فئة الخنجر

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعرف فئة الخنجر (وتُسمى أيضًا الفئة الالتفافية أو الفئة ذات الالتفاف ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) بأنها فئة مزودة ببنية معينة تُسمى الخنجر أو الالتفاف . وقد صاغ بيتر سيلينجر مصطلح فئة الخنجر. ^{[ 3 ]}

فئة الخنجر هي فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$مزود بوظيفة داخلية متغيرة عكسية متداخلة${\displaystyle \dagger }$وهو ما يمثل الهوية على الكائنات . ^{[ 4 ]}

وهذا يعني بالتفصيل ما يلي:

• لجميع التشكلات${\displaystyle f:A\to B}$، يوجد مرافقها${\displaystyle f^{\dagger }:B\to A}$
• لجميع التشكلات${\displaystyle f}$،${\displaystyle (f^{\dagger })^{\dagger }=f}$
• لجميع الكائنات${\displaystyle A}$،${\displaystyle \mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}}$
• للجميع${\displaystyle f:A\to B}$و${\displaystyle g:B\to C}$،${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A}$

لاحظ أنه في التعريف السابق، يتم استخدام مصطلح "المرافق" بطريقة مماثلة (ومستوحاة من) المعنى الجبري الخطي ، وليس بالمعنى النظري للفئات .

تُعرّف بعض المصادر ^{[ 5 ]} الفئة ذات الانعكاس بأنها فئة خنجرية تتميز بخاصية إضافية، وهي أن مجموعة التشكلات الخاصة بها مرتبة جزئيًا، وأن ترتيب التشكلات متوافق مع تركيب التشكلات، أي${\displaystyle a<b}$يشير إلى${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$بالنسبة للتشاكلات${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$عندما تكون مصادرهم وأهدافهم متوافقة.

• تمتلك فئة Rel للمجموعات والعلاقات بنية خنجرية: بالنسبة لعلاقة معينة${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$في العلاقات ، العلاقة${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$هو العكس العلائقي لـ${\displaystyle R}$في هذا المثال، يكون التشكل الذاتي المرافق علاقة متناظرة .
• تُعد فئة Cob من التماثلات فئة مضغوطة خنجرية ، وعلى وجه الخصوص، فهي تمتلك بنية خنجرية.
• تمتلك فئة Hilb لفضاءات هيلبرت أيضًا بنية خنجرية: بالنظر إلى تطبيق خطي محدود${\displaystyle f:A\rightarrow B}$الخريطة${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$هو مجرد مرافقه بالمعنى المعتاد.
• أي أحادي ذو خاصية الانعكاس هو فئة خنجر تحتوي على عنصر واحد فقط. في الواقع، كل مجموعة تماثلية للتشاكلات الداخلية في فئة خنجر ليست مجرد أحادي ، بل هي أحادي ذو خاصية الانعكاس، وذلك بسبب خاصية الخنجر.
• إن الفئة المنفصلة هي فئة خنجرية بشكل بديهي.
• تتمتع الزمرة الجزئية (وكنتيجة بديهية، الزمرة ) ببنية خنجرية، حيث يكون المرافق الخاص بالتشاكل هو معكوسه. في هذه الحالة، تكون جميع التشاكلات وحدوية (التعريف أدناه).

في فئة الخنجر${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، تشاكل${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم

• وحدة إذا${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• ذاتي الترافق إذا${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

هذا الأخير ممكن فقط بالنسبة للتشاكل الداخلي${\displaystyle f\colon A\to A}$. المصطلحات الوحدوية والذاتية المرافقة في التعريف السابق مأخوذة من فئة فضاءات هيلبرت، حيث تكون التشكلات التي تحقق تلك الخصائص وحدوية وذاتية المرافقة بالمعنى المعتاد.

• *-الجبر
• فئة أحادية متناظرة من نوع الخنجر
• فئة داغر المدمجة

• فئة الخنجر في مختبر ن