توزيع ويبل

ويبل (2 معلمة)

دالة كثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
حدود	${\displaystyle \lambda \in (0,+\infty )\,}$ شكل المقياس ${\displaystyle k\in (0,+\infty )\,}$
يدعم	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\,}$
بي دي إف	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}}$
سي دي إف	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}}$
كمية	${\displaystyle Q(p)=\lambda (-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}}}$
يقصد	${\displaystyle \lambda \,\جاما (1+1/ك)\,}$
متوسط	${\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,}$
وضع	${\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,,&k>1,\\0,&k\leq 1.\end{cases}}}$
التباين	${\displaystyle \lambda ^{2}\left[\جاما \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\جاما \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}$
الانحراف	${\displaystyle {\frac {\جاما (1+3/ك)\لامبدا ^{3}-3\سيجما ^{2}-\سيجما ^{3}}{\سيجما ^{3}}}}$
زيادة التجانف	(انظر النص)
إنتروبيا	${\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}$
إم جي إف	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\ معارف عامة 1}$
ت.ف	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$
تباعد كولباك-ليبلر	انظر أدناه

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، توزيع ويبل / ˈwaɪbʊl / هو توزيع احتمالي مستمر . وهو ينمذج مجموعة واسعة من المتغيرات العشوائية ، والتي تكون في الغالب في طبيعة الوقت المستغرق للفشل أو الوقت بين الأحداث . ومن الأمثلة على ذلك أقصى هطول للأمطار في يوم واحد والوقت الذي يقضيه المستخدم على صفحة ويب.

تم تسمية التوزيع على اسم عالم الرياضيات السويدي والودي ويبل ، الذي وصفه بالتفصيل في عام 1939، ^{[1] [2]} على الرغم من أنه تم تحديده لأول مرة بواسطة رينيه موريس فريشيت وتم تطبيقه لأول مرة بواسطة روزين وراملر (1933) لوصف توزيع حجم الجسيمات .

دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي Weibull هي ^{[3] [4]}

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}}$

حيث k > 0 هو معامل الشكل و λ > 0 هو معامل المقياس للتوزيع. دالة التوزيع التراكمي التكميلية هي دالة أسية ممتدة . يرتبط توزيع Weibull بعدد من توزيعات الاحتمالات الأخرى؛ على وجه الخصوص، فإنه يستوفي بين التوزيع الأسي ( k = 1) وتوزيع Rayleigh ( k = 2 و ^[5] ). ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$

إذا كانت الكمية، x، عبارة عن "زمن الفشل"، فإن توزيع Weibull يعطي توزيعًا يكون فيه معدل الفشل متناسبًا مع قوة الزمن. معامل الشكل ، k ، هو تلك القوة مضافًا إليها واحد، وبالتالي يمكن تفسير هذا المعامل مباشرةً على النحو التالي: ^[6]

• تشير قيمة إلى أن معدل الفشل ينخفض ​​بمرور الوقت (كما في حالة تأثير ليندي ، والذي يتوافق مع توزيعات باريتو ^[7] وليس توزيعات ويبل). يحدث هذا إذا كان هناك "معدل وفيات رضع" كبير، أو فشل العناصر المعيبة مبكرًا وانخفاض معدل الفشل بمرور الوقت مع استبعاد العناصر المعيبة من السكان. في سياق انتشار الابتكارات ، يعني هذا الكلام السلبي: دالة الخطر هي دالة متناقصة رتيبة لنسبة المتبنين؛${\displaystyle k<1\,}$
• تشير قيمة إلى أن معدل الفشل ثابت بمرور الوقت. وقد يشير هذا إلى أن الأحداث الخارجية العشوائية تتسبب في الوفاة أو الفشل. يتحول توزيع Weibull إلى توزيع أسي؛${\displaystyle k=1\,}$
• تشير قيمة إلى أن معدل الفشل يزداد مع مرور الوقت. ويحدث هذا إذا كانت هناك عملية "شيخوخة" أو أجزاء من المرجح أن تفشل بمرور الوقت. وفي سياق انتشار الابتكارات ، يعني هذا الكلام الإيجابي: دالة الخطر هي دالة متزايدة بشكل رتيب لنسبة المتبنين. تكون الدالة محدبة أولاً، ثم مقعرة مع نقطة انعطاف عند .${\displaystyle k>1\,}$${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$

في مجال علم المواد ، تُعرف معلمة الشكل k لتوزيع القوى باسم معامل ويبل . وفي سياق انتشار الابتكارات ، يُعَد توزيع ويبل نموذجًا "نقيًا" للتقليد/الرفض.

