ديكارت على متعددات السطوح

كتاب "ديكارت حول المجسمات: دراسة لكتاب "De solidorum elementis"" هو كتاب في تاريخ الرياضيات ، يتناول أعمال رينيه ديكارت حول المجسمات . ويتمحور الكتاب حول الخلاف حول أسبقية صيغة أويلر للمجسمات بين ليونارد أويلر ، الذي نشر نسخة صريحة من الصيغة، وديكارت، الذي يتضمن كتابه "De solidorum elementis" نتيجةً يمكن من خلالها اشتقاق الصيغة بسهولة. ^{[ 1 ]}

كتب باسكوالي جوزيف فيديريكو (1902-1982) كتاب "ديكارت حول متعددات السطوح" ، ونُشر بعد وفاته من قِبل دار نشر سبرينغر-فيرلاغ عام 1982، بمساعدة أرملة فيديريكو، بيانكا م. فيديريكو، كمجلد رابع من سلسلة كتبهم "مصادر في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية". ^{[ 2 ]} وقد أوصت لجنة قائمة المكتبات الأساسية التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية بإدراجه في مكتبات الرياضيات الجامعية. ^{[ 3 ]}

كُتبت المخطوطة اللاتينية الأصلية لكتاب " De solidorum elementis" حوالي عام 1630 على يد ديكارت؛ وتصفها الناقدة مارجوري سينشال بأنها "أول معالجة شاملة للمجسمات متعددة الأوجه"، وهي العمل الوحيد لديكارت في هذا المجال، وغير مكتملة، إذ تتسم عباراتها بالفوضى وبعضها غير صحيح. ^{[ 4 ]} ظهرت المخطوطة في ستوكهولم ضمن تركة ديكارت بعد وفاته عام 1650، وتعرضت للبلل لمدة ثلاثة أيام في نهر السين عندما غرقت السفينة التي كانت تنقلها إلى باريس، ونجت لفترة كافية ليقوم غوتفريد فيلهلم لايبنتز بنسخها عام 1676 قبل أن تختفي إلى الأبد. أُعيد اكتشاف نسخة لايبنتز، التي كانت مفقودة أيضاً، في هانوفر حوالي عام 1860. يروي الجزء الأول من كتاب "ديكارت عن متعددات السطوح" هذه القصة، ويرسم نبذة عن سيرة ديكارت، ويقدم نسخة طبق الأصل من نسخة لايبنتز مكونة من إحدى عشرة صفحة، بالإضافة إلى نص مكتوب وترجمة إنجليزية وتعليق عليه، بما في ذلك شرح لبعض رموزه. ^{[ 2 ] [ 5 ]}

في كتابه "De solidorum elementis" ، يذكر ديكارت (دون برهان) نظرية ديكارت حول النقص الزاوي الكلي ، وهي صيغة منفصلة لنظرية غاوس-بونيه التي تنص على أن العيوب الزاوية لرؤوس متعدد السطوح المحدب (المقدار الذي تقل به الزوايا عند ذلك الرأس عن القيمة المطلقة)${\displaystyle 2\pi }$مجموع الزوايا المحيطة بأي نقطة على مستوى مستوٍ يساوي دائمًا بالضبط${\displaystyle 4\pi }$استخدم ديكارت هذه النظرية لإثبات أن المجسمات الأفلاطونية الخمسة هي المجسمات المنتظمة الوحيدة الممكنة. ومن الممكن أيضًا اشتقاق صيغة أويلر.${\displaystyle V-E+F=2}$يربط كتاب " De solidorum elementis" بين عدد رؤوس وأضلاع ووجوه متعدد السطوح المحدب من نظرية ديكارت، ^{[ 2 ]} ويتضمن أيضًا صيغةً تُشبه إلى حد كبير صيغة أويلر التي تربط بين عدد رؤوس ووجوه وزوايا المستوى لمتعدد السطوح. ^{[ 1 ]} منذ إعادة اكتشاف مخطوطة ديكارت، جادل العديد من الباحثين بأن الفضل في صيغة أويلر يعود إلى ديكارت وليس إلى ليونارد أويلر ، الذي نشر الصيغة (مع برهان غير صحيح) عام 1752. يستعرض الجزء الثاني من كتاب "Descardets on Polyhedra" هذا النقاش، ويقارن بين منطق ديكارت وأويلر في هذه المواضيع. في النهاية، يخلص الكتاب إلى أن ديكارت ربما لم يكتشف صيغة أويلر، ويتفق المراجعان سينشال وإتش إس إم كوكسيتر مع هذا الرأي، حيث كتبا أن ديكارت لم يكن لديه مفهوم لأضلاع متعدد السطوح، وبدون ذلك لم يكن ليتمكن من صياغة صيغة أويلر نفسها. ^{[ 2 ] [ 4 ]} بعد ذلك، اكتُشف أن فرانشيسكو ماوروليكو قدّم سلفًا مباشرًا وأقدم بكثير لعمل أويلر، وهو ملاحظة في عام 1537 (دون إثبات قابليتها للتطبيق بشكل عام) بأن صيغة أويلر نفسها تنطبق على الأجسام الأفلاطونية الخمسة. ^{[ 6 ]}

يربط الجزء الثاني من كتاب ديكارت، والجزء الثالث من كتابه "ديكارت في المجسمات "، نظرية المجسمات بنظرية الأعداد . ويتناول هذا الجزء الأعداد الشكلية التي عرّفها ديكارت انطلاقًا من المجسمات، معممًا بذلك التعريفات اليونانية الكلاسيكية للأعداد الشكلية، كالأعداد المربعة والمثلثة ، انطلاقًا من المضلعات ثنائية الأبعاد . في هذا الجزء، يستخدم ديكارت كلًا من المجسمات الأفلاطونية وبعض المجسمات شبه المنتظمة ، باستثناء المجسمات المقطوعة . ^{[ 2 ] [ 7 ]}

بعد أن أشار المراجع إف. إيه. شيرك إلى الأهمية الواضحة لكتاب ديكارت عن المجسمات المتعددة الأوجه لمؤرخي الرياضيات، أوصى به أيضًا لعلماء الهندسة والرياضيات الهواة. وكتب أنه يقدم مدخلاً جيدًا لبعض المواضيع المهمة في رياضيات المجسمات المتعددة الأوجه، ويربطها بنظرية الأعداد بطريقة شيقة، كما أنه سهل القراءة دون الحاجة إلى معرفة مسبقة واسعة. ^{[ 7 ]} وتشير مارجوري سينشال إلى أنه، بالإضافة إلى مسألة الأسبقية بين ديكارت وأويلر، يُعد الكتاب مفيدًا أيضًا في توضيح ما كان معروفًا عن الهندسة بشكل عام في زمن ديكارت. ^{[ 4 ]} وباختصار، وصف المراجع إل. فوهرر الكتاب بأنه جميل وسهل القراءة وممتع، ولكنه باهظ الثمن. ^{[ 5 ]}

• قائمة الكتب حول المجسمات متعددة الأوجه