نظام الإحداثيات الأسطوانية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

نظام إحداثيات أسطواني بنقطة أصل O ، ومحور قطبي A ، ومحور طولي L. النقطة هي النقطة ذات المسافة القطرية ρ = 4 ، والإحداثي الزاوي φ = 130° ، والارتفاع z = 4. يحتوي المستوى المرجعي على الجزء البنفسجي.

نظام الإحداثيات الأسطوانية هو نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد يحدد مواقع النقاط حول محور رئيسي ( خط موجه مُختار ) ومحور مساعد ( شعاع مرجعي). الإحداثيات الأسطوانية الثلاثة هي: المسافة العمودية ρ للنقطة من المحور الرئيسي؛ والمسافة الموجهة z للنقطة على طول المحور الرئيسي من نقطة أصل مُختارة ؛ وزاوية المستوى φ لإسقاط النقطة على مستوى مرجعي (يمر بنقطة الأصل وعمودي على المحور الرئيسي).

يُطلق على المحور الرئيسي اسم المحور الأسطواني أو المحور الطولي . أما المحور المساعد فيُسمى المحور القطبي ، ويقع في المستوى المرجعي، ويبدأ من نقطة الأصل، ويتجه في اتجاه المرجع. وتُسمى الاتجاهات الأخرى العمودية على المحور الطولي بالخطوط الشعاعية .

قد تُسمى المسافة من المحور بالمسافة القطرية أو نصف القطر ، بينما يُشار أحيانًا إلى الإحداثي الزاوي بالموقع الزاوي أو السمت . يُطلق على نصف القطر والسمت معًا اسم الإحداثيات القطبية ، لأنهما يُطابقان نظام إحداثيات قطبية ثنائي الأبعاد في المستوى المار بالنقطة، والموازي للمستوى المرجعي. قد يُسمى الإحداثي الثالث بالارتفاع أو العلو ( إذا اعتُبر المستوى المرجعي أفقيًا)، أو الموقع الطولي ، [ 1 ] أو الموقع المحوري . [ 2 ]

تُعد الإحداثيات الأسطوانية مفيدة فيما يتعلق بالأجسام والظواهر التي لها بعض التناظر الدوراني حول المحور الطولي، مثل تدفق المياه في أنبوب مستقيم ذي مقطع عرضي دائري، وتوزيع الحرارة في أسطوانة معدنية ، والمجالات الكهرومغناطيسية الناتجة عن تيار كهربائي في سلك طويل ومستقيم، وأقراص التراكم في علم الفلك، وما إلى ذلك.

تُسمى أحيانًا بالإحداثيات القطبية الأسطوانية [ 3 ] أو الإحداثيات الأسطوانية القطبية [ 4 ] ، وتُستخدم أحيانًا لتحديد موقع النجوم في المجرة ( الإحداثيات القطبية الأسطوانية المجرية المركزية ). [ 5 ]

تعريف

تُعرَّف الإحداثيات الثلاثة ( ρ ، φ ، z ) للنقطة P على النحو التالي:

  • المسافة الشعاعية ρ هي المسافة الإقليدية من المحور z إلى النقطة P.
  • السمت φ هو الزاوية بين اتجاه المرجع على المستوى المختار والخط الواصل من نقطة الأصل إلى إسقاط النقطة P على المستوى.
  • الإحداثي المحوري أو الارتفاع z هو المسافة الموقعة من المستوى المختار إلى النقطة P.

إحداثيات أسطوانية فريدة

كما هو الحال في الإحداثيات القطبية، فإن النقطة نفسها ذات الإحداثيات الأسطوانية ( ρ , φ , z ) لها عدد لا نهائي من الإحداثيات المكافئة، وهي ( ρ , φ ± n × 360°, z ) و (− ρ , φ ± (2n + 1) × 180°, z )، حيث n أي عدد صحيح. علاوة على ذلك، إذا كان نصف القطر ρ يساوي صفرًا، فإن السمت يكون اختياريًا.

في الحالات التي يرغب فيها شخص ما في الحصول على مجموعة فريدة من الإحداثيات لكل نقطة، يمكن للمرء أن يقيد نصف القطر ليكون غير سالب ( ρ ≥ 0 ) والسمت φ ليقع في فترة محددة تمتد على 360 درجة، مثل [−180°,+180°] أو [0,360°] .

الاتفاقيات

لا يوجد نظام موحد لترميز الإحداثيات الأسطوانية. توصي المواصفة القياسية ISO 80000-2:2019 باستخدام ( ρ , φ , z ) ، حيث ρ هو الإحداثي القطري، و φ هو السمت، و z هو الارتفاع. مع ذلك، يُرمز لنصف القطر غالبًا بالرمز r أو s ، وللسمت بالرمز θ أو t ، وللإحداثي الثالث بالرمز h أو x (إذا اعتُبر المحور الأسطواني أفقيًا) ، أو أي رمز آخر حسب السياق.