غالبًا ما تتبنى التطبيقات في الإحصاء الطبي والاقتصاد القياسي معلمة مختلفة. ^{[8] [9]} معلمة الشكل k هي نفسها المذكورة أعلاه، بينما معلمة المقياس هي . في هذه الحالة، بالنسبة إلى x ≥ 0، تكون دالة كثافة الاحتمال هي ${\displaystyle b=\lambda ^{-k}}$

${\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},}$

دالة التوزيع التراكمية هي

${\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},}$

دالة الكم هي

${\displaystyle Q(p;k,b)=\left(-{\frac {1}{b}}\ln(1-p)\right)^{\frac {1}{k}},}$

دالة الخطر هي

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}$

والمتوسط ​​هو

${\displaystyle b^{-1/k}\جاما (1+1/ك).}$

يمكن أيضًا العثور على معلمة بديلة ثانية. ^{[10] [11]} معلمة الشكل k هي نفسها الموجودة في الحالة القياسية، بينما يتم استبدال معلمة المقياس λ بمعلمة المعدل β = 1/ λ . ثم، بالنسبة إلى x ≥ 0، تكون دالة كثافة الاحتمالية

${\displaystyle f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}}$

دالة التوزيع التراكمية هي

${\displaystyle F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},}$

دالة الكم هي

${\displaystyle Q(p;k,\beta )={\frac {1}{\beta }}(-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}},}$

ودالة الخطر هي

${\displaystyle h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.}$

في جميع المعلمات الثلاثة، يتناقص الخطر عندما يكون k < 1، ويتزايد عندما يكون k > 1، ويكون ثابتًا عندما يكون k = 1، وفي هذه الحالة ينخفض ​​توزيع Weibull إلى توزيع أسي.

يتغير شكل دالة الكثافة لتوزيع ويبل بشكل كبير مع قيمة k . بالنسبة لـ 0 < k < 1، تميل دالة الكثافة إلى ∞ عندما يقترب x من الصفر من الأعلى ويتناقص بدقة. بالنسبة لـ k = 1، تميل دالة الكثافة إلى 1/ λ عندما يقترب x من الصفر من الأعلى ويتناقص بدقة. بالنسبة لـ k > 1، تميل دالة الكثافة إلى الصفر عندما يقترب x من الصفر من الأعلى، وتزداد حتى منوالها وتتناقص بعده. دالة الكثافة لها ميل سلبي لا نهائي عند x = 0 إذا كان 0 < k < 1، وميل موجب لا نهائي عند x = 0 إذا كان 1 < k < 2 وميل صفري عند x = 0 إذا كان k > 2. بالنسبة لـ k = 1، يكون للكثافة ميل سلبي محدود عند x = 0. بالنسبة لـ k = 2، يكون للكثافة ميل موجب محدود عند x = 0. عندما يتجه k إلى ما لا نهاية، يتقارب توزيع ويبل إلى توزيع دلتا ديراك مركزه x = λ. علاوة على ذلك، فإن الانحراف ومعامل التباين يعتمدان فقط على معامل الشكل. التعميم لتوزيع ويبل هو التوزيع الزائدي من النوع الثالث .

دالة التوزيع التراكمية لتوزيع ويبل هي

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

بالنسبة إلى x ≥ 0، و F ( x ؛ k ؛ λ) = 0 بالنسبة إلى x < 0.

إذا كان x = λ، فإن F ( x ؛ k ؛ λ) = 1 −  e ⁻¹ ≈ 0.632 لجميع قيم  k . والعكس صحيح: عند F ( x ؛ k ؛ λ ) = 0.632 تكون قيمة  x  ≈  λ .

دالة الكميات (التوزيع التراكمي العكسي) لتوزيع ويبل هي

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

لـ 0 ≤ p < 1.

