المنطق الجبري

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في المنطق الرياضي ، المنطق الجبري هو الاستدلال الذي يتم الحصول عليه من خلال معالجة المعادلات ذات المتغيرات الحرة .

يركز ما يسمى الآن عادةً بالمنطق الجبري الكلاسيكي على تحديد ووصف النماذج المناسبة لدراسة المنطق المتنوع (في شكل فئات من الجبر التي تشكل الدلالات الجبرية لهذه الأنظمة الاستنتاجية ) والمشاكل المرتبطة مثل التمثيل والثنائية. تندرج النتائج المعروفة مثل نظرية التمثيل للجبر البولي وثنائية ستون تحت مظلة المنطق الجبري الكلاسيكي (Czelakowski 2003).

تُركز الأعمال في المنطق الجبري المجرد الأحدث (AAL) على عملية الجبر نفسها، مثل تصنيف أشكال مختلفة من قابلية الجبر باستخدام عامل لايبنيز (Czelakowski 2003).

حساب العلاقات

توجد علاقة ثنائية متجانسة في مجموعة القوى X × X لبعض المجموعات X ، بينما توجد علاقة غير متجانسة في مجموعة القوى X × Y ، حيث X ≠ Y. ما إذا كانت علاقة معينة صحيحة لفردين هو جزء واحد من المعلومات، لذلك تتم دراسة العلاقات باستخدام الحساب البولياني. يتم ترتيب عناصر مجموعة القوى جزئيًا عن طريق التضمين ، وتصبح شبكة هذه المجموعات جبرًا من خلال الضرب النسبي أو تكوين العلاقات .

"العمليات الأساسية هي الاتحاد النظري للمجموعة، والتقاطع والتكامل، والضرب النسبي، والتحويل." [1]

يشير التحويل إلى العلاقة العكسية التي توجد دائمًا ، على عكس نظرية الوظيفة. يمكن تمثيل علاقة معينة بمصفوفة منطقية ؛ ثم يتم تمثيل العلاقة العكسية بمصفوفة النقل . ثم يتم تمثيل العلاقة التي تم الحصول عليها كتركيبة لعلاقة أخرى بالمصفوفة المنطقية التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب المصفوفة باستخدام الحساب البولياني.

مثال

ينشأ مثال لحساب العلاقات في علم الإثارة الجنسية ، نظرية الأسئلة. في عالم العبارات توجد عبارات S وأسئلة Q. هناك علاقتان π و α من Q إلى S : q α a صحيحة عندما تكون a إجابة مباشرة على السؤال q . العلاقة الأخرى، q π p صحيحة عندما تكون p افتراضًا للسؤال q . تمتد العلاقة العكسية π T من S إلى Q بحيث يكون تكوين π T α علاقة متجانسة على S. [2] يتم التعرف على فن طرح السؤال الصحيح لاستنباط إجابة كافية في حوار الطريقة السقراطية .

الوظائف

تم صياغة وصف خصائص العلاقة الثنائية الرئيسية باستخدام حساب العلاقات. تصف خاصية التكافؤ الأحادي للوظائف العلاقة R التي تلبي الصيغة حيث I هي علاقة الهوية على نطاق R. تتوافق الخاصية الحقنية مع تكافؤ ، أو الصيغة حيث I هذه المرة هي علاقة الهوية على نطاق R.

لكن العلاقة الأحادية التكافؤ هي دالة جزئية فقط ، بينما العلاقة الكلية الأحادية التكافؤ هي دالة . صيغة الكلية هي يستخدم تشارلز لوينر وجونتر شميت مصطلح التعيين للعلاقة الكلية الأحادية التكافؤ. [3] [4]

ألهمت سهولة العلاقات التكميلية أوغسطس دي مورجان وإرنست شرودر لتقديم التكافؤات باستخدام لمكمل العلاقة R. توفر هذه التكافؤات صيغًا بديلة للعلاقات أحادية التكافؤ ( )، والعلاقات الكلية ( ). لذلك، تلبي التعيينات الصيغة التي يستخدمها شميدت لهذا المبدأ "الانزلاق أسفل النفي من اليسار". [5] بالنسبة للتعيين f ، 

التجريد

تجاوز تارسكي بنية جبر العلاقات القائمة على نظرية المجموعات من خلال البديهيات التي تصفها. ثم سأل عما إذا كان من الممكن تمثيل كل جبر يلبي البديهيات بعلاقة مجموعة. فتحت الإجابة السلبية [6] حدود المنطق الجبري المجرد . [7] [8] [9]

الجبر كنماذج للمنطق

يعالج المنطق الجبري الهياكل الجبرية ، والتي غالبًا ما تكون شبكات محدودة ، باعتبارها نماذج (تفسيرات) لمنطق معين ، مما يجعل المنطق فرعًا من نظرية النظام .

