عدد طبيعي

يمكن استخدام الأعداد الطبيعية للإجابة على أسئلة مثل "كم عدد التفاحات الموجودة على الطاولة؟" ^{[ 10 ]} يصف العدد الطبيعي المستخدم بهذه الطريقة خاصية لمجموعة محدودة من الأشياء . تُسمى هذه الخاصية، وهي حجم المجموعة ، بالعدد الأصلي ، والعدد الطبيعي المستخدم لوصفها أو قياسها هو عدد أصلي .

تتساوى مجموعتان منتهيتان في الحجم أو العدد إذا كانتا متناظرتين تناظرًا تامًا ، أي يمكن ترتيب عناصرهما في أزواج (عنصر واحد من كل مجموعة)، بحيث يكون كل عنصر في زوج واحد فقط. في الصورة المجاورة، كل تفاحة مقترنة ببرتقالة واحدة فقط، وكل برتقالة مقترنة بتفاحة واحدة فقط. وبالتالي، فإن عدد عناصر مجموعة التفاح يساوي عدد عناصر مجموعة البرتقال، أو بعبارة أخرى، عدد التفاح يساوي عدد البرتقال.

ولأن هذه المساواة يمكن إثباتها دون عدّ أو استخدام أي مفهوم مسبق للعدد، ^{[ 11 ] [ 12 ]} فإنها تُشكّل تعريفًا للعدد الأصلي. ^{[ 13 ]} في هذه الحالة، يكون عدد التفاح والبرتقال - وأي مجموعة أخرى يمكن تصنيفها ضمن أي من المجموعتين - هو 3.

إذا لم تتساوى مجموعتان في عدد العناصر، فإن عملية الاقتران ستترك إحدى المجموعتين بعناصر غير مقترنة، ويمكن استخدام ذلك لتحديد علاقة الحجم بينهما. يُقال إن المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر مقترنة "أصغر"، والمجموعة التي تحتوي على عناصر غير مقترنة "أكبر"، من المجموعة الأخرى.

المتتالية هي قائمة من العناصر مرتبة ترتيبًا محددًا. بتعبير أدق، المتتالية هي دالة تُسند عنصرًا إلى كل موضع في تلك القائمة. تُسمى المواضع نفسها باستخدام مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا ؛ لكل عنصر دائمًا عنصر تالٍ واضح. ^{[ 14 ]} لكل مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا نوع ترتيب ، وهو العدد الترتيبي الذي يصف شكل ترتيبها. ^{[ 15 ]} لا تُمثل تسميات المواضع هنا أعدادًا أو أحجامًا كما هو الحال مع الأعداد الأصلية، بل هي مجرد عناصر مرتبة ^{. [ 16 ]}

تُعدّ الأعداد الطبيعية الخيار الأكثر شيوعًا لترقيم المتتاليات اللانهائية، لأنها تُشكّل أبسط مجموعة لانهائية مُرتبة ترتيبًا جيدًا، من نوع الترتيب ω. تبدأ هذه الأعداد إما من 0 أو 1، وتستمر بترتيبها الثابت المألوف - 1، 2، 3، وهكذا - دون نهاية. يُشير كل عدد طبيعي إلى موضع مُحدد في المتتالية بناءً على موقعه بالنسبة لجميع المواضع الأخرى. على سبيل المثال، 1 هو الموضع الأول، و2 هو الموضع الذي يليه مباشرةً، و3 هو الموضع الذي يلي كلاً من 1 و2، ويسبق 4 و5، وهكذا. يتطابق هذا الترتيب مع الترتيب المعتاد، حيث تأتي الأعداد الأصغر قبل الأكبر. لكن الأعداد الطبيعية هي ببساطة المثال الأكثر شيوعًا؛ فأي مجموعة مُرتبة ترتيبًا جيدًا تُناسب بنفس القدر ترقيم المتتالية، على سبيل المثال مجموعة الأحرف a، b، c، وهكذا. ^{[ 17 ]}

الرقم هو رمز أو مجموعة رموز تُستخدم للتعبير عن عدد طبيعي كتابةً، ومجموعة معينة من الرموز ذات قواعد استخدام محددة تُسمى نظامًا عدديًا . يُمثل كل رمز في النظام العددي عددًا طبيعيًا فريدًا - يُقال إنه قيمته - ويمكن استخدامه بمفرده كرقم، أو ضمن سلسلة مع رموز أخرى تُشكل معًا رقمًا.