يتم تحديد معدل الفشل h (أو دالة الخطر ) بواسطة

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

متوسط ​​الوقت بين الأعطال MTBF هو

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

يتم إعطاء دالة توليد اللحظة للوغاريتم لمتغير عشوائي موزع وفقًا لطريقة ويبل بواسطة ^[12]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

حيث Γ هي دالة جاما . وبالمثل، يتم إعطاء الدالة المميزة لـ log X بواسطة

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

على وجه الخصوص، يتم إعطاء اللحظة الخام n لـ X بواسطة

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

يمكن التعبير عن متوسط ​​وتباين متغير Weibull العشوائي على النحو التالي :

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

و

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

يتم إعطاء الانحراف بواسطة

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}$

حيث ، والتي يمكن أيضًا كتابتها على النحو التالي ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

حيث يتم الإشارة إلى المتوسط ​​بواسطة μ ويتم الإشارة إلى الانحراف المعياري بواسطة σ .

يتم إعطاء التجانف الزائد بواسطة

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

حيث يمكن أيضًا كتابة فائض التجانف على النحو التالي: ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}$

تتوفر مجموعة متنوعة من التعبيرات لدالة توليد اللحظة لـ X نفسها. باعتبارها سلسلة قوى ، نظرًا لأن اللحظات الخام معروفة بالفعل، فمن الممكن أن يكون لدينا

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

وبدلاً من ذلك، يمكن للمرء أن يحاول التعامل مباشرة مع التكامل

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

إذا افترضنا أن المعامل k هو عدد نسبي، معبرًا عنه بـ k = p / q حيث p و q أعداد صحيحة، فيمكن تقييم هذا التكامل تحليليًا. ^[13] مع استبدال t بـ − t ، نجد

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

حيث G هي دالة ماير G.

تم الحصول على الدالة المميزة أيضًا بواسطة Muraleedharan et al. (2007). كما تم استنباط الدالة المميزة ودالة توليد العزم لتوزيع Weibull ثلاثي المعلمات بواسطة Muraleedharan & Soares (2014) من خلال نهج مباشر. harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help)

ليكن لدينا متغيرات عشوائية مستقلة وموزعة بشكل متطابق مع معامل مقياس ومعامل شكل . إذا كان الحد الأدنى لهذه المتغيرات العشوائية هو ، فإن توزيع الاحتمال التراكمي لـ يعطى بواسطة ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.}$

وهذا يعني أنه سيتم أيضًا توزيع Weibull مع معلمة المقياس ومعلمة الشكل . ${\displaystyle Z}$${\displaystyle n^{-1/k}\lambda }$${\displaystyle k}$

أصلح بعض . ليكن غير سالب، وليس كل صفر، وليكن عينات مستقلة من ، ثم ^[14]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$${\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}$

• ${\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$
• ${\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)}$.

يتم تحديد إنتروبيا المعلومات بواسطة ^[15]

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

حيث هو ثابت أويلر-ماسكيروني . توزيع ويبل هو توزيع أقصى إنتروبيا لمتغير عشوائي حقيقي غير سلبي بقيمة متوقعة ثابتة x k تساوي ^λ k وقيمة ^متوقعة ثابتة ln( x ^k ) تساوي ln( λ ^k ) −  . ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

يتم إعطاء تباعد كولباك-ليبلر بين توزيعي ويبل بواسطة ^[16]

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

يمكن تقييم ملاءمة توزيع ويبل للبيانات بصريًا باستخدام مخطط ويبل. ^[17] مخطط ويبل هو مخطط لدالة التوزيع التراكمية التجريبية للبيانات على محاور خاصة في نوع من مخططات Q–Q . المحاور هي مقابل . والسبب وراء هذا التغيير في المتغيرات هو أن دالة التوزيع التراكمية يمكن أن تكون خطية: ${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$${\displaystyle \ln(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

والتي يمكن رؤيتها في الشكل القياسي للخط المستقيم. لذلك، إذا جاءت البيانات من توزيع Weibull، فمن المتوقع وجود خط مستقيم على مخطط Weibull.

توجد طرق مختلفة للحصول على دالة التوزيع التجريبية من البيانات. إحدى الطرق هي الحصول على الإحداثيات الرأسية لكل نقطة باستخدام

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$,

حيث هي رتبة نقطة البيانات و هي عدد نقاط البيانات. ^{[18] [19]} مقدر شائع آخر ^[20] هو ${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.5}{n}}}$.

