بناء الأعداد الحقيقية

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$هو حقل يخضع لعمليتي الجمع والضرب. بعبارة أخرى،
   • لكل x و y و z في${\displaystyle \mathbb {R} }$x + ( y + z ) = ( x + y ) + z و x × ( y × z ) = ( x × y ) × z . ( خاصية التجميع في الجمع والضرب)
   • لكل x و y في${\displaystyle \mathbb {R} }$x + y = y + x و x × y = y × x . ( خاصية التبديل بين الجمع والضرب)
   • لكل x و y و z في${\displaystyle \mathbb {R} }$x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ). ( خاصية توزيع الضرب على الجمع)
   • لكل x في${\displaystyle \mathbb {R} }$، x + 0 = x . (وجود العنصر المحايد الجمعي )
   • 0 لا يساوي 1، ولكل x في${\displaystyle \mathbb {R} }$، x × 1 = x . (وجود العنصر المحايد الضربي)
   • لكل x في${\displaystyle \mathbb {R} }$يوجد عنصر − x في${\displaystyle \mathbb {R} }$، بحيث يكون x + ( − x ) = 0. (وجود المعكوسات الجمعية )
   • لكل x ≠ 0 في${\displaystyle \mathbb {R} }$يوجد عنصر x ^{− 1} في${\displaystyle \mathbb {R} }$، بحيث يكون x × x ^{− 1} = 1. (وجود المعكوسات الضربية)
2. ${\displaystyle \mathbb {R} }$تم طلبه بالكامل لـ${\displaystyle \leq }$. بعبارة أخرى،
   • لكل x في${\displaystyle \mathbb {R} }$، x ≤ x . ( انعكاسية )
   • لكل x و y في${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كان x ≤ y و y ≤ x ، فإن x = y . ( التناظر العكسي )
   • لكل x و y و z في${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كان x ≤ y و y ≤ z ، فإن x ≤ z . ( خاصية التعدي )
   • لكل x و y في${\displaystyle \mathbb {R} }$، x ≤ y أو y ≤ x . ( الكل )
3. الجمع والضرب متوافقان مع الترتيب. بعبارة أخرى،
   • لكل x و y و z في${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كان x ≤ y ، فإن x + z ≤ y + z . (حفظ الترتيب تحت الجمع)
   • لكل x و y في${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كان 0 ≤ x و 0 ≤ y ، فإن 0 ≤ x × y (حفظ الترتيب تحت الضرب)
4. يكون الترتيب ≤ كاملاً بالمعنى التالي: كل مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} }$الدالة المحدودة من الأعلى لها حد أعلى أدنى . بعبارة أخرى،
   • إذا كانت A مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} }$وإذا كان لـ A حد أعلى في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ثم يكون لـ A حد أعلى أصغر u ، بحيث يكون لكل حد أعلى v لـ A ، u ≤ v .

قدّم ألفريد تارسكي صياغة بديهية تركيبية بديلة للأعداد الحقيقية وحساباتها ، تتألف فقط من البديهيات الثمانية الموضحة أدناه وأربعة مفاهيم أولية فقط : مجموعة تسمى الأعداد الحقيقية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {R} }$، علاقة ثنائية على${\displaystyle \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم الترتيب ، ويُرمز إليه بالمعامل الوسطي <، وهو عملية ثنائية على${\displaystyle \mathbb {R} }$تسمى عملية الجمع ، ويرمز لها بالمعامل الوسطي +، والثابت 1.

بديهيات النظام (العناصر الأولية:${\displaystyle \mathbb {R} }$, <):

البديهية 1. إذا كان x < y ، فإن y ليس < x . أي أن "<" علاقة غير متناظرة .

المسلّمة الثانية : إذا كان x  < z ، فإنه يوجد y بحيث يكون x < y و y < z . بعبارة أخرى، "<" كثيف في     ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

البديهية 3. "<" كاملة وفقًا لقانون ديديكيند . بتعبير أدق، لكل X ، Y ⊆   ${\displaystyle \mathbb {R} }$، إذا كان لكل x  ∈ X و y ∈ Y ، x < y ، فإنه يوجد z بحيث أنه لكل x ∈ X و y ∈ Y ، إذا كان z ≠ x و z ≠ y ، فإن x < z و z < y .                 

