظر الهندسي في القسم السابق، يمكن القول إن كائنًا رياضيًا متناظر بالنسبة لعملية رياضية معينة ، إذا حافظت هذه العملية، عند تطبيقها على الكائن، على إحدى خصائصه. [ ^{15 ] وتشكل} مجموعة العمليات التي تحافظ على خاصية معينة للكائن زمرة .

بشكل عام، لكل بنية في الرياضيات نوعٌ خاص من التناظر. ومن الأمثلة على ذلك الدوال الزوجية والفردية في حساب التفاضل والتكامل ، والمجموعات المتناظرة في الجبر المجرد ، والمصفوفات المتناظرة في الجبر الخطي ، ومجموعات غالوا في نظرية غالوا . وفي الإحصاء ، يتجلى التناظر أيضًا في صورة توزيعات احتمالية متناظرة ، وفي صورة التواء - أي عدم تناظر التوزيعات. ^{[ 16 ]}

تم تعميم مفهوم التناظر في الفيزياء ليشمل الثبات - أي عدم التغير - تحت أي نوع من التحويلات، مثل تحويلات الإحداثيات العشوائية . ^{[ 17 ]} أصبح هذا المفهوم أحد أقوى أدوات الفيزياء النظرية ، إذ بات من الواضح أن جميع قوانين الطبيعة تقريبًا تنشأ من التناظرات. في الواقع، ألهم هذا الدور الحائز على جائزة نوبل، بي. دبليو. أندرسون، ليكتب في مقالته واسعة الانتشار " المزيد مختلف " عام 1972 : "ليس من المبالغة القول إن الفيزياء هي دراسة التناظر". ^{[ 18 ]} انظر إلى نظرية نوثر (التي تنص، بصيغة مبسطة للغاية، على أنه لكل تناظر رياضي مستمر، توجد كمية محفوظة مقابلة مثل الطاقة أو الزخم؛ تيار محفوظ، بلغة نوثر الأصلية)؛ ^{[ 19 ]} وكذلك تصنيف ويغنر ، الذي ينص على أن تناظرات قوانين الفيزياء تحدد خصائص الجسيمات الموجودة في الطبيعة. ^{[ 20 ]}

تشمل التناظرات المهمة في الفيزياء التناظرات المستمرة والتناظرات المنفصلة للزمكان ؛ والتناظرات الداخلية للجسيمات؛ والتناظر الفائق للنظريات الفيزيائية .

في علم الأحياء، يُستخدم مفهوم التناظر بشكل أساسي لوصف أشكال الجسم. فالحيوانات ثنائية التناظر ، بما فيها الإنسان، متناظرة إلى حد ما بالنسبة للمستوى السهمي الذي يقسم الجسم إلى نصفين أيمن وأيسر. ^{[ 21 ]} والحيوانات التي تتحرك في اتجاه واحد لها بالضرورة جانبان علوي وسفلي، ورأس وذيل، وبالتالي جانب أيمن وجانب أيسر. ويتخصص الرأس بوجود فم وأعضاء حسية، ويصبح الجسم متناظرًا ثنائيًا لغرض الحركة، مع أزواج متناظرة من العضلات والعناصر الهيكلية، على الرغم من أن الأعضاء الداخلية غالبًا ما تظل غير متناظرة. ^{[ 22 ]}

غالباً ما تتمتع النباتات والحيوانات الثابتة (الملتصقة) مثل شقائق النعمان البحرية بتناظر شعاعي أو دوراني ، وهو ما يناسبها لأن الغذاء أو التهديدات قد تأتي من أي اتجاه. ويُلاحظ التناظر الخماسي في شوكيات الجلد ، وهي المجموعة التي تضم نجم البحر وقنافذ البحر وزنابق البحر . ^{[ 23 ]}

في علم الأحياء، يُستخدم مفهوم التناظر كما هو الحال في الفيزياء، أي لوصف خصائص الأجسام المدروسة، بما في ذلك تفاعلاتها. ومن الخصائص اللافتة للتطور البيولوجي تغيرات التناظر التي تتوافق مع ظهور أجزاء جديدة وديناميكيات جديدة. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