يُعدّ النظام العشري ، الذي يستخدم الأرقام العربية وقواعد الترقيم الموضعي ، المعيار العالمي لتمثيل الأعداد الطبيعية في الرياضيات وفي الاستخدام الشائع. وبسبب هذا المعيار العالمي جزئيًا، فإن التمييز بين العدد المجرد (القيمة) ورمزه (الرقم) غير مهم عمومًا، لذا يُشار إلى الأرقام غالبًا ببساطة باسم "الأعداد". ويُستخدم هذا أحيانًا حتى في الحالات التي يكون فيها التمييز مهمًا، كما هو الحال مع الأرقام الثنائية التي تُسمى غالبًا "الأعداد الثنائية".

العد هو عملية التكرار عبر الأعداد الطبيعية بترتيب تسلسلي بدءًا من 1. ويمكن القيام بذلك باستخدام الأرقام وحدها (كما في "العد إلى 10 ")، أو عن طريق تطبيق العد على الأشياء (كما في "عد الطلاب في الفصل ").

عند تطبيق العدّ على مجموعة من الأشياء، يُحدد عدد عناصر المجموعة من خلال إقامة تطابق تام بين كل عنصر وأحد الأعداد الطبيعية. ^{[ 28 ]} يتضمن ذلك "ترقيم" كل عنصر على التوالي مع الحفاظ على فصل مستمر بين العناصر المرقمة وغير المرقمة. ^{[ 29 ]} يجب ترقيم العناصر بالتسلسل بدءًا من 1 - لذا فهي أعداد ترتيبية - لكن ترتيب العناصر المختارة اختياري طالما أن كل عنصر يحصل على رقم واحد فقط. مبدأ العدد هو أن الرقم الترتيبي المُخصص للعنصر الأخير يُعطي نتيجة العدّ: العدد الأصلي للمجموعة. ^{[ 30 ]}

البديهيات الخمس لبيانو هي: ^{[ 33 ] [ ج ]}

1. الصفر عدد طبيعي.
2. لكل عدد طبيعي عددٌ خلفٌ له وهو أيضاً عدد طبيعي.
3. الصفر ليس العدد التالي لأي عدد طبيعي.
4. إذا كان خليفة${\displaystyle x}$يساوي خليفة${\displaystyle y}$، ثم${\displaystyle x}$يساوي${\displaystyle y}$.
5. بديهية الاستقراء : إذا كانت عبارة ما صحيحة بالنسبة للصفر، وإذا كانت صحة تلك العبارة لعدد ما تستلزم صحتها بالنسبة للعدد التالي لذلك العدد، فإن العبارة تكون صحيحة لكل عدد طبيعي.

ليست هذه البديهيات الأصلية التي نشرها بيانو، بل سُميت تكريمًا له. تحتوي بعض صيغ بديهيات بيانو على الرقم 1 بدلًا من 0. في الحساب العادي، يكون العدد التالي لـ${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle x+1}$.

في نظرية المجموعات، يُعرَّف كل عدد طبيعي n على أنه مجموعة محددة. وقد اقتُرحت العديد من الطرق، إلا أن الحل القياسي (الذي وضعه جون فون نيومان ) ^{[ 34 ]} هو:

• Call 0 = { } ، المجموعة الفارغة .
• عرّف العنصر اللاحق S ( a ) لأي مجموعة a بواسطة S ( a ) = a ∪ { a } .
• بحسب بديهية اللانهاية ، توجد مجموعات تحتوي على الصفر وتكون مغلقة تحت دالة الخلف. تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات الاستقرائية . ويُعدّ تقاطع جميع المجموعات الاستقرائية مجموعة استقرائية أيضًا.
• هذا التقاطع هو مجموعة الأعداد الطبيعية .