أسطح الإحداثيات الأسطوانية ( ρ ، φ ، z ) . يُظهر الأسطوانة الحمراء النقاط التي يكون فيها ρ = 2 ، ويُظهر المستوى الأزرق النقاط التي يكون فيها z = 1 ، ويُظهر نصف المستوى الأصفر النقاط التي يكون فيها φ = -60° . المحور z عمودي، والمحور x مُظلل باللون الأخضر. تتقاطع الأسطح الثلاثة عند النقطة P ذات هذه الإحداثيات (المُمثلة بكرة سوداء)؛ الإحداثيات الديكارتية للنقطة P هي تقريبًا (1.0، -1.732، 1.0).
أسطح الإحداثيات الأسطوانية. المكونات المتعامدة الثلاثة، ρ (أخضر)، φ (أحمر)، و z (أزرق)، كل منها يتزايد بمعدل ثابت. تقع النقطة عند تقاطع الأسطح الثلاثة الملونة.

في المواقف الملموسة، وفي العديد من الرسوم التوضيحية الرياضية، يتم قياس الإحداثي الزاوي الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة كما يُرى من أي نقطة ذات ارتفاع موجب.

تحويلات أنظمة الإحداثيات

يُعد نظام الإحداثيات الأسطوانية أحد أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد العديدة. ويمكن استخدام الصيغ التالية للتحويل بينها.

الإحداثيات الديكارتية

لتحويل الإحداثيات بين الإحداثيات الأسطوانية والديكارتية، من الملائم افتراض أن المستوى المرجعي للإحداثيات الأسطوانية هو المستوى الديكارتي xy (حيث z = 0 )، وأن المحور الأسطواني هو المحور الديكارتي z . عندئذٍ، يكون الإحداثي z هو نفسه في كلا النظامين، ويكون التوافق بين الإحداثيات الأسطوانية ( ρ , φ , z ) والديكارتية ( x , y , z ) مماثلاً للتوافق في الإحداثيات القطبية. x=ρكوس⁡φy=ρالخطيئة⁡φz=z{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{محاذاة}}} في اتجاه واحد، و ρ=x2+y2φ={غير محددلو x=0 و y=0دالة الجيب العكسية⁡(yρ)لو x≥0-دالة الجيب العكسية⁡(yρ)+πلو x<0 و y≥0-دالة الجيب العكسية⁡(yρ)-πلو x<0 و y<0\begin{aligned}\rho &=\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &=\begin{cases}{\text{غير محدد}}&{\text{إذا كان }}x=0{\text{ و }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{إذا كان }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{إذا كان }}x<0{\text{ و }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)-\pi &{\mbox{إذا كان }}x<0{\text{ و }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}} في المقابل، دالة الجيب العكسي هي معكوس دالة الجيب ، ويُفترض أن تُعطي زاوية في النطاق [ −π / 2 , + π / 2 ] = [−90°, +90°] . تُعطي هذه الصيغ سمتًا φ في النطاق [−180°, +180° ] .

باستخدام دالة الظل العكسي التي تُرجع أيضًا زاوية في النطاق [ −π / 2 , + π / 2 ] = [ −90°, +90°] ، يمكن أيضًا حسابφ{\displaystyle \varphi }بدون استخدام الحوسبةρ{\displaystyle \rho }أولاً φ={غير محددلو x=0 و y=0π2y|y|لو x=0 و y≠0دالة الظل العكسي⁡(yx)لو x>0دالة الظل العكسي⁡(yx)+πلو x<0 و y≥0دالة الظل العكسي⁡(yx)-πلو x<0 و y<0\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{غير محدد}}&{\text{إذا كان }}x=0{\text{ و }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{إذا كان }}x=0{\text{ و }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{إذا كان }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{إذا كان }}x<0{\text{ و }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{إذا كان }}x<0{\text{ و }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}} للاطلاع على صيغ أخرى، انظر مقالة نظام الإحداثيات القطبية .

توفر العديد من لغات البرمجة الحديثة دالةً لحساب السمت الصحيح φ ، ضمن النطاق (−π, π) ، بمعلومية x و y ، دون الحاجة إلى إجراء تحليل للحالات كما ذُكر سابقًا. على سبيل المثال، تُستدعى هذه الدالة بواسطة atan2 ( y , x ) في لغة البرمجة C ، و (atan y x ) في لغة Common Lisp .