يمكن أيضًا استخدام الانحدار الخطي لتقييم مدى ملاءمة التوزيع رقميًا وتقدير معلمات توزيع Weibull. يخبرنا التدرج بشكل مباشر عن معلمة الشكل ويمكن أيضًا استنتاج معلمة المقياس .${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$

يعتمد معامل التباين لتوزيع ويبل فقط على معلمة الشكل: ^[21]

${\displaystyle CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.}$

من خلال معادلة كميات العينة بـ ، يمكن قراءة تقدير اللحظة لمعامل الشكل إما من جدول بحث أو رسم بياني لـ مقابل . يمكن العثور على تقدير أكثر دقة لـ باستخدام خوارزمية إيجاد الجذر لحل ${\displaystyle s^{2}/{\bar {x}}^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CV^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\hat {k}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.}$

يمكن بعد ذلك إيجاد تقدير اللحظة لمعامل المقياس باستخدام معادلة اللحظة الأولى كما يلي:

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.}$

مقدر الاحتمال الأقصى للمعامل المعطى هو ^[21]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}}$

مقدر الاحتمال الأقصى هو الحل لـ k للمعادلة التالية ^[22]${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

هذه المعادلة لا يتم تعريفها إلا ضمنيًا، ويجب حلها بشكل عام بالوسائل العددية. ${\displaystyle {\widehat {k}}}$${\displaystyle k}$

عندما تكون أكبر العينات المرصودة من مجموعة بيانات تحتوي على أكثر من عينة، فإن مقدر الاحتمال الأقصى للمعامل المعطى هو ^[22]${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

أيضًا مع الأخذ في الاعتبار هذا الشرط، فإن مقدر الاحتمال الأقصى هو ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

مرة أخرى، نظرًا لكون هذه دالة ضمنية، فيجب علينا عمومًا حلها بالوسائل العددية. ${\displaystyle k}$

يتم استخدام توزيع Weibull ^{[ بحاجة لمصدر ]}

• في تحليل البقاء على قيد الحياة
• في هندسة الموثوقية وتحليل الأعطال
• في الهندسة الكهربائية لتمثيل الجهد الزائد الذي يحدث في النظام الكهربائي
• في الهندسة الصناعية لتمثيل أوقات التصنيع والتسليم
• في نظرية القيمة القصوى
• في التنبؤ بالطقس وصناعة طاقة الرياح لوصف توزيعات سرعة الرياح ، حيث يتطابق التوزيع الطبيعي غالبًا مع شكل ويبل ^[25]
• في هندسة أنظمة الاتصالات
  • في أنظمة الرادار لنمذجة تشتت مستوى الإشارات المستقبلة التي تنتجها بعض أنواع التشوش
  • لنمذجة قنوات التلاشي في الاتصالات اللاسلكية ، حيث يبدو أن نموذج التلاشي Weibull يظهر ملاءمة جيدة لقياسات قنوات التلاشي التجريبية
• في استرجاع المعلومات لنمذجة أوقات البقاء على صفحات الويب. ^[26]
• في التأمين العام، يتم نمذجة حجم مطالبات إعادة التأمين ، والتطور التراكمي لخسائر مرض الأسبستوس
• في التنبؤ بالتغير التكنولوجي (المعروف أيضًا باسم نموذج شريف الإسلام) ^[27]
• في علم المياه، يتم تطبيق توزيع ويبل على الأحداث المتطرفة مثل الحد الأقصى السنوي لهطول الأمطار ليوم واحد وتصريفات الأنهار.
• في تحليل منحنى الانحدار لنمذجة منحنى معدل إنتاج النفط في آبار النفط الصخري. ^[24]
• عند وصف حجم الجسيمات الناتجة عن عمليات الطحن والطحن والسحق ، يتم استخدام توزيع Weibull ذي المعاملين ، وفي هذه التطبيقات يُعرف أحيانًا باسم توزيع Rosin-Rammler. ^[28] في هذا السياق، يتنبأ بعدد أقل من الجسيمات الدقيقة مقارنة بالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي وهو بشكل عام أكثر دقة لتوزيعات حجم الجسيمات الضيقة. ^[29] تفسير دالة التوزيع التراكمي هو أن هو الكسر الكتلي للجسيمات ذات القطر الأصغر من ، حيث هو متوسط ​​حجم الجسيمات و هو مقياس لانتشار أحجام الجسيمات.${\displaystyle F(x;k,\lambda )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$
• عند وصف سحب النقاط العشوائية (مثل مواضع الجسيمات في الغاز المثالي): يتم تحديد احتمال العثور على أقرب جسيم على مسافة من جسيم معين من خلال توزيع ويبل مع كثافة الجسيمات وتساويها. [ ^30]${\displaystyle x}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle \rho =1/\lambda ^{3}}$
• في حساب معدل تأثيرات الحدث الفردي الناجم عن الإشعاع على متن المركبة الفضائية، يتم استخدام توزيع ويبل ذو أربعة معلمات لملاءمة بيانات احتمالية المقطع العرضي للجهاز المقاس تجريبياً مع طيف نقل الطاقة الخطية للجسيمات . ^[31] تم استخدام ملاءمة ويبل في الأصل بسبب الاعتقاد بأن مستويات طاقة الجسيمات تتوافق مع توزيع إحصائي، ولكن تم إثبات خطأ هذا الاعتقاد لاحقًا ^{[ بحاجة لمصدر ]} ويستمر استخدام ملاءمة ويبل بسبب معلماتها القابلة للتعديل العديدة، وليس بسبب الأساس الفيزيائي الموضح. ^[32]