ينتج عن هذا تعريف تكراري للأعداد الطبيعية يسمى ترتيبات فون نيومان :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&&&{}=\{\}&&{}=\varnothing \\1&=0\cup \{0\}&&{}=\{0\}&&=\{\varnothing \}\\2&=1\cup \{1\}&&{}=\{0,1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\3&=2\cup \{2\}&&{}=\{0,1,2\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\\n&=n-1\cup \{n-1\}&&{}=\{0,1,...,n-1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},...,\{\varnothing ,\{\varnothing \},...\}\}\\\end{alignedat}}}$

في هذا البناء، كل عدد طبيعي n هو مجموعة تحتوي على n عنصرًا، حيث يكون كل عنصر عددًا طبيعيًا أقل من n . ومن هذا، يمكن تعريف المفاهيم البديهية للعددية والترتيب رسميًا على النحو التالي:

• العددية: تحتوي المجموعة S على n عنصرًا إذا كان هناك تطابق أو تقابل واحد لواحد من n إلى S.
• الترتيب: n ≤ m إذا وفقط إذا كانت n مجموعة جزئية من m .

بناء آخر يسمى أحيانًاتُعرّف الأعداد الترتيبية لزيرميلو ^{[ 35 ]} 0 = { }و S ( a ) = { a }وهي الآن ذات أهمية تاريخية إلى حد كبير.

بالنظر إلى المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$الأعداد الطبيعية ودالة الخلف${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$إرسال كل عدد طبيعي إلى العدد التالي، عملية الجمع (${\displaystyle +}$) يُعرَّف بما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+0&=a&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b)&{\textrm {(2)}}\\\end{aligned}}}$

في العبارات أعلاه، (1) يحدد بشكل صريح عملية الجمع للعدد الطبيعي الأول و (2) يعطي تعريفًا تكراريًا لكل عدد لاحق من حيث التعريفات السابقة، كما هو موضح أدناه.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&a+1=a+S(0)=S(a+0)=S(a)\\&a+2=a+S(1)=S(a+1)=S(S(a))\\&a+3=a+S(2)=S(a+2)=S(S(S(a)))\end{alignedat}}}$

وبهذا الشكل، يمكن اعتبار عملية الجمع بمثابة تطبيق متكرر لدالة التابع. وبشكل بديهي، يتم حساب قيمة a + b بتطبيق دالة التابع على a بعدد المرات اللازمة لتطبيقها على 0 لإنتاج b .

البنية الجبرية${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$هي زمرة تبديلية ذات عنصر محايد يساوي صفرًا. وهي زمرة حرة ذات مولد واحد. تحقق هذه الزمرة التبديلية خاصية الإلغاء ، لذا يمكن تضمينها في زمرة . أصغر زمرة تحتوي على الأعداد الطبيعية هي زمرة الأعداد الصحيحة . 

وبالمثل، إذا تم تعريف الجمع، فإن عامل الضرب${\displaystyle \times }$يمكن تعريفها من خلال a × 0 = 0 و a × S( b ) = ( a × b ) + a . وهذا يؤدي إلى${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$إلى أحادي تبديلي حر مع عنصر محايد  1؛ مجموعة مولدات لهذا الأحادي هي مجموعة الأعداد الأولية .

في الأعداد الطبيعية، يكون الجمع والضرب متوافقين، وهو ما يُعبَّر عنه في قانون التوزيع : أ × ( ب + ج ) = ( أ × ب ) + ( أ × ج ) . ومع ذلك،${\displaystyle \mathbb {N} }$ليست مجموعة الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية الطرح (أي أن طرح عدد طبيعي من آخر لا ينتج عنه دائمًا عدد طبيعي آخر)؛ وبصورة مكافئة، يمكن القول إن${\displaystyle \mathbb {N} }$تفتقر إلى المعكوسات الجمعية . هذه الخصائص للجمع والضرب تعني أن${\displaystyle \mathbb {N} }$ليست حلقة ؛ بل هي شبه حلقة (تُعرف أيضًا باسم حلقة كاملة ). تُعد أنصاف الحلقات تعميمًا جبريًا للحلقات حيث لا يكون الضرب بالضرورة تبديليًا ، على الرغم من أن الضرب في${\displaystyle \mathbb {N} }$هي عملية تبديلية.