في المنطق الجبري:

في الجدول أدناه، يحتوي العمود الأيسر على نظام منطقي أو رياضي واحد أو أكثر، ويتم عرض البنية الجبرية التي تمثل نماذجها على اليمين في نفس الصف. بعض هذه الهياكل إما جبر بولياني أو امتدادات خاصة به. يتم عادةً نمذجة المنطق النمطي وغيره من المنطق غير الكلاسيكي بما يسمى "الجبر البولياني مع المشغلات".

تتضمن الصياغات الجبرية التي تتجاوز المنطق من الدرجة الأولى في بعض النواحي على الأقل ما يلي:

النظام المنطقي جبر ليندنباوم-تارسكي
المنطق الجملي الكلاسيكي الجبر البولياني
المنطق الاقتراحي الحدسي جبر هيتنج
منطق لوكاسيويتش MV-الجبر
المنطق النمطي K الجبر النمطي
لويس S4​ الجبر الداخلي
S5 لويس ، منطق المسند الأحادي الجبر البولياني الأحادي
المنطق من الدرجة الأولى الجبر البولياني الكامل ، الجبر المتعدد ، منطق المسند والمتوال
منطق من الدرجة الأولى مع المساواة الجبر الأسطواني
نظرية المجموعات المنطق التوليفي ، الجبر العلائقي

تاريخ

المنطق الجبري هو، ربما، أقدم نهج للمنطق الرسمي، ويمكن القول أنه بدأ بعدد من المذكرات التي كتبها لايبنتز في ثمانينيات القرن السابع عشر، بعضها نُشر في القرن التاسع عشر وترجمه كلارنس لويس إلى الإنجليزية في عام 1918. [10] : 291–305  ولكن لم يتم نشر جميع أعمال لايبنتز المعروفة تقريبًا في المنطق الجبري إلا في عام 1903 بعد أن اكتشفه لويس كوتورات في كتاب ناتشلاس لايبنتس . ترجم باركنسون (1966) ولومكر (1969) مختارات من مجلد كوتورات إلى الإنجليزية.

بدأ المنطق الرياضي الحديث في عام 1847، مع كتيبين كان مؤلفاهما جورج بول [11] وأغسطس دي مورجان . [12] في عام 1870، نشر تشارلز ساندرز بيرس أول العديد من الأعمال حول منطق الأقارب . نشر ألكسندر ماكفارلين مبادئ الجبر المنطقي [13] في عام 1879، وفي عام 1883، نشرت كريستين لاد ، إحدى طالبات بيرس في جامعة جونز هوبكنز ، "حول الجبر المنطقي". [14] أصبح المنطق أكثر جبرية عندما تم دمج العلاقات الثنائية مع تكوين العلاقات . بالنسبة للمجموعتين A و B ، يتم تمثيل العلاقة على A و B كعضو في مجموعة القوى A × B مع الخصائص الموصوفة بواسطة الجبر البولياني . يمكن القول إن "حساب العلاقات" [9] هو تتويج لنهج لايبنتز في المنطق. في جامعة كارلسروه، وصف إرنست شرودر حساب العلاقات . [15] وعلى وجه الخصوص، صاغ قواعد شرودر ، على الرغم من أن دي مورجان كان قد توقعها من خلال نظريته K.

في عام 1903، طور برتراند راسل حساب العلاقات والمنطقية كإصداره للرياضيات البحتة استنادًا إلى عمليات حساب التفاضل والتكامل كمفاهيم بدائية . [16] تم تطوير "جبر بول-شرودر للمنطق" في جامعة كاليفورنيا، بيركلي في كتاب مدرسي من تأليف كلارنس لويس في عام 1918. [10] لقد تعامل مع منطق العلاقات على أنه مشتق من الوظائف القياسية لمتغيرين أو أكثر.

شارك هيو ماكول ، وجوتلوب فريج ، وجوزيبي بيانو ، وآن وايتهايد جميعهم حلم لايبنتز في الجمع بين المنطق الرمزي ، والرياضيات ، والفلسفة .

