اكتمال الأعداد الحقيقية

تنص خاصية الحد الأعلى الأدنى على أن كل مجموعة فرعية غير فارغة من الأعداد الحقيقية التي لها حد أعلى (أو محدودة من الأعلى) يجب أن يكون لها حد أعلى أدنى (أو قيمة عليا) في مجموعة الأعداد الحقيقية.

لا يمتلك خط الأعداد النسبية Q خاصية الحد الأعلى الأدنى. ومن الأمثلة على ذلك مجموعة الأعداد النسبية الجزئية .

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}.}$

لهذه المجموعة حدٌّ أعلى. مع ذلك، ليس لهذه المجموعة حدٌّ أعلى أصغر في Q : الحدّ الأعلى الأصغر كمجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية هو √2 ، لكنه غير موجود في Q. لكل حدٍّ أعلى x ∈ Q ، يوجد حدٌّ أعلى آخر y ∈ Q بحيث y < x .

على سبيل المثال، إذا أخذنا x = 1.5 ، فإن x بالتأكيد حدٌّ أعلى للمجموعة S ، لأن x موجب و ^x² = 2.25 ≥ 2 ؛ أي أنه لا يوجد عنصر في S أكبر من x . مع ذلك، يمكننا اختيار حدٍّ أعلى أصغر، ولنقل y = 1.45 ؛ وهذا أيضًا حدٌّ أعلى للمجموعة S للأسباب نفسها، ولكنه أصغر من x ، لذا فإن x ليس حدًّا أعلى أصغر للمجموعة S. يمكننا اتباع نهج مماثل لإيجاد حدٍّ أعلى للمجموعة S أصغر من y ، ولنقل z = 1.42 ، وهكذا، بحيث لا نجد أبدًا حدًّا أعلى أصغر للمجموعة S في Q.

يمكن تعميم خاصية الحد الأعلى الأدنى على مجموعة المجموعات المرتبة جزئيًا . انظر الاكتمال (نظرية الترتيب) .

خاصية اكتمال ديديكيند هي أن كل قطع ديديكيند للأعداد الحقيقية يُولّد بواسطة عدد حقيقي. في المنهج التركيبي للأعداد الحقيقية، تُعد هذه الصيغة من الاكتمال هي الأكثر شيوعًا كبديهية.

خط الأعداد النسبية Q ليس كاملاً وفقًا لمعيار ديديكيند. ومن الأمثلة على ذلك قطع ديديكيند.

${\displaystyle L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.}$

${\displaystyle R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.}$

لا يوجد حد أقصى لـ L ولا يوجد حد أدنى لـ R ، لذا فإن هذا القطع لا يتم توليده بواسطة عدد نسبي.

هناك طريقة لبناء الأعداد الحقيقية تعتمد على فكرة استخدام مقاطع ديديكيند للأعداد النسبية لتسمية الأعداد الحقيقية؛ على سبيل المثال، المقطع (L,R) الموصوف أعلاه سيسمي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$إذا قام المرء بتكرار بناء الأعداد الحقيقية باستخدام قطوع ديديكيند (أي "إغلاق" مجموعة الأعداد الحقيقية عن طريق إضافة جميع قطوع ديديكيند الممكنة)، فلن يحصل على أي أعداد إضافية لأن الأعداد الحقيقية كاملة بالفعل وفقًا لديديكيند.

اكتمال كوشي هو القول بأن كل متتالية كوشي من الأعداد الحقيقية تتقارب إلى عدد حقيقي.

The rational number lineQ is not Cauchy complete. An example is the following sequence of rational numbers:

${\displaystyle 3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.141,\quad 3.1415,\quad \ldots }$

Here the nth term in the sequence is the nth decimal approximation for pi. Though this is a Cauchy sequence of rational numbers, it does not converge to any rational number. (In this real number line, this sequence converges to pi.)

Cauchy completeness is related to the construction of the real numbers using Cauchy sequences. Essentially, this method defines a real number to be the limit of a Cauchy sequence of rational numbers.

In mathematical analysis, Cauchy completeness can be generalized to a notion of completeness for any metric space. See complete metric space.