إذا اعتبرنا الأعداد الطبيعية "باستثناء الصفر"، و"تبدأ من 1"، فإن تعريفات الجمع والضرب هي كما سبق، باستثناء أنها تبدأ بـ a + 1 = S ( a ) و a × 1 = a . علاوة على ذلك،${\displaystyle (\mathbb {N^{*}} ,+)}$لا يحتوي على عنصر هوية.

يُعرَّف الترتيب الكلي للأعداد الطبيعية بجعل a ≤ b إذا وفقط إذا وُجد عدد طبيعي آخر c بحيث يكون a + c = b . يتوافق هذا الترتيب مع العمليات الحسابية بالمعنى التالي: إذا كانت a و b و c أعدادًا طبيعية و a ≤ b ، فإن a + c ≤ b + c و a × c ≤ b × c .

من الخصائص المهمة للأعداد الطبيعية أنها مرتبة ترتيبًا جيدًا : فكل مجموعة غير فارغة من الأعداد الطبيعية تحتوي على أصغر عنصر. ويُعبَّر عن رتبة كل مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا بعدد ترتيبي ؛ وبالنسبة للأعداد الطبيعية، يُرمز لهذا العدد بالرمز ω (أوميغا).

على الرغم من أنه من غير الممكن عمومًا قسمة عدد طبيعي على آخر والحصول على عدد طبيعي كنتيجة، إلا أن إجراء القسمة مع الباقي أو القسمة الإقليدية متاح كبديل: لأي عددين طبيعيين a و b حيث b ≠ 0، يوجد عددان طبيعيان q و r بحيث

${\displaystyle a=b\times q+r{\text{ and }}r<b.}$

يُسمى العدد q ناتج القسمة ، ويُسمى r باقي قسمة a على b . ويُحدد العددان q و r بشكلٍ فريد من خلال a و b . تُعد هذه القسمة الإقليدية أساسيةً للعديد من الخصائص الأخرى ( قابلية القسمة )، والخوارزميات (مثل خوارزمية إقليدس )، والمفاهيم في نظرية الأعداد.  

تتمتع عمليات الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية كما هو موضح أعلاه بالعديد من الخصائص الجبرية:

• الانغلاق تحت عمليتي الجمع والضرب: بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية a و b ، فإن كلاً من a + b و a × b أعداد طبيعية. ^{[ 36 ]}
• خاصية التجميع : بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية a و b و c ، فإن a + ( b + c ) = ( a + b ) + c و a × ( b × c ) = ( a × b ) × c . ^{[ 37 ]}
• خاصية التبديل : بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية a و b ، فإن a + b = b + a و a × b = b × a . ^{[ 38 ]}
• وجود عناصر الوحدة : لكل عدد طبيعي a ، a + 0 = a و a × 1 = a .
  • إذا اعتبرنا الأعداد الطبيعية "باستثناء الصفر"، و"تبدأ من 1"، فإن لكل عدد طبيعي a ، يكون a × 1 = a . ومع ذلك، فإن خاصية "وجود عنصر محايد جمعي" لا تتحقق.
• خاصية التوزيع للضرب على الجمع لجميع الأعداد الطبيعية a و b و c ، a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
• لا يوجد قواسم صفرية غير صفرية : إذا كان a و b عددين طبيعيين بحيث يكون a × b = 0 ، فإن a = 0 أو b = 0 (أو كلاهما).