يُعدّ التناظر ذا أهمية بالغة في الكيمياء لأنه يُشكّل أساس جميع التفاعلات النوعية بين الجزيئات في الطبيعة (أي من خلال تفاعل الجزيئات الكيرالية الطبيعية والمصنعة مع الأنظمة البيولوجية الكيرالية بطبيعتها). ويُسهم التحكم في تناظر الجزيئات المُنتجة في التخليق الكيميائي الحديث في تمكين العلماء من تقديم تدخلات علاجية بأقل قدر من الآثار الجانبية . كما يُفسّر الفهم الدقيق للتناظر الملاحظات الأساسية في كيمياء الكم ، وفي المجالات التطبيقية لعلم الأطياف وعلم البلورات . وتعتمد نظرية التناظر وتطبيقاتها في هذه المجالات من العلوم الفيزيائية بشكل كبير على مجال نظرية الزمر الرياضية . ^{[ 26 ]}

في الكيمياء، يُوصف تناظر الجسم أو الجزيء باستخدام عمليات التناظر. عملية التناظر هي إجراء يُحرك الجزيء بطريقة تحافظ على مظهره العام دون تغيير. وهناك ثلاثة أنواع رئيسية من عمليات التناظر.

1. الدوران

يتضمن ذلك تدوير الجزيء حول خط وهمي يُسمى محور الدوران. إذا بقي الجزيء على حاله بعد الدوران، يُقال إنه يتمتع بتناظر دوراني. عنصر التناظر المقابل هو محور الدوران.

2. التأمل

تعكس هذه العملية الجزيء على سطح مستوٍ وهمي، كما في المرآة. إذا كانت الصورة المنعكسة مطابقة للأصل، فإن الجزيء يتمتع بتناظر انعكاسي. عنصر التناظر المقابل هو مستوى التناظر.

3. الانعكاس

في هذه العملية، تُنقل كل نقطة من الجزيء عبر نقطة مركزية إلى مسافة متساوية على الجانب المقابل. إذا بقي الجزيء دون تغيير بعد هذه العملية، فإنه يتمتع بتناظر انعكاسي. عنصر التناظر المقابل هو مركز الانعكاس أو نقطة.

1. الدوران: محاور التناظر. يُرمز لهذا المحور عادةً بالرمز C_{_n} ، حيث يشير n إلى عدد المرات التي يتطابق فيها شكل الجزيء مع شكله الأصلي خلال دورة كاملة مقدارها 360°. الزاوية المطلوبة لكل خطوة هي 360°/n. إذا بدا الجزيء دون تغيير بعد الدوران بهذه الزاوية، يُقال إنه يمتلك محور تناظر من الرتبة n أو محورًا من الرتبة n. تُسمى عملية تدوير الجزيء مرة واحدة بمقدار 360°/n حول هذا المحور عملية C_{_n} . على سبيل المثال، إذا بدا الجزيء كما هو بعد دورانه بمقدار 120°، فإنه يمتلك محور تناظر من الرتبة C_₃.

لا يتغير شكل الجزيء عند دورانه بزاوية 360°. وبهذا المعنى، فإن الدوران الكامل يُعادل دورانًا بزاوية 0°، أي أنه لم يحدث أي تغيير مرئي. في مصطلحات التناظر، يُطلق على عدم إحداث أي تغيير اسم عملية التطابق، ويُرمز لها بالرمز E. توجد عملية التطابق في جميع الجزيئات، بغض النظر عن تناظرها، لأن عدم إجراء أي عملية يُبقي الجسم دائمًا دون تغيير. عند تدوير جزيء بشكل متكرر حول محور تناظر ذي n طية (Cn ) ، فإن إجراء الدوران n مرة يُعيد الجزيء إلى وضعه الأصلي. تُعبّر هذه العلاقة بالمعادلة C  n = E.

٢. الانعكاسات: مستوى التناظر. يُرمز لهذا المستوى بالرمز σ (سيجما). توجد أنواع مختلفة من مستويات التناظر، تبعًا لاتجاهها بالنسبة للجزيء. المستوى الرأسي (σv ₎ هو مستوى يحتوي على محور الدوران الرئيسي (وهو المحور ذو الرتبة الأعلى أو القيمة الأكبر لـ n). المستوى الأفقي (σh ₎ هو مستوى عمودي على محور الدوران الرئيسي. المستوى ثنائي السطوح (σd ₎ هو مستوى رأسي يحتوي على المحور الرئيسي وينصف الزاوية بين محورين من نوع C2 _{عموديين} على المحور الرئيسي.

