التصنيف الأبلي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الفئة الأبيلية هي فئة يمكن فيها إضافة التشكلات والكائنات ، وفيها توجد النوى والنوى المساعدة ولها خصائص مرغوبة.

المثال النموذجي المحفز للفئة الأبيلية هو فئة المجموعات الأبيلية ، Ab .

تُعدّ الفئات الأبيلية فئات مستقرة للغاية ؛ فهي، على سبيل المثال، منتظمة وتُحقق مبرهنة الثعبان . وتُعتبر فئة الفئات الأبيلية مغلقة تحت العديد من البنى الفئوية، فعلى سبيل المثال، تُعتبر فئة مُركّبات السلاسل لفئة أبيلية، أو فئة الدوال من فئة صغيرة إلى فئة أبيلية، فئات أبيلية أيضًا. وتجعل خصائص الاستقرار هذه منها عنصرًا لا غنى عنه في الجبر التماثلي وما وراءه؛ إذ تُطبّق هذه النظرية على نطاق واسع في الهندسة الجبرية ، وعلم التماثل، ونظرية الفئات البحتة .

يقول ساوندرز ماك لين [ 1 ] أن ألكسندر غروتينديك [ 2 ] قد حدد الفئات الأبيلية في عام 1957، ولكن هناك مرجع [ 3 ] يقول إن تلميذ صموئيل إيلنبرغ ، ديفيد بوكسباوم ، قد اقترح المفهوم في أطروحته للدكتوراه عام 1955، [ 4 ] وقام غروتينديك بتعميمه تحت اسم "الفئة الأبيلية".

التعريفات

تكون الفئة تبديلية إذا كانت قابلة للجمع المسبق و

هذا التعريف يعادل [ 5 ] التعريف "الجزئي" التالي:

تجدر الإشارة إلى أن البنية المُثرية على مجموعات التماثل هي نتيجة للبديهيات الثلاث الأولى من التعريف الأول. وهذا يُبرز الأهمية التأسيسية لفئة الزمر الأبيلية في النظرية وطبيعتها الأساسية.

ينشأ مفهوم المتتالية التامة بشكل طبيعي في هذا السياق، ويتضح أن الدوال التامة ، أي الدوال التي تحافظ على المتتاليات التامة بمعانٍ مختلفة، هي الدوال ذات الصلة بين الفئات الأبيلية. وقد تم وضع هذا المفهوم التام في بديهيات نظرية الفئات التامة ، ليشكل حالة خاصة جدًا من الفئات المنتظمة .

أمثلة

بديهيات غروتينديك

في مقالته عن توهوكو ، ذكر غروتينديك أربع بديهيات إضافية (ومزدوجاتها) قد تستوفيها فئة أبيلية A. ولا تزال هذه البديهيات شائعة الاستخدام حتى يومنا هذا. وهي كالتالي:

ونظيراتهم

  • AB3*) لكل عائلة مفهرسة ( A i ) من كائنات A ، فإن المنتج P A i موجود في A (أي أن A كاملة ).
  • AB4*) A يحقق AB3*), وحاصل ضرب عائلة من التشكلات الشاملة هو تشكل شامل.
  • AB5*) A يحقق AB3*), والحدود المفلترة للتسلسلات الدقيقة تكون دقيقة.

كما تم تقديم البديهيتين AB1 وAB2. وهما ما يجعل الفئة الجمعية تبديلية. تحديداً:

  • AB1) كل مورفيزم له نواة ونواة مشتركة.
  • AB2) لكل تشاكل f ، يكون التشاكل القانوني من coim f إلى im f هو تشاكل .

كما قدم غروتينديك البديهيات AB6) و AB6*).