• إذا ، فإن المتغير هو توزيع جامبل (الحد الأدنى) مع معلمة الموقع ومعلمة المقياس . أي، .${\displaystyle W\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,k)}$${\displaystyle G=\log W}$${\displaystyle \mu =\log \lambda }$${\displaystyle \beta =1/k}$${\displaystyle G\sim \mathrm {Gumbel} _{\min }(\log \lambda ,1/k)}$
• توزيع Weibull هو توزيع جاما معمم حيث معاملا الشكل يساويان k .
• يحتوي توزيع Weibull المترجم (أو Weibull ثلاثي المعلمات) على معلمة إضافية. ^[12] لديه دالة كثافة الاحتمالية

  ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,}$

  بالنسبة لـ و بالنسبة لـ ، حيث أن معامل الشكل ، و معامل المقياس و معامل الموقع للتوزيع. تحدد القيمة وقت أولي خالٍ من الفشل قبل بدء عملية Weibull العادية. عندما ، يتم تقليل هذا إلى توزيع ذي معاملين.${\displaystyle x\geq \theta }$${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )=0}$${\displaystyle x<\theta }$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =0}$
• يمكن وصف توزيع ويبل بأنه توزيع متغير عشوائي بحيث يكون المتغير العشوائي${\displaystyle W}$

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}}$

  هو التوزيع الأسي القياسي مع شدة 1. ^[12]
• وهذا يعني أن توزيع ويبل يمكن أيضًا وصفه من حيث التوزيع المنتظم : إذا كان موزعًا بالتساوي على ، فإن المتغير العشوائي يكون موزعًا وفقًا لتوزيع ويبل مع المعلمات و . لاحظ أن هذا يعادل ما ورد أعلاه مباشرةً. وهذا يؤدي إلى مخطط عددي سهل التنفيذ لمحاكاة توزيع ويبل.${\displaystyle U}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle -\ln(U)}$${\displaystyle X}$
• يقوم توزيع ويبل بالتداخل بين التوزيع الأسي مع الشدة عندما وتوزيع رايلي للوضع عندما .${\displaystyle 1/\lambda }$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$${\displaystyle k=2}$
• توزيع ويبل (يكفي عادةً في هندسة الموثوقية ) هو حالة خاصة من توزيع ويبل الأسي ثلاثي المعلمات حيث الأس الإضافي يساوي 1. يستوعب توزيع ويبل الأسي معدلات الفشل أحادية النمط ، على شكل حوض استحمام ^[33] وأحادية النغمة .
• توزيع ويبل هو حالة خاصة من توزيع القيمة المتطرفة المعممة . وفي هذا الصدد، تم التعرف على التوزيع لأول مرة بواسطة موريس فريشيت في عام 1927. ^[34] التوزيع فريشيت وثيق الصلة ، والذي سمي بهذا الاسم، له دالة كثافة الاحتمال

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}$

• إن توزيع المتغير العشوائي الذي يتم تعريفه على أنه الحد الأدنى من عدة متغيرات عشوائية، كل منها له توزيع ويبل مختلف، هو توزيع ويبل متعدد .
• تم تطبيق توزيع Weibull لأول مرة بواسطة Rosin & Rammler (1933) لوصف توزيعات حجم الجسيمات. يتم استخدامه على نطاق واسع في معالجة المعادن لوصف توزيعات حجم الجسيمات في عمليات التفتيت . في هذا السياق، يتم إعطاء التوزيع التراكمي بواسطة