إذا طُبقت عملية انعكاس مرتين، فإن الجزيء يعود إلى موضعه الأصلي. ويُعبر عن ذلك بالمعادلة σ² ⁼ E

3. الانعكاس: مركز التناظر. يُرمز لهذه العملية بالرمز i. يمكن اعتبار الانعكاس مزيجًا من دوران بزاوية 180 درجة متبوعًا بانعكاس عبر مستوى عمودي على محور الدوران (σ _h ). تطبيق عملية الانعكاس مرتين يُعيد الجزيء إلى تكوينه الأصلي: i ² = E.

بالنسبة للمراقب البشري، تبرز بعض أنواع التناظر أكثر من غيرها، ولا سيما الانعكاس ذو المحور الرأسي، كما هو الحال في وجه الإنسان. وقد أشار إرنست ماخ إلى هذه الملاحظة في كتابه "تحليل الأحاسيس" (1897)، ^{[ 27 ]} مما يعني أن إدراك التناظر ليس استجابة عامة لجميع أنواع الانتظام. وقد أكدت الدراسات السلوكية والعصبية الفيزيولوجية الحساسية الخاصة لتناظر الانعكاس لدى البشر والحيوانات الأخرى. ^{[ 28 ]} أشارت الدراسات المبكرة ضمن مدرسة الجشطالت إلى أن التناظر الثنائي أحد العوامل الرئيسية في التجميع الإدراكي ، وهو ما يُعرف بقانون التناظر . وقد تأكد دور التناظر في التجميع وتنظيم الشكل والخلفية في العديد من الدراسات. فعلى سبيل المثال، يكون اكتشاف تناظر الانعكاس أسرع عندما يكون خاصية لجسم واحد. ^{[ 29 ]} وقد أظهرت دراسات الإدراك البشري وعلم النفس الفيزيائي أن اكتشاف التناظر سريع وفعال وقوي في مواجهة الاضطرابات. على سبيل المثال، يمكن اكتشاف التناظر من خلال العروض التقديمية التي تتراوح مدتها بين 100 و 150 مللي ثانية. ^{[ 30 ]}

وثّقت دراسات التصوير العصبي الحديثة المناطق الدماغية النشطة أثناء إدراك التناظر. استخدم ساساكي وآخرون ^{[ 31 ]} التصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي (fMRI) لمقارنة الاستجابات لأنماط النقاط المتناظرة أو العشوائية. لوحظ نشاط قوي في المناطق خارج القشرة المخططة من القشرة القذالية، ولكن ليس في القشرة البصرية الأولية. شملت المناطق خارج القشرة المخططة V3A وV4 وV7 والمجمع القذالي الجانبي (LOC). وجدت الدراسات الفيزيولوجية الكهربائية سلبية خلفية متأخرة تنشأ من نفس المناطق. ^{[ 32 ]} بشكل عام، يبدو أن جزءًا كبيرًا من الجهاز البصري يشارك في معالجة التناظر البصري، وتتضمن هذه المناطق شبكات مشابهة لتلك المسؤولة عن اكتشاف الأشياء والتعرف عليها. ^{[ 33 ]}

تتغلغل التناظرية في العمارة على جميع المستويات، بدءًا من المناظر الخارجية العامة لمبانٍ مثل الكاتدرائيات القوطية والبيت الأبيض ، مرورًا بتصميمات الطوابق الفردية ، وصولًا إلى تصميم عناصر البناء الفردية كالفسيفساء . وتُوظّف المباني الإسلامية ، كتاج محل ومسجد لطف الله، التناظرية بشكلٍ مُتقن في هيكلها وزخرفتها. ^{[ 38 ] [ 39 ]} أما المباني الأندلسية، كقصر الحمراء ، فتُزيّن بأنماطٍ مُعقدة مصنوعة باستخدام تناظرات انتقالية وانعكاسية، فضلًا عن التناظرات الدورانية. ^{[ 40 ]}

قيل إن المعماريين السيئين فقط هم من يعتمدون على "التصميم المتناظر للكتل والهياكل"؛ ^{[ 41 ]} أما العمارة الحديثة ، التي بدأت بالأسلوب الدولي ، فتعتمد بدلاً من ذلك على "الأجنحة وتوازن الكتل". ^{[ 41 ]}

منذ أقدم استخدامات عجلات الخزف لتشكيل الأواني الطينية، ارتبط الخزف ارتباطًا وثيقًا بالتناظر. فالخزف المصنوع باستخدام العجلة يكتسب تناظرًا دورانيًا كاملًا في مقطعه العرضي، مع إتاحة حرية كبيرة في تشكيله عموديًا. وانطلاقًا من هذه النقطة المتناظرة، أضاف الخزافون منذ القدم أنماطًا تُعدّل التناظر الدوراني لتحقيق أهداف بصرية.