لتوضيح العبارة السابقة إلى حد ما، ليكن X  ⊆ ${\displaystyle \mathbb {R} }$و Y  ⊆ ${\displaystyle \mathbb {R} }$سنقوم الآن بتعريف فعلين إنجليزيين شائعين بطريقة خاصة تناسب غرضنا:

يسبق X العنصر Y إذا وفقط إذا كان لكل x ∈ X ولكل y ∈ Y ، فإن x < y .      

يفصل العدد الحقيقي z بين X و Y إذا وفقط إذا كان لكل x ∈ X حيث x ≠ z ولكل y ∈ Y حيث y ≠ z ، x < z و z < y .            

ويمكن صياغة البديهية الثالثة على النحو التالي:

"إذا سبقت مجموعة من الأعداد الحقيقية مجموعة أخرى من الأعداد الحقيقية، فإنه يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد يفصل بين المجموعتين."

بديهيات الجمع (العناصر الأولية:${\displaystyle \mathbb {R} }$, <, +):

اكسيوم 4 . x  +  ( y  + z ) = ( x + z ) + y .       

البديهية 5. لكل x و y ، يوجد z بحيث يكون x  + z = y .   

البديهية 6. إذا كان x  + y < z + w ، فإن x < z أو y < w .         

بديهيات واحدة (العناصر الأولية:${\displaystyle \mathbb {R} }$, <, +, 1):

البديهية 7.1  ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

البديهية 8. 1  <  1  +  1.

تشير هذه البديهيات إلى أن${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة أبيلية مرتبة خطيًا تحت عملية الجمع مع عنصر مميز 1.${\displaystyle \mathbb {R} }$وهي أيضًا كاملة من حيث ديديكيند وقابلة للقسمة .

ليكن R مجموعة متتابعات كوشي للأعداد النسبية . أي، المتتابعات

من الأعداد النسبية بحيث أنه لكل عدد نسبي ε > 0 ، يوجد عدد صحيح N بحيث أنه لكل عددين طبيعيين m و n > N ، يكون | x_{_m} - x_{_n} | < ε . هنا، تشير الخطوط الرأسية إلى القيمة المطلقة.

يمكن جمع وضرب متتابعات كوشي ( x _n ) و ( y _n ) على النحو التالي:

يُقال أن متتابعتين من نوع كوشي ( x _n ) و ( y _n ) متكافئتان إذا وفقط إذا كان الفرق بينهما يؤول إلى الصفر؛ أي أنه لكل عدد نسبي ε > 0 ، يوجد عدد صحيح N بحيث يكون لكل الأعداد الطبيعية n > N ، يكون | x _n − y _n | < ε .

وهذا يحدد علاقة تكافؤ متوافقة مع العمليات المحددة أعلاه، ويمكن إثبات أن المجموعة R لجميع فئات التكافؤ تفي بجميع بديهيات الأعداد الحقيقية .${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن اعتبارها مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} }$عن طريق تحديد عدد نسبي r مع فئة التكافؤ لمتتالية كوشي ( r , r , r , ...) .

يتم الحصول على المقارنة بين الأعداد الحقيقية من خلال تعريف المقارنة التالية بين متتابعات كوشي: ( x _n ) ≥ ( y _n ) إذا وفقط إذا كان x مكافئًا لـ y أو يوجد عدد صحيح N بحيث يكون x _n ≥ y _n لجميع n > N.

بحسب التعريف، يُمكن تمثيل كل عدد حقيقي x بمتتالية كوشي من الأعداد النسبية. هذا التمثيل ليس فريدًا؛ فكل متتالية نسبية تتقارب إلى x هي متتالية كوشي تمثل x . وهذا يعكس الملاحظة القائلة بأنه يُمكن غالبًا استخدام متتاليات مختلفة لتقريب نفس العدد الحقيقي. ^{[ 5 ]}

البديهية الوحيدة للأعداد الحقيقية التي لا تُستنتج بسهولة من التعريفات هي اكتمال ≤ ، أي خاصية الحد الأعلى الأدنى . ويمكن إثباتها كما يلي: ليكن S مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} '}$ولتكن U حدًا أعلى لـ S. وباستبدال قيمة أكبر إذا لزم الأمر، يمكننا افتراض أن U عدد نسبي. وبما أن S غير فارغة، يمكننا اختيار عدد نسبي L بحيث يكون L < s لبعض s في S. الآن ، نُعرّف متتاليات الأعداد النسبية ( un ₎ و ( ln ₎ كما يلي:

لنفترض أن _u₀ = U و l₀ = L. لكل n ، _نعتبر العدد mₙ = ( un ₊ lₙ ₎ /2 . إذا كان _{mₙ حدًا} أعلى لـ S ، فلنفترض أن unₙ + _{1 =} mₙ و lₙ + ₁ = _lₙ . _وإلا فلنفترض _أن lₙ _{+ 1} = mₙ و _unₙ + _{1 =} unₙ _.