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

  أين
  • ${\displaystyle x}$هو حجم الجسيمات
  • ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$هو النسبة المئوية الثمانين لتوزيع حجم الجسيمات
  • ${\displaystyle m}$هو معلمة تصف انتشار التوزيع
• نظرًا لتوافره في جداول البيانات ، فإنه يُستخدم أيضًا حيث يتم نمذجة السلوك الأساسي بشكل أفضل من خلال توزيع Erlang . ^[35]
• إذا كان ( التوزيع الأسي )${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})}$
• بالنسبة لنفس قيم k، يأخذ توزيع جاما أشكالًا مماثلة، لكن توزيع ويبل يكون أكثر تسطحًا .

• من وجهة نظر توزيع العد المستقر ، يمكن اعتباره معامل استقرار ليفي. يمكن تحليل توزيع ويبل إلى تكامل كثافة النواة حيث تكون النواة إما توزيع لابلاس أو توزيع رايلي :${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(x;1,\lambda )}$ ${\displaystyle F(x;2,\lambda )}$

  ${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,F(x;1,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2,{\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{cases}}}$

  أين هو توزيع العدد المستقر و هو توزيع الحجم المستقر .${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$${\displaystyle V_{k}(s)}$

• توزيع ويبل المنفصل
• نظرية فيشر-تيبيت-جندينكو
• التوزيع اللوجستي
• توزيع الراتينج-راملر لتحليل حجم الجسيمات
• توزيع رايلي
• توزيع عدد ثابت

• فريشيه، موريس (1927)، “Sur la loi de probabilité de l’écartmax”، Annales de la Société Polonaise de Mathématique، كراكوفي ، 6 : 93– 116.
• جونسون، نورمان ل.؛ كوتز، صموئيل؛ بالاكريشنان، ن. (1994)، التوزيعات أحادية المتغير المستمرة. المجلد 1 ، سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاءات الرياضية: الاحتمالات والإحصاءات التطبيقية (الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-58495-7السيد 1299979 ​
• مان، نانسي ر .؛ شافر، راي إي.؛ سينجبوروالا، نوزر د. (1974)، طرق التحليل الإحصائي للموثوقية وبيانات الحياة ، سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاءات الرياضية: الاحتمالات التطبيقية والإحصاءات (الطبعة الأولى)، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-56737-0
• موراليدهاران، جي؛ راو، أيه دي؛ كوروب، بي جي؛ ناير، إن. أونيكريشنان؛ سينها، موراني (2007)، "توزيع ويبل المعدل لمحاكاة وتوقع ارتفاع الموجة الأقصى والهام"، الهندسة الساحلية ، 54 (8): 630– 638، رمز Bibcode :2007CoasE..54..630M، doi :10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
• روزين، ب.؛ راملر ، إي. (1933)، "القوانين التي تحكم دقة الفحم المسحوق"، مجلة معهد الوقود ، 7 : 29-36.
• Sagias, NC; Karagiannidis, GK (2005). "توزيعات ويبل متعددة المتغيرات من الفئة الغاوسية: النظرية والتطبيقات في قنوات التلاشي". معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات لنظرية المعلومات . 51 (10): 3608–19 . doi :10.1109/TIT.2005.855598. MR  2237527. S2CID  14654176.
• Weibull, W. (1951)، "دالة توزيع إحصائية ذات قابلية تطبيق واسعة" (PDF) ، مجلة الميكانيكا التطبيقية ، 18 (3): 293– 297، رمز Bibcode :1951JAM....18..293W، doi :10.1115/1.4010337.
• "توزيع ويبل". دليل إحصاءات الهندسة . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . 2008.
• نيلسون جونيور، رالف (2008-02-05). "توزيع المساحيق في السوائل، الجزء 1، الفصل 6: توزيع حجم الجسيمات" . تم الاسترجاع في 2008-02-05 .

This article's use of external links may not follow Wikipedia's policies or guidelines. Please improve this article by removing excessive or inappropriate external links, and converting useful links where appropriate into footnote references. (November 2024) (Learn how and when to remove this message)

• "توزيع ويبل"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• Mathpages – تحليل Weibull
• توزيع ويبل
• تحليل الموثوقية باستخدام Weibull
• رسوم بيانية تفاعلية: علاقات التوزيع أحادية المتغير
• رسم احتمالات Weibull عبر الإنترنت