  • AB6) A تحقق AB3)، مع الأخذ في الاعتبار مجموعة من الفئات المفلترةأناج،ج∈ج{\displaystyle I_{j},j\in J}والدوالأج:أناج→{\displaystyle A_{j}:I_{j}\to }أ ، لدينا∏ج∈جليمأناجأج=ليمأناج،∀ج∈ج∏ج∈جأج{\displaystyle \prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}}، حيث تشير lim إلى الحد المشترك المُصفّى.
  • AB6*) A تحقق AB3*), وبافتراض مجموعة من الفئات المفلترة بشكل مشتركأناج،ج∈ج{\displaystyle I_{j},j\in J}والدوالأج:أناج→{\displaystyle A_{j}:I_{j}\to }أ ، لدينا∑ج∈جليمأناجأج=ليمأناج،∀ج∈ج∑ج∈جأج{\displaystyle \sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}}، حيث تشير lim إلى الحد المشترك للترشيح.

الخصائص الأولية

لأي زوج من العناصر A و B في فئة تبديلية، يوجد تشاكل صفري خاص من A إلى B. يمكن تعريف هذا التشاكل بأنه العنصر الصفري لمجموعة التشاكل Hom( A , B )، لأنها زمرة تبديلية. أو يمكن تعريفه بأنه التركيب الوحيد A → 0 → B ، حيث 0 هو العنصر الصفري للفئة التبديلية.

في الفئة الأبيلية، يمكن كتابة كل تشاكل f على أنه تركيب لتشاكل فوقي متبوع بتشاكل أحادي. يُسمى هذا التشاكل الفوقي الصورة المشتركة لـ f ، بينما يُسمى التشاكل الأحادي صورة f .

تُعتبر الكائنات الفرعية والكائنات الخارجة من القسمة كائنات منتظمة السلوك في الفئات الأبيلية. على سبيل المثال، فإن المجموعة المرتبة جزئياً للكائنات الفرعية لأي كائن معطى A هي شبكة محدودة .

كل فئة أبيلية A هي وحدة نمطية على الفئة المونيدية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا؛ أي أنه يمكننا تكوين جداء موتر لمجموعة أبيلية مولدة نهائيًا G وأي عنصر A من A. الفئة الأبيلية هي أيضًا وحدة نمطية مشتركة ؛ يمكن تفسير Hom( G , A ) على أنه عنصر من A. إذا كانت A كاملة ، فيمكننا إزالة شرط أن تكون G مولدة نهائيًا؛ وبشكل عام ، يمكننا تكوين نهايات مُثرية نهائية في A.

بالنظر إلى كائنأ{\displaystyle A}في فئة أبيلية، تشير التسطيح إلى فكرة أن-⊗أ{\displaystyle -\otimes A}هو دالة دقيقة . انظر إلى الوحدة النمطية المسطحة أو، لمزيد من العمومية، التشكل المسطح .

تُعدّ الفئات الأبيلية الإطار الأكثر عمومية للجبر التماثلي . جميع البنى المستخدمة في هذا المجال ذات صلة، مثل المتتاليات التامة، وخاصة المتتاليات التامة القصيرة ، والدوال المشتقة . تشمل النظريات المهمة التي تنطبق على جميع الفئات الأبيلية لِمّة الخمسة (ولِمّة الخمسة القصيرة كحالة خاصة)، بالإضافة إلى لِمّة الثعبان (ولِمّة التسعة كحالة خاصة).

الفئات الأبيلية شبه البسيطة

فئة أبيليةأ{\displaystyle \mathbf {A} }يُطلق عليه اسم شبه بسيط إذا كانت هناك مجموعة من الكائنات{Xأنا}أنا∈أنا∈ب(أ){\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}تُسمى الكائنات البسيطة (بمعنى الكائنات الفرعية الوحيدة لأيXأنا{\displaystyle X_{i}}هي الكائن الصفري0{\displaystyle 0}(ونفسه) بحيث يكون الكائنX∈ب(أ){\displaystyle X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}يمكن تحليلها كمجموع مباشر (يشير إلى الناتج المشترك للفئة الأبيلية)

X≅⨁أنا∈أناXأنا{\displaystyle X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}}

هذا الشرط التقني قوي للغاية ويستبعد العديد من الأمثلة الطبيعية للفئات الأبيلية الموجودة في الطبيعة. على سبيل المثال، معظم فئات الوحدات فوق حلقةR{\displaystyle R}ليست شبه بسيطة؛ في الواقع، هذا هو الحال إذا وفقط إذاR{\displaystyle R}هي حلقة شبه بسيطة .