يُعرّف هذا متتاليتين من الأعداد النسبية من نوع كوشي، وبالتالي العددين الحقيقيين l = ( _ln ) _و u = ( un _{) . من السهل} إثبات، بالاستقراء على n، أن un حدٌّ أعلى لـ S لجميع قيم n، وأن ln ليس حدًّا أعلى لـ S أبدًا لأي قيمة n .

إذن، u حدٌّ أعلى لـ S. ولإثبات أنه أصغر حدٍّ أعلى، لاحظ أن نهاية (un - ln ) تساوي صفرًا ، وبالتالي _l = u . الآن ، لنفترض أن b < u = l حدٌّ أعلى أصغر لـ S. بما أن ( ln ₎ دالة متزايدة رتيبة، فمن السهل إثبات أن b < ln لبعض قيم n _. لكن ln ليس حدًّا أعلى لـ S، _{وبالتالي} b ليس كذلك أيضًا . _ومن ثم، u هو أصغر حدٍّ أعلى لـ S، و ≤ كامل.

يمكن ترجمة الترميز العشري المعتاد إلى متتابعات كوشي بطريقة طبيعية. على سبيل المثال، يعني الترميز π = 3.1415... أن π هي فئة التكافؤ لمتتابعة كوشي (3، 3.1، 3.14، 3.141، 3.1415، ...) . وتنص المعادلة 0.999... = 1 على أن المتتابعتين (0، 0.9، 0.99، 0.999، ...) و (1، 1، 1، 1، ...) متكافئتان، أي أن الفرق بينهما يتقارب إلى الصفر .

من مزايا البناء${\displaystyle \mathbb {R} }$مع اكتمال${\displaystyle \mathbb {Q} }$تكمن الميزة في إمكانية استخدام هذه الطريقة لإكمال أي فضاء متري، ببساطة عن طريق الاستبدال في كل مكان .${\displaystyle |xy|}$مع​​${\displaystyle d(x,y)}$، حيث​${\displaystyle d}$يرمز إلى مسافة الفضاء المتري. وعلى وجه الخصوص، يمكن تعريف حقول الأعداد p -adic على أنها إكمال الأعداد النسبية بالنسبة إلى القيم المطلقة الأخرى، أي القيم المطلقة p -adic .

القطع ديديكيند في حقل مرتب هو تجزئة له، ( A , B )، بحيث يكون A غير فارغ ومغلقًا من الأسفل، ويكون B غير فارغ ومغلقًا من الأعلى، ولا يحتوي A على أكبر عنصر . يمكن بناء الأعداد الحقيقية كقطع ديديكيند للأعداد النسبية. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ولتسهيل الأمر، قد نختار المجموعة السفلية${\displaystyle A\,}$كممثل لأي نسخة معينة من ديديكيند${\displaystyle (A,B)\,}$، منذ${\displaystyle A}$يحدد بشكل كامل${\displaystyle B}$وبذلك، يمكننا أن نتصور بشكل بديهي أن العدد الحقيقي يُمثَّل بمجموعة جميع الأعداد النسبية الأصغر منه. بتفصيل أكثر، العدد الحقيقي${\displaystyle r}$هي أي مجموعة جزئية من المجموعة${\displaystyle {\textbf {Q}}}$من الأعداد النسبية التي تحقق الشروط التالية: ^{[ 8 ]}

1. ${\displaystyle r}$ليس فارغًا
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$
3. ${\displaystyle r}$مغلق من الأعلى إلى الأسفل. بعبارة أخرى، للجميع${\displaystyle x,y\in {\textbf {Q}}}$بحيث${\displaystyle x<y}$، لو${\displaystyle y\in r}$ثم${\displaystyle x\in r}$
4. ${\displaystyle r}$لا يحتوي على عنصر أعظم. بعبارة أخرى، لا يوجد${\displaystyle x\in r}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle y\in r}$،${\displaystyle y\leq x}$