افتقرت الأواني المعدنية المصبوبة إلى التناظر الدوراني المتأصل في الفخار المصنوع على الدولاب، لكنها وفرت فرصة مماثلة لتزيين أسطحها بأنماط تُرضي مستخدميها. فعلى سبيل المثال، استخدم الصينيون القدماء أنماطًا متناظرة في مصبوباتهم البرونزية منذ القرن السابع عشر قبل الميلاد. وأظهرت الأواني البرونزية كلاً من الزخرفة الرئيسية الثنائية وتصميم الحدود المتكرر. ^{[ 42 ]}

يمتد تقليد استخدام التناظر في أنماط السجاد والبسط عبر ثقافات متنوعة. فقد استخدم الهنود النافاجو الأمريكيون خطوطًا قطرية بارزة وزخارف مستطيلة. وتتميز العديد من السجادات الشرقية بمراكز وحواف معكوسة معقدة تُجسد النمط. وليس من المستغرب أن تتمتع السجادات المستطيلة عادةً بتناظر المستطيل ، أي زخارف تنعكس على المحورين الأفقي والرأسي (انظر مجموعة كلاين الرباعية، قسم  الهندسة ). ^{[ 43 ] [ 44 ]}

بما أن الألحفة مصنوعة من مربعات (عادةً 9 أو 16 أو 25 قطعة في المربع الواحد) حيث تتكون كل قطعة أصغر عادةً من مثلثات قماشية، فإن هذه الحرفة تُسهّل تطبيق التناظر. ^{[ 45 ]}

تظهر التناظرات في تصميم مختلف أنواع الأشياء. ومن الأمثلة على ذلك أعمال الخرز ، والأثاث ، واللوحات الرملية ، والعقد ، والأقنعة ، والآلات الموسيقية . وتُعدّ التناظرات عنصراً أساسياً في فن إم سي إيشر ، وفي العديد من تطبيقات التبليط في الفنون والحرف اليدوية، مثل ورق الجدران ، وأعمال البلاط الخزفي كما في الزخارف الهندسية الإسلامية ، والباتيك ، والإيكات ، وصناعة السجاد، وأنواع عديدة من أنماط النسيج والتطريز . ^{[ 46 ]}

يُستخدم التناظر أيضًا في تصميم الشعارات. ^{[ 47 ]} من خلال إنشاء شعار على شبكة واستخدام نظرية التناظر، يستطيع المصممون تنظيم عملهم، وإنشاء تصميم متناظر أو غير متناظر، وتحديد المسافة بين الأحرف، وتحديد مقدار المساحة السلبية المطلوبة في التصميم، وكيفية إبراز أجزاء من الشعار لجعله بارزًا.

لا يقتصر التناظر على الفنون البصرية فحسب، بل يمتد دوره في تاريخ الموسيقى ليشمل جوانب عديدة من عملية ابتكار الموسيقى وتلقيها.

إن العلاقة بين التناظر والجماليات معقدة. يجد البشر التناظر الثنائي في الوجوه جذابًا من الناحية الجسدية؛ ^{[ 51 ]} فهو يدل على الصحة واللياقة الجينية. ^{[ 52 ] [ 53 ]} في المقابل، يميل التناظر المفرط إلى أن يُنظر إليه على أنه ممل أو غير مثير للاهتمام. وقد أشار رودولف أرنهايم إلى أن الناس يفضلون الأشكال التي تتمتع بقدر من التناظر، وبقدر كافٍ من التعقيد لجعلها مثيرة للاهتمام. ^{[ 54 ]}

يمكن إيجاد التناظر بأشكال متنوعة في الأدب ، ومن الأمثلة البسيطة على ذلك الجملة المتناظرة حيث يُقرأ نص قصير بنفس الطريقة من اليمين إلى اليسار ومن اليسار إلى اليمين. وقد تتخذ القصص بنية متناظرة، مثل نمط الصعود والهبوط في ملحمة بيوولف . ^{[ 55 ]}