في أوروبا خلال القرن التاسع عشر، دار نقاش رياضي وفلسفي حول الطبيعة الدقيقة للأعداد الطبيعية. ذكر هنري بوانكاريه أن البديهيات لا يمكن إثباتها إلا بتطبيقها المحدود، وخلص إلى أن "قوة العقل" هي التي تسمح بتصور التكرار غير المحدود للفعل نفسه. ^{[ 44 ]} لخص ليوبولد كرونكر اعتقاده بقوله: "الله خلق الأعداد الصحيحة، وكل ما عداها من صنع الإنسان". ^{[ د ]}

رأى البنائيون ضرورةً لتحسين الدقة المنطقية في أسس الرياضيات . ^{[ هـ ]} في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح هيرمان غراسمان تعريفًا تكراريًا للأعداد الطبيعية، مُشيرًا بذلك إلى أنها ليست طبيعية في الواقع، بل هي نتيجة للتعريفات. لاحقًا، ظهر نوعان من هذه التعريفات الرسمية، باستخدام نظرية المجموعات وبديهيات بيانو على التوالي. وفي وقت لاحق، تبيّن تكافؤهما في معظم التطبيقات العملية.

بدأ فريجه بتعريف الأعداد الطبيعية من منظور نظرية المجموعات . عرّف العدد الطبيعي في البداية بأنه فئة جميع المجموعات التي تتطابق تطابقًا تامًا مع مجموعة معينة. إلا أن هذا التعريف أدى إلى مفارقات، منها مفارقة راسل . ولتجنب هذه المفارقات، عُدّل التعريف بحيث يُعرّف العدد الطبيعي بأنه مجموعة معينة، وأي مجموعة يمكن ربطها تطابقًا تامًا بتلك المجموعة يُقال إنها تحتوي على ذلك العدد من العناصر. ^{[ 47 ]}

في عام ١٨٨١، قدّم تشارلز ساندرز بيرس أول نظام بديهي لحساب الأعداد الطبيعية. ^{[ ٤٨ ] [ ٤٩ ]} وفي عام ١٨٨٨، اقترح ريتشارد ديديكيند نظامًا بديهيًا آخر لحساب الأعداد الطبيعية، ^{[ ٥٠ ]} وفي  عام ١٨٨٩، نشر بيانو نسخة مبسطة من بديهيات ديديكيند في كتابه " مبادئ الحساب مُقدَّمة بطريقة جديدة" ( باللاتينية : Arithmetices principia, nova methodo exposita ). يُعرف هذا النهج الآن باسم حساب بيانو . وهو قائم على نظام بديهي لخصائص الأعداد الترتيبية : لكل عدد طبيعي عددٌ لاحق، ولكل عدد طبيعي غير صفري عددٌ سابق فريد. يتوافق حساب بيانو مع العديد من الأنظمة الضعيفة لنظرية المجموعات . أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية بنفيها. ^{[ 51 ]} تشمل النظريات التي يمكن إثباتها في ZFC ولكن لا يمكن إثباتها باستخدام بديهيات بيانو نظرية جودشتاين . ^{[ 52 ]}

لطالما كان البدء من 0 أو 1 مسألةً عرفية. ففي عام 1727، جادل برنارد لو بوفييه دي فونتينيل بكلا الرأيين، إذ رأى أن 0 يمكن أن يكون حدًا كما في المتتالية 0، 1، 2، ...، بينما رأى أن 1 عنصر أساسي يمكن تكوين أعداد أخرى منه عن طريق الجمع المتكرر. ^{[ 53 ]} وفي عام 1889، استخدم جوزيبي بيانو N للأعداد الصحيحة الموجبة وبدأ من 1، ^{[ 54 ]} لكنه غيّر لاحقًا إلى استخدام _N0 و _N1 . ^{[ 55 ]} استبعد معظم المؤلفين الأوائل الصفر، ^{[ 43 ] [ 56 ] [ 57 ]} لكن العديد من علماء الرياضيات، مثل جورج أ. وينتورث ، وبرتراند راسل ، ونيكولاس بورباكي ، وبول هالموس ، وستيفن كول كلين ، وجون هورتون كونواي، أدرجوا الصفر. ^{[ 58 ] [ 43 ]} وقد شاع استخدام الصفر في ستينيات القرن العشرين ^{[ 43 ]} وتمّ إضفاء الطابع الرسمي عليه في معيار ISO 31-11 (1978)، الذي يُعرّف الأعداد الطبيعية لتشمل الصفر، وهو اصطلاح مُعتمد في معيار ISO 80000-2 الحالي . ^{[ 59 ]}