• نحن نشكل المجموعة${\displaystyle {\textbf {R}}}$من الأعداد الحقيقية كمجموعة جميع قطع ديديكيند${\displaystyle A}$ل${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ونعرّف ترتيبًا كليًا للأعداد الحقيقية على النحو التالي:${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• نُضمّن الأعداد النسبية في الأعداد الحقيقية عن طريق تحديد العدد النسبي${\displaystyle q}$مع مجموعة جميع الأعداد النسبية الأصغر${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$[ ^{8 ]} بما أن الأعداد النسبية كثيفة ، فإن مثل هذه المجموعة لا يمكن أن ^تحتوي على عنصر أكبر وبالتالي تحقق الشروط اللازمة لكونها عددًا حقيقيًا كما هو موضح أعلاه.
• إضافة .${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$^{[ 8 ]}
• الطرح .${\displaystyle AB:=\{ab:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$أين${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$يشير إلى المكمل النسبي لـ${\displaystyle B}$في${\displaystyle {\textbf {Q}}}$،${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$
• النفي هو حالة خاصة من الطرح:${\displaystyle -B:=\{ab:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
• تعريف عملية الضرب ليس بالأمر البسيط. ^{[ 8 ]}
  • لو${\displaystyle A,B\geq 0}$ثم${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • إذا كان أي منهما${\displaystyle A\,}$أو${\displaystyle B\,}$إذا كانت القيمة سالبة، فإننا نستخدم المتطابقات${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$لتحويل${\displaystyle A\,}$و/أو${\displaystyle B\,}$إلى أعداد موجبة ثم تطبيق التعريف أعلاه.
• نُعرّف القسمة بطريقة مماثلة:
  • لو${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ and }}B>0}$ثم${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • إذا كان أي منهما${\displaystyle A\,}$أو${\displaystyle B\,}$إذا كانت القيمة سالبة، فإننا نستخدم المتطابقات${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$لتحويل${\displaystyle A\,}$إلى عدد غير سالب و/أو${\displaystyle B\,}$إلى عدد موجب ثم تطبيق التعريف أعلاه.
• الحد الأعلى . إذا كانت المجموعة غير فارغة${\displaystyle S}$هل يوجد حد أعلى لعدد الأعداد الحقيقية في${\displaystyle {\textbf {R}}}$إذن، يكون لها حد أعلى أدنى في${\displaystyle {\textbf {R}}}$هذا يساوي${\displaystyle \bigcup S}$[ ^{8 ]​}

كمثال على قطع ديديكيند الذي يمثل عددًا غير نسبي ، يمكننا أخذ الجذر التربيعي الموجب للعدد 2. ويمكن تعريف ذلك بواسطة المجموعة${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$[ ^{9 ]} يتضح من التعريفات أعلاه ^أن${\displaystyle A}$هو عدد حقيقي، وهذا${\displaystyle A\times A=2\,}$ومع ذلك، فإن كلا الادعاءين ليسا فوريين. مما يدل على ذلك${\displaystyle A\,}$يتطلب إثبات أن الحقيقة هي${\displaystyle A}$ليس له عنصر أعظم، أي أنه لأي عدد نسبي موجب${\displaystyle x\,}$مع${\displaystyle x\times x<2\,}$هناك منطق${\displaystyle y\,}$مع${\displaystyle x<y\,}$و${\displaystyle y\times y<2\,.}$الخيار${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$يعمل. ثم. ${\displaystyle A\times A\leq 2}$لكن إثبات المساواة يتطلب إثبات أنه إذا${\displaystyle r\,}$أي عدد نسبي مع${\displaystyle r<2\,}$ثم هناك جانب إيجابي${\displaystyle x\,}$في${\displaystyle A}$مع${\displaystyle r<x\times x\,}$.

تتمثل إحدى مزايا هذا البناء في أن كل عدد حقيقي يقابل قطعًا فريدًا. علاوة على ذلك، من خلال تخفيف الشرطين الأولين لتعريف القطع، يمكن الحصول على نظام الأعداد الحقيقية الموسع عن طريق ربط${\displaystyle -\infty }$مع المجموعة الفارغة و${\displaystyle \infty }$مع كل${\displaystyle {\textbf {Q}}}$.

كما هو الحال في الأعداد الحقيقية الفائقة ، يتم بناء الأعداد النسبية الفائقة${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية باستخدام مرشح فائق . ^{[ 10 ]} هنا، العدد النسبي الفائق هو، بحسب التعريف، نسبة عددين صحيحين فائقين . لننظر إلى الحلقة${\displaystyle B}$من بين جميع العناصر المحدودة (أي المحدودة) في${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$. ثم${\displaystyle B}$يتمتع بمثالية قصوى فريدة${\displaystyle I}$، الأعداد النسبية الفائقة المتناهية الصغر . حلقة القسمة${\displaystyle B/I}$يعطي المجال${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية. ^{[ 11 ]} يستخدم هذا البناء مرشحًا فائقًا غير رئيسي على مجموعة الأعداد الطبيعية، والذي يضمن وجوده بديهية الاختيار .