For an ordered field, Cauchy completeness is weaker than the other forms of completeness on this page. But Cauchy completeness and the Archimedean property taken together are equivalent to the others.

The nested interval theorem is another form of completeness. Let I_n = [a_n, b_n] be a sequence of non-empty closed intervals, and suppose that for all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle I_{n+1}\subseteq I_{n}}$. Moreover, assume that b_n − a_n → 0 as n → +∞. The nested interval theorem states that the intersection of all of the intervals I_n contains exactly one point.

For any ordered field${\displaystyle F}$, such as the rational numbers, we can define an interval ${\displaystyle [a,b]}$ to be

${\displaystyle [a,b]_{F}=\{x\in F\ |\ a\leq x\leq b\}.}$

We can therefore consider the question of whether (the natural generalization of) the nested intervals property holds for ordered fields other than the real numbers.

The answer turns out to be no. For example, the rational numbers${\displaystyle \mathbb {Q} }$ do not satisfy the nested interval property. The sequence (whose terms are derived from the digits of pi in the suggested way)

${\displaystyle [3,4]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.1,3.2]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.14,3.15]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.141,3.142]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;\cdots }$

is a nested sequence of closed intervals in the rational numbers whose intersection is empty. (In the real numbers, the intersection of these intervals contains the number pi.)

Nested intervals theorem shares the same logical status as Cauchy completeness in this spectrum of expressions of completeness. In other words, nested intervals theorem by itself is weaker than other forms of completeness, although taken together with Archimedean property, it is equivalent to the others.

ينص مبدأ الاستقراء المفتوح على أن المجموعة المفتوحة غير الفارغة${\displaystyle S}$من الفترة${\displaystyle [a,b]}$يجب أن يساوي الفترة بأكملها، إن وجدت.${\displaystyle r\in [a,b]}$لدينا ذلك${\displaystyle [a,r)\subset S}$يشير إلى${\displaystyle [a,r]\subset S}$.

يمكن إثبات أن مبدأ الاستقراء المفتوح مكافئ لاكتمال ديديكيند لأي مجموعات مرتبة تحت طوبولوجيا الترتيب ، باستخدام البراهين بالتناقض. في الأسس الأضعف، كما هو الحال في التحليل البنائي حيث لا ينطبق قانون الوسط المرفوع، تفشل الصيغة الكاملة لخاصية الحد الأعلى الأدنى بالنسبة لأعداد ديديكيند الحقيقية، بينما تظل خاصية الاستقراء المفتوح صحيحة في معظم النماذج (استنادًا إلى نظرية بروير الشريطية) وهي قوية بما يكفي لتقديم براهين مختصرة لنظريات أساسية.

تنص نظرية التقارب الرتيب ( التي وصفها كورنر ^{[ 1 ]} بأنها البديهية الأساسية للتحليل ) على أن كل متتالية غير متناقصة ومحدودة من الأعداد الحقيقية تتقارب. ويمكن اعتبار ذلك حالة خاصة من خاصية الحد الأعلى الأدنى، ولكن يمكن أيضًا استخدامها بشكل مباشر لإثبات اكتمال كوشي للأعداد الحقيقية.

تنص نظرية بولزانو -ويرستراس على أن كل متتالية محدودة من الأعداد الحقيقية لها متتالية جزئية متقاربة . ومرة ​​أخرى، فإن هذه النظرية مكافئة لأشكال الاكتمال الأخرى المذكورة أعلاه.

تنص نظرية القيمة المتوسطة على أن كل دالة متصلة تأخذ قيمًا سالبة وموجبة لها جذر. هذه نتيجة لخاصية الحد الأعلى الأدنى، ولكن يمكن استخدامها أيضًا لإثبات خاصية الحد الأعلى الأدنى إذا اعتُبرت بديهية. (لا يعتمد تعريف الاتصال على أي شكل من أشكال الاكتمال، لذا لا يوجد تداخل: المقصود هو أن نظرية القيمة المتوسطة وخاصية الحد الأعلى الأدنى عبارتان متكافئتان).