أمثلة

بعض التصنيفات الأبيلية الموجودة في الطبيعة هي تصنيفات شبه بسيطة، مثل

  • فئة الفضاءات المتجهةمتجه(ك){\displaystyle {\text{Vect}}(k)}على حقل ثابتك{\displaystyle k}.
  • بحسب نظرية ماشكه، فإن فئة التمثيلاتمندوبك(جي){\displaystyle {\text{Rep}}_{k}(G)}من مجموعة منتهيةجي{\displaystyle G}فوق حقلك{\displaystyle k}الذي لم تقسمه سماته|جي|{\displaystyle |G|}هي فئة أبيلية شبه بسيطة.
  • تكون فئة الحزم المتماسكة على مخطط نوثري شبه بسيطة إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}هو اتحاد منفصل محدود لنقاط غير قابلة للاختزال. وهذا يكافئ الضرب المشترك المحدود لفئات فضاءات المتجهات على حقول مختلفة. إثبات صحة ذلك في الاتجاه الأمامي يكافئ إثبات كلخارجي1{\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}تختفي المجموعات، مما يعني أن البعد الكوهومولوجي يساوي صفرًا. يحدث هذا فقط عندما تنهار ناطحات السحابكx{\displaystyle k_{x}}في نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}لدينا فضاء زاريسكي المماسي يساوي صفرًا، وهو متماثل معخارجي1(كx،كx){\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})}باستخدام الجبر المحلي لمثل هذا المخطط. [ 7 ]

أمثلة مضادة

توجد بعض الأمثلة الطبيعية المضادة للفئات الأبيلية التي ليست شبه بسيطة، مثل فئات معينة من التمثيلات . على سبيل المثال، فئة تمثيلات زمرة لي(R،+){\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}لديه التمثيل

أ↦[1أ01]{\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}

والذي لا يحتوي إلا على تمثيل فرعي واحد للبعد1{\displaystyle 1}في الواقع، هذا صحيح بالنسبة لأي مجموعة أحادية القوة . [ 8 ]

الفئات الفرعية للفئات الأبيلية

هناك أنواع عديدة من الفئات الفرعية (الكاملة والإضافية) للفئات الأبيلية التي تحدث في الطبيعة، بالإضافة إلى بعض المصطلحات المتضاربة.

ليكن A فئة تبديلية، وC فئة فرعية كاملة وإضافية، و I دالة التضمين.