ويتضح أن المثال الأقصى يحترم الترتيب على${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$وبالتالي، فإن الحقل الناتج هو حقل مرتب. ويمكن إثبات اكتماله بطريقة مشابهة للبناء من متتاليات كوشي.

يمكن تضمين كل حقل مرتب في الأعداد السريالية . تشكل الأعداد الحقيقية حقلاً فرعياً أقصى أرخميدياً (أي أنه لا يوجد عدد حقيقي كبير جداً أو صغير جداً). هذا التضمين ليس فريداً، مع أنه يمكن اختياره بطريقة قياسية.

يسمح بناء أقل شهرة نسبيًا بتعريف الأعداد الحقيقية باستخدام المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة فقط${\displaystyle \mathbb {Z} }$مع وجود نسخ مختلفة. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} يشير أرثان (2004) ، الذي ينسب هذا البناء إلى عمل غير منشور لستيفن شانيل ، إلى هذا البناء باسم " أعداد إيدوكسوس الحقيقية" ، نسبةً إلى عالم الفلك والرياضيات اليوناني القديم إيدوكسوس الكنيدي . وكما لاحظ شينيتزر (1987) وأرثان (2004) ، فإن معالجة إيدوكسوس للكمية باستخدام سلوك النسب أصبحت أساسًا لهذا البناء. وقد تم التحقق رسميًا من أن هذا البناء يُعطي حقلًا مرتبًا كاملًا من نوع ديديكيند بواسطة مشروع IsarMathLib. ^{[ 15 ]}

ليكن تطبيقًا شبه متماثل${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$بحيث تكون المجموعة${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$محدود (أو ما يعادله،${\displaystyle f(n+m)-f(m)-f(n)}$(محدود). (لاحظ أن${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$هو تماثل شبه تام لكل${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.) تشكل التشاكلات التقريبية زمرة تبديلية تحت عملية الجمع النقطي. نقول إن تشاكلين تقريبيين${\displaystyle f,g}$تكون متساوية تقريبًا إذا كانت المجموعة${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$محدود (أو ما يعادله،${\displaystyle f(n)-g(n)}$(محدود). يُعرّف هذا علاقة تكافؤ على مجموعة التشاكلات التقريبية. تُعرّف الأعداد الحقيقية على أنها فئات التكافؤ لهذه العلاقة. بدلاً من ذلك، تُشكّل التشاكلات التقريبية التي تأخذ عددًا محدودًا من القيم زمرة جزئية، والزمرة الجمعية الأساسية للعدد الحقيقي هي زمرة القسمة . لجمع الأعداد الحقيقية المُعرّفة بهذه الطريقة، نجمع التشاكلات التقريبية التي تُمثّلها. يُقابل ضرب الأعداد الحقيقية التركيب الوظيفي للتشاكلات التقريبية. إذا${\displaystyle [f]}$يرمز إلى العدد الحقيقي الذي يمثله تماثل شبهي${\displaystyle f}$نقول ذلك${\displaystyle 0\leq [f]}$لو${\displaystyle f}$محدود أو${\displaystyle f}$تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم الموجبة على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$(بمعنى آخر،${\displaystyle 0<[f]}$لو${\displaystyle f}$(ليس لها حد أعلى). وهذا يُحدد علاقة الترتيب الخطي على مجموعة الأعداد الحقيقية التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة.

كتب فالتين وآخرون (1975) : "قلما خضعت بنى رياضية للعديد من المراجعات أو تم تقديمها بأشكال متعددة مثل الأعداد الحقيقية. كل جيل يعيد فحص الأعداد الحقيقية في ضوء قيمها وأهدافها الرياضية." ^{[ 16 ]}

وقد تم تقديم عدد من الصيغ الأخرى، من قبل:

• دي بروين (1976) ، دي بروين (1977)
• ريجر (1982)
• كنوبفماخر وكنوبفماخر (1987) ، كنوبفماخر وكنوبفماخر (1988)

للحصول على نظرة عامة، انظر Weiss (2015) .

كما لاحظ أحد المراجعين: "التفاصيل كلها مذكورة، ولكن كالعادة فهي مملة وغير مفيدة للغاية." ^{[ 17 ]}