ظهرت بعض كتابات ليوبولد لوينهايم وثورالف سكوليم حول المنطق الجبري بعد نشر كتاب مبادئ الرياضيات في الفترة من 1910 إلى 1913 ، وأعاد تارسكي إحياء الاهتمام بالعلاقات من خلال مقالته عام 1941 "حول حساب العلاقات". [9]

وفقًا لهيلينا راسيوا ، "شهدت الأعوام من 1920 إلى 1940، وخاصة في المدرسة البولندية للمنطق، أبحاثًا حول حسابات القضايا غير الكلاسيكية التي أجريت بما يسمى بطريقة المصفوفة المنطقية . ونظرًا لأن المصفوفات المنطقية هي جبر تجريدي معين، فقد أدى هذا إلى استخدام طريقة جبرية في المنطق." [17]

يناقش برادي (2000) الروابط التاريخية الغنية بين المنطق الجبري ونظرية النموذج . كان مؤسسا نظرية النموذج، إرنست شرودر وليوبولد لوينهايم، من المنطقيين في التقليد الجبري. ألفريد تارسكي ، مؤسس نظرية النموذج النظري للمجموعات كفرع رئيسي من فروع المنطق الرياضي المعاصر، كما يقول:

في ممارسة حساب العلاقات، استخدم جاك ريجيه المنطق الجبري لتطوير مفاهيم مفيدة: فقد وسّع مفهوم علاقة التكافؤ (على مجموعة) إلى الحالة غير المتجانسة بمفهوم العلاقة ثنائية الوظيفة . كما وسّع ريجيه الترتيب إلى السياق غير المتجانس من خلال ملاحظته أن مصفوفة منطقية على شكل سلم لها مكمل هو أيضًا سلم، وأن نظرية NM Ferrers تنبع من تفسير نقل السلم. ولّد ريجيه علاقات مستطيلة من خلال أخذ المنتج الخارجي للمتجهات المنطقية؛ تساهم هذه في المستطيلات غير القابلة للتوسعة لتحليل المفاهيم الرسمية .

لم يكن لايبنتز مؤثراً في صعود المنطق الجبري لأن كتاباته المنطقية لم تكن موضع دراسة كافية قبل ترجمتي باركنسون ولومكر. إن فهمنا الحالي للايبنتز باعتباره منطقياً ينبع في الأساس من عمل فولفجانج لينزن، الذي لخصه لينزن (2004). ولمعرفة كيف يمكن للأعمال الحالية في المنطق والميتافيزيقيا أن تستلهم من فكر لايبنتز وتسلط الضوء عليه، انظر زالتا (2000).

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ بيارني جونسون (1984). "الجبر الأقصى للعلاقات الثنائية". في كينيث آي. أبل؛ جون جي. راتكليف؛ بول إي. شوب (المحررون). مساهمات في نظرية المجموعات . الرياضيات المعاصرة. المجلد 33. بروفيدنس/رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 299-307. رقم ISBN 978-0-8218-5035-0.
  2. ^ يوجين فريمان (1934) فئات تشارلز بيرس ، الصفحة 10، شركة النشر أوبن كورت ، اقتباس: من خلال الاحتفاظ بالافتراضات الواقعية للإنسان العادي فيما يتعلق بأصالة الواقع الخارجي، يتمكن بيرس من تعزيز الدفاعات الهشة لنظرية الطبيعة التقليدية بالسلاح القوي المتمثل في الواقعية السليمة.
  3. ^ G. Schmidt & T. Ströhlein (1993) العلاقات والرسوم البيانية الرياضيات المنفصلة لعلماء الكمبيوتر، الصفحة 54، دراسات EATCS حول علوم الكمبيوتر النظرية، Springer Verlag، ISBN 3-540-56254-0 
  4. ^ G. Schmidt (2011) Relational Mathematics ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 132، الصفحات 49 و57، مطبعة جامعة كامبريدج ISBN 978-0-521-76268-7 
  5. ^ G. Schmidt & M. Winter(2018) Relational Topology ، الصفحة 8، محاضرات في الرياضيات المجلد 2208، Springer Verlag، ISBN 978-3-319-74451-3 
  6. ^ روجر سي. ليندون (مايو 1950). "تمثيل الجبر العلائقي". حوليات الرياضيات . 51 (3): 707-729. doi :10.2307/1969375. JSTOR  1969375. MR  0037278.
  7. ^ فون برات أصول حساب العلاقات، من جامعة ستانفورد
  8. ^ روجر مادوكس (1991) "أصل جبر العلاقات في تطوير وتوضيح حساب العلاقات"، ستوديا لوجيكا 50 : 421-55
  9. ^ abcd Alfred Tarski (1941)، "حول حساب العلاقات"، مجلة المنطق الرمزي 6: 73–89 doi :10.2307/2268577
  10. ^ ab Clarence Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic ، مطبعة جامعة كاليفورنيا ، الطبعة الثانية 1932 ، طبعة دوفر 1960
  11. ^ جورج بول ، التحليل الرياضي للمنطق، كونه مقالاً نحو حساب الاستدلال الاستنتاجي (لندن، إنجلترا: ماكميلان، باركلي، وماكميلان، 1847).
  12. ^ أوغسطس دي مورغان (1847)، المنطق الرسمي ، لندن: تايلور ووالتون، رابط من هاثي تراست
  13. ^ ألكسندر ماكفارلين (1879)، مبادئ الجبر المنطقي ، عبر أرشيف الإنترنت
  14. ^ كريستين لاد (1883)، في الجبر المنطقي عبر كتب جوجل
  15. ^ إرنست شرودر (1895)، Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band، Algebra und Logik der Relative ، لايبزيغ: BG Teubner عبر أرشيف الإنترنت
  16. ^ ب. راسل (1903) مبادئ الرياضيات
  17. ^ هيلينا راسيوا (1974)، "الجبر ما بعد الأساسيات الدلالية للمنطق القيمي"، الصفحات 92-142 في دراسات المنطق الجبري ، تحرير أوبيرت داينولت، الرابطة الرياضية الأمريكية ISBN 0-88385-109-1 