  • تُعتبر الفئة C فئةً فرعيةً تامةً إذا كانت هي نفسها فئةً تامةً وكان التضمين I دالةً تامةً . ويتحقق هذا إذا وفقط إذا كانت C مغلقةً تحت عمليات السحب العكسي للتشاكلات العليا وعمليات الدفع الخارجي للتشاكلات الأحادية. وبالتالي ، فإن المتتاليات التامة في C هي المتتاليات التامة في A التي تقع جميع عناصرها في C.
  • تُعتبر الفئة C فئةً فرعيةً أبيليةً إذا كانت هي نفسها فئةً أبيليةً وكان تضمينها I دالةً تامةً . ويتحقق ذلك فقط إذا كانت C مغلقةً تحت أخذ النوى والنوى المساعدة. تجدر الإشارة إلى وجود أمثلةٍ لفئاتٍ فرعيةٍ كاملةٍ من فئةٍ أبيليةٍ تكون أبيليةً في حد ذاتها، ولكن دالة التضمين فيها ليست تامةً، لذا فهي ليست فئاتٍ فرعيةً أبيليةً (انظر أدناه).
  • تُعتبر الفئة C فئة فرعية سميكة إذا كانت مغلقة تحت أخذ الحدود المباشرة وتُحقق خاصية 2 من 3 على المتتاليات التامة القصيرة؛ أي إذا0→م′→م→م"→0{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}هي متتالية تامة قصيرة في A بحيث يكون اثنان منم′،م،م"{\displaystyle M',M,M''}إذا كانت الفئة الثالثة تنتمي إلى C ، فإن الفئة الثالثة تنتمي إليها أيضًا. بعبارة أخرى، C مغلقة تحت نوى التشاكلات العليا، ونوى التشاكلات المشتركة، والامتدادات. تجدر الإشارة إلى أن بي. غابرييل استخدم مصطلح " الفئة الفرعية السميكة" لوصف ما نسميه هنا " الفئة الفرعية لسير" .
  • تُعتبر الفئة C فئة فرعية طوبولوجية إذا كانت مغلقة تحت الفئات الفرعية .
  • تُعتبر الفئة C فئة فرعية من فئات سير إذا، بالنسبة لجميع المتتاليات التامة القصيرة0→م′→م→م"→0{\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}في A لدينا M في C إذا وفقط إذا كان كلاهمام′،م"{\displaystyle M',M''}تقع هذه الفئات الفرعية في C. بعبارة أخرى، C مغلقة تحت الامتدادات والفئات الجزئية . هذه الفئات الفرعية هي تحديدًا نوى الدوال التامة من A إلى فئة أبيلية أخرى.
  • تُعتبر الفئة C فئة فرعية موضعية إذا كانت فئة فرعية من نوع Serre بحيث يكون مُعامل القسمةسؤال:أ→أ/ج{\displaystyle Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C} }يقبل مكملًا أيمنًا .
  • يوجد مفهومان متنافسان للفئة الفرعية الواسعة. أحدهما يقول إن C تحتوي على كل عنصر من A (حتى التشاكل)؛ وهذا بالطبع غير مهم بالنسبة للفئة الفرعية الكاملة. (وتُسمى هذه الفئة أيضًا فئة فرعية lluf ). أما المفهوم الآخر فيقول إن C مغلقة تحت الامتدادات.

إليك مثال واضح على فئة فرعية كاملة وإضافية لفئة تبديلية هي نفسها تبديلية ولكن دالة التضمين ليست تامة. ليكن k حقلاً،تين{\displaystyle T_{n}}جبر المثلثات العليان×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفات على k ، وأن{\displaystyle \mathbf {A} _{n}}فئة الأبعاد المحدودةتين{\displaystyle T_{n}}-الوحدات. ثم كلأن{\displaystyle \mathbf {A} _{n}}هي فئة تبديلية ولدينا دالة تضمينأنا:أ2→أ3{\displaystyle I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}}تحديد الوحدات الإسقاطية البسيطة، والوحدات الحقنية البسيطة، والوحدات الإسقاطية الحقنية غير القابلة للتحليل. الصورة الأساسية لـ I هي فئة فرعية كاملة وإضافية، لكن I ليست دقيقة.

تاريخ

قدّم بوخسباوم [ 4 ] (تحت مسمى "الفئة التامة") وغروتينديك [ 2 ] الفئات الأبيلية بهدف توحيد نظريات التماثل المختلفة. في ذلك الوقت، كانت هناك نظرية تماثل للحزم ، ونظرية تماثل للمجموعات . عُرّفت النظريتان بشكل مختلف، لكنهما امتلكتا خصائص متشابهة. في الواقع، طُوّر جزء كبير من نظرية الفئات كلغة لدراسة هذه التشابهات. وحّد غروتينديك النظريتين: إذ تنشأ كلتاهما كدوال مشتقة على الفئات الأبيلية؛ الفئة الأبيلية لحزم المجموعات الأبيلية على فضاء طوبولوجي، والفئة الأبيلية لوحدات G لمجموعة معينة G.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • بورسو، فرانسيس (1994). دليل الجبر الفئوي 2: الفئات والبنى . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  51. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-44179-7.