الإحداثيات الكروية

يمكن تحويل الإحداثيات الكروية (نصف القطر r ، الارتفاع أو الميل θ ، السمت φ ) إلى أو من الإحداثيات الأسطوانية، اعتمادًا على ما إذا كانت θ تمثل الارتفاع أو الميل، وذلك على النحو التالي:

التحويل بين الإحداثيات الكروية والأسطوانية
التحويل إلى:تنسيقθ هو الارتفاعθ هو الميل
أسطوانيρ =r cos θr sin θ
φ =φ
z =r sin θr cos θ
كرويr =ρ2+z2{\textstyle {\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}
θ =دالة الظل العكسي⁡(zρ){\textstyle \arctan \left({\frac {z}{\rho }}\right)}دالة الظل العكسي⁡(ρz){\textstyle \arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)}
φ =φ

عناصر الخط والحجم

في العديد من المسائل التي تتضمن إحداثيات قطبية أسطوانية، من المفيد معرفة عناصر الخط والحجم؛ حيث يتم استخدامها في التكامل لحل المسائل التي تتضمن المسارات والأحجام.

عنصر الخط هو در=دρρ^+ρدφφ^+دzz^.{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {ض}}}.}

عنصر الحجم هو دV=ρدρدφدz.{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}

عنصر السطح في سطح ذي نصف قطر ثابت ρ (أسطوانة رأسية) هو دSρ=ρدφدz.{\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}

عنصر السطح في سطح ذي سمت ثابت φ (نصف مستوى رأسي) هو دSφ=دρدz.{\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}

عنصر السطح في سطح ذي ارتفاع ثابت z (مستوى أفقي) هو دSz=ρدρدφ.{\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}

يؤدي عامل الحذف في هذا النظام إلى التعبيرات التالية للتدرج ، والتباعد ، والالتفاف ، واللابلاس : ∇و=∂و∂ρρ^+1ρ∂و∂φφ^+∂و∂zz^∇⋅أ=1ρ∂∂ρ(ρأρ)+1ρ∂أφ∂φ+∂أz∂z∇×أ=(1ρ∂أz∂φ-∂أφ∂z)ρ^+(∂أρ∂z-∂أz∂ρ)φ^+1ρ(∂∂ρ(ρأφ)-∂أρ∂φ)z^∇2و=1ρ∂∂ρ(ρ∂و∂ρ)+1ρ2∂2و∂φ2+∂2و∂z2{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}

التوافقيات الأسطوانية

تُسمى حلول معادلة لابلاس في نظام ذي تناظر أسطواني بالتوافقيات الأسطوانية .

علم الحركة

في نظام الإحداثيات الأسطوانية، يمكن كتابة موضع الجسيم على النحو التالي [ 6 ]ر=ρρ^+zz^.{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.} سرعة الجسيم هي المشتق الزمني لموضعه، v=دردت=ρ˙ρ^+ρφ˙φ^+z˙z^،{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},} حيث المصطلحρφ˙φ^{\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}يأتي من صيغة بواسوندρ^دت=φ˙z^×ρ^{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}تسارعها هو [ 6 ]أ=دvدت=(ρ¨-ρφ˙2)ρ^+(2ρ˙φ˙+ρφ¨)φ^+z¨z^{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كرافت، سي.؛ فولوكيتين، أ.س. (1 يناير 2002). "تفاعل حزمة الإلكترونات الرنانة مع عدة موجات هجينة سفلية" . فيزياء البلازما . 9 (6): 2786-2797 . Bibcode : 2002PhPl....9.2786K . doi : 10.1063/1.1465420 . ISSN 1089-7674 . تم الاسترجاع في 9 فبراير 2013. ...في الإحداثيات الأسطوانية ( r ، θ ، z ) ... و Z = v bz t هو الموضع الطولي... {{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  2. ↑ غرويسمان، ألكسندر؛ شتاينبرغ، فيكتور (1997). "أزواج الدوامات المنفردة في تدفق كويت المرن اللزج". رسائل المراجعة الفيزيائية . 78 (8): 1460-1463 . arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721. ... حيث r و θ و z إحداثيات أسطوانية ... كدالة للموضع المحوري... 
  3. ↑ شيمانسكي، جيه إي (1989). الرياضيات الأساسية لمهندسي الإلكترونيات: نماذج وتطبيقات . سلسلة أدلة تعليمية في هندسة الإلكترونيات (رقم 16). تايلور وفرانسيس. ص 170. ISBN  978-0-278-00068-1.
  4. ↑ نون، روبرت هـ. (1989). ميكانيكا الموائع المتوسطة . تايلور وفرانسيس. ص 3. ISBN  978-0-89116-647-4.
  5. ^ سبارك، ليندا سيوبهان ؛ غالاغر، جون سيل (2007). المجرات في الكون: مقدمة ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 37. ردمك   978-0-521-85593-8.
  6. 1 2 تايلور، جون ر. (2005). الميكانيكا الكلاسيكية . سوساليتو، كاليفورنيا: كتب العلوم الجامعية. ص 29. 

للمزيد من القراءة