مصادر

  • برادي، جيرالدين (2000). من بيرس إلى سكوليم: فصل مهمل في تاريخ المنطق. أمستردام، هولندا: شمال هولندا/إلسيفير ساينس بي في. مؤرشف من الأصل في 2009-04-02 . تم الاسترجاع في 2009-05-15 .
  • Czelakowski, Janusz (2003). "Review: Algebraic Methods in Philosophical Logic by J. Michael Dunn and Gary M. Hardegree". نشرة المنطق الرمزي . 9. جمعية المنطق الرمزي، مطبعة جامعة كامبريدج. ISSN  1079-8986. JSTOR  3094793.
  • لينزين، فولفجانج، 2004، "منطق لايبنتز" في غاباي، د. وودز، ج.، محرران، دليل تاريخ المنطق، المجلد 3: صعود المنطق الحديث من لايبنتز إلى فريج . شمال هولندا: 1-84.
  • لومكر، ليروي (1969) [الطبعة الأولى 1956]، لايبنتز: الأوراق والرسائل الفلسفية (الطبعة الثانية)، ريدل.
  • باركنسون، ج. أ. ر. (1966). لايبنتز: أوراق منطقية . مطبعة جامعة أكسفورد.
  • Zalta, EN, 2000, "نظرية المفاهيم (الليبنيزية)" تحليل Philosophiegeschichte und logische / التحليل المنطقي وتاريخ الفلسفة 3: 137-183.

قراءة إضافية

  • ج. مايكل دون؛ جاري م. هارديجري (2001). الأساليب الجبرية في المنطق الفلسفي . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-853192-0.مقدمة جيدة للقراء الذين سبق لهم التعرض للمنطق غير الكلاسيكي ولكن ليس لديهم الكثير من الخلفية في نظرية الترتيب و/أو الجبر الشامل؛ يغطي الكتاب هذه المتطلبات الأساسية بالتفصيل. ومع ذلك، تعرض هذا الكتاب لانتقادات بسبب العرض السيئ والخاطئ أحيانًا لنتائج AAL. مراجعة بقلم Janusz Czelakowski
  • هاجنال أندريكا ، إستفان نيميتي وإلديكو ساين (2001). “المنطق الجبري”. في دوف م. غاباي، فرانز غوينتنر (محرر). دليل المنطق الفلسفي، المجلد 2 (الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN 978-0-7923-7126-7.مسودة.
  • رامون جانسانا (2011)، "العلاقات التعاقبية التقريرية والمنطق الجبري". موسوعة ستانفورد للفلسفة. ويتناول بشكل أساسي المنطق الجبري المجرد.
  • ستانلي بوريس (2015)، "جبر التقليد المنطقي". موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  • ويلارد كوين ، 1976، "المنطق الجبري ومتجهات المسندات"، الصفحات 283 إلى 307 في كتاب طرق المفارقة ، مطبعة جامعة هارفارد .

المنظور التاريخي

تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=المنطق_الجبري&oldid=1241925592"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate