دالة دلتا

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر التماثلي ، يُعرَّف المؤثر دلتا بين فئتين أبيليتيتين A و B بأنه مجموعة من المؤثرات من A إلى B ، بالإضافة إلى مجموعة من التشكلات التي تُعمِّم خصائص المؤثرات المشتقة . أما المؤثر دلتا الشامل فهو مؤثر دلتا يُحقق خاصية شاملة محددة تتعلق بتمديد التشكلات إلى ما بعد الدرجة الصفرية. وقد قدّم ألكسندر غروتينديك هذه المفاهيم في بحثه " ورقة توهوكو " لتوفير إطار مناسب للمؤثرات المشتقة. [ 1 ] وعلى وجه الخصوص، تُعد المؤثرات المشتقة مؤثرات دلتا شاملة.

يُستخدم مصطلحا "الدالة دلتا المتماثلة" و "الدالة دلتا المتماثلة المشتركة" أحيانًا للتمييز بين الحالة التي "تنخفض" فيها التشكلات ( متماثلة ) والحالة التي "ترتفع" فيها ( متماثلة ). وعلى وجه الخصوص، يكون أحد هذين المُعدِّلين ضمنيًا دائمًا، وإن كان غالبًا ما يُترك دون ذكر.

تعريف

بالنظر إلى فئتين أبيليتين A و B، فإن الدالة التغايرية المتماثلة δ بين A و B هي عائلة { T n } من الدوال الجمعية التغايرية T n : A → B المفهرسة بالأعداد الصحيحة غير السالبة ، ولكل متتالية تامة قصيرة 

0→م′→م→م′′→0{\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}

عائلة من التشكلات

دلتان:تين(م′′)→تين+1(م′){\displaystyle \delta ^{n}:T^{n}(M^{\prime \prime })\rightarrow T^{n+1}(M^{\prime })}

مفهرسة بالأعداد الصحيحة غير السالبة التي تحقق الخاصيتين التاليتين:

  1. لكل متتالية تامة قصيرة كما هو موضح أعلاه، توجد متتالية تامة طويلة
  2. لكل تشاكل من المتتاليات التامة القصيرة

    ولكل قيمة غير سالبة لـ n ، يكون المربع المستحث

    هي تبادلية (δ n في الأعلى هو الذي يتوافق مع التسلسل التام القصير لـ M بينما يتوافق الموجود في الأسفل مع التسلسل التام القصير لـ N ).

تُعبّر الخاصية الثانية عن خاصية دالة المؤثر δ. يشير المُعدِّل "التماثلي المشترك" إلى أن δn يرفع الدليل على T. يُعرَّف المؤثر δ المتماثل المتغير بين A وB بشكل مماثل (ويستخدم عادةً الرموز السفلية)، ولكن مع δn تشاكل Tn ( M ' ' ) → Tn - 1 ( M ' ) . يمكن أيضًا تعريف مفهومي المؤثر δ المتماثل المتغير عكسيًا بين A و B والمؤثر δ المتماثل المتغير عكسيًا بين A و B عن طريق "عكس الأسهم" وفقًا لذلك.

مورفولوجيات الدوال دلتا

التشاكل بين الدوال دلتا هو عائلة من التحويلات الطبيعية التي، لكل متتالية تامة قصيرة، تتبادل مع التشاكلات دلتا. على سبيل المثال، في حالة دالتين دلتا متماثلتين متغايرتين يُرمز لهما بـ S و T ، فإن التشاكل من S إلى T هو عائلة F <sub>n</sub>  : S <sub>n</sub> → T<sub> n</sub> من التحويلات الطبيعية بحيث أنه لكل متتالية تامة قصيرة

0→م′→م→م′′→0{\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}

المخطط التالي يتبادل:

دالة دلتا العالمية

تتميز الدالة دلتا الشاملة بالخاصية الشاملة التي تُكافئ إعطاء تشاكل F منها إلى أي دالة دلتا أخرى (بين A و B ) بإعطاء F ≠ 0. إذا كانت S دالة دلتا متغايرة متماثلة بين A و B ، فإن S شاملة إذا أُعطيت أي دالة دلتا أخرى (متغايرة متماثلة) T (بين A و B )، وأُعطيت أي تحويل طبيعي

F0:S0→تي0{\displaystyle F_{0}:S^{0}\rightarrow T^{0}}

يوجد تسلسل فريد F n مفهرس بالأعداد الصحيحة الموجبة بحيث تكون العائلة { F n } n ≥ 0 عبارة عن تشاكل للدوال δ.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • Grothendieck، Alexander (1957)، “Sur quelques point d’algèbre Homologique”، مجلة توهوكو الرياضية ، السلسلة الثانية، 9 ( 2–3 )، MR 0102537