شجرة النسب (نظرية الزمر)

في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية الزمر ، شجرة السلالات هي بنية هرمية تُصوّر علاقات الأصل والسلالات بين فئات التشاكل للزمر المنتهية ذات رتبة القوة الأولية${\displaystyle p^{n}}$، لعدد أولي ثابت${\displaystyle p}$وأسس صحيحة متغيرة${\displaystyle n\geq 0}$تُسمى هذه المجموعات باختصار مجموعات p المنتهية . رؤوس شجرة السلالة هي فئات تماثل لمجموعات p المنتهية .

بالإضافة إلى طلبهم${\displaystyle p^{n}}$تمتلك المجموعات p المنتهية ثابتين آخرين مرتبطين، وهما فئة انعدام القوة.${\displaystyle c}$والفئة الفرعية${\displaystyle r=nc}$اتضح أن الأشجار المنحدرة من نوع معين، ما يسمى بأشجار الفئة المشتركة المقلمة التي تشترك رؤوسها التي لا نهائية في فئة مشتركة واحدة${\displaystyle r}$تكشف هذه الخصائص عن نمط محدود متكرر. تسمح هاتان الخاصيتان الأساسيتان، وهما المحدودية والدورية ، بتوصيف جميع عناصر الشجرة بواسطة عدد محدود من التمثيلات المُعَلمة . ونتيجةً لذلك، تلعب الأشجار المنحدرة دورًا أساسيًا في تصنيف الزمر p المحدودة . وباستخدام نوى وأهداف تحويلات آرتين التحويلية ، يمكن تزويد الأشجار المنحدرة ببنية إضافية.

أحد الأسئلة المهمة هو كيف تتطور شجرة النسب؟${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$يمكن في الواقع إنشاء مجموعة بداية معينة يتم اعتبارها الجذر${\displaystyle R}$من الشجرة. خوارزمية توليد الزمرة p هي عملية تكرارية لبناء شجرة النسل لزمرة p منتهية معطاة ، والتي تلعب دور جذر الشجرة. تُطبَّق هذه الخوارزمية في أنظمة الجبر الحسابي GAP و Magma .

وفقًا لـ إم إف نيومان، ^{[ 1 ]} توجد عدة تعريفات متميزة للوالد${\displaystyle \pi (G)}$من مجموعة p منتهية${\displaystyle G}$المبدأ المشترك هو تكوين ناتج القسمة${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ل${\displaystyle G}$بواسطة مجموعة فرعية طبيعية مناسبة${\displaystyle N\triangleleft G}$والتي يمكن أن تكون إما

P

1. المركز​${\displaystyle N=\zeta _{1}(G)}$ل${\displaystyle G}$ومن ثم${\displaystyle \pi (G)=G/\zeta _{1}(G)}$يُطلق عليه اسم حاصل القسمة المركزي لـ${\displaystyle G}$، أو
2. الحد الأخير غير التافه${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)}$من السلسلة المركزية السفلية لـ${\displaystyle G}$، أين${\displaystyle c}$يشير إلى فئة انعدام القوة لـ${\displaystyle G}$، أو
3. الحد الأخير غير التافه${\displaystyle N=P_{c-1}(G)}$من السلسلة المركزية ذات الأس الأدنى p${\displaystyle G}$، أين${\displaystyle c}$يشير إلى فئة الأس p من${\displaystyle G}$، أو
4. الحد الأخير غير التافه${\displaystyle N=G^{(d-1)}}$من السلسلة المشتقة من${\displaystyle G}$، أين${\displaystyle d}$يشير إلى الطول المشتق لـ${\displaystyle G}$.

في كل حالة،${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم سليل مباشر لـ${\displaystyle \pi (G)}$ويتم تعريف الحافة الموجهة للشجرة إما بواسطة${\displaystyle G\to \pi (G)}$في اتجاه الإسقاط المتعارف عليه${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$على ناتج القسمة${\displaystyle \pi (G)=G/N}$أو عن طريق${\displaystyle \pi (G)\to G}$في الاتجاه المعاكس، وهو الأكثر شيوعًا في أشجار النسب. وقد اعتمد كلٌّ من سي آر ليدهام-غرين وإم إف نيومان ^{[ 2 ]} ، وإم دو سوتوي ودي سيغال ^{[ 3 ]} ، وسي آر ليدهام-غرين وإس مكاي ^{[ 4 ]،} وبي إيك وسي آر ليدهام-غرين وإم إف نيومان وإي إيه أوبراين ^{[ 5 ]} ، التعريف الأول. أما التعريف الثاني فقد استخدمه إم إف نيومان ^{[ 1 ]} ، وإم إف نيومان وإي إيه أوبراين ^{[ 6 ]} ، وإم دو سوتوي ^{[ 7 ]} ، وبي إيك وسي آر ليدهام-غرين ^{[ 8 ] .}

فيما يلي، يتم تحديد اتجاه الإسقاطات الأساسية لجميع الحواف. ثم، بشكل عام، رأس${\displaystyle R}$هو سليل رأس${\displaystyle P}$، و${\displaystyle P}$هو أحد أسلاف${\displaystyle R}$، إن كان أي منهما${\displaystyle R}$يساوي${\displaystyle P}$أو يوجد مسار

${\displaystyle (1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$، مع${\displaystyle m\geq 1}$،

من الحواف الموجهة من${\displaystyle R}$ل${\displaystyle P}$تتطابق الرؤوس التي تشكل المسار بالضرورة مع الآباء المتكررين${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$ل${\displaystyle R}$، مع${\displaystyle 0\leq j\leq m}$:

${\displaystyle (2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$، مع${\displaystyle m\geq 1}$،

في الحالة الخاصة الأكثر أهمية (P2) للآباء الذين تم تعريفهم على أنهم آخر نواتج القسمة المركزية السفلية غير التافهة، يمكن أيضًا اعتبارهم نواتج القسمة المتتالية.${\displaystyle R/\gamma _{c+1-j}(R)}$من فئة${\displaystyle cj}$ل${\displaystyle R}$عندما تكون فئة انعدام القوة لـ${\displaystyle R}$يُعطى بواسطة${\displaystyle c\geq m}$:

${\displaystyle (3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P}$، مع${\displaystyle c\geq m\geq 1}$.

بشكل عام، شجرة النسب${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$رأس${\displaystyle G}$هي الشجرة الفرعية لجميع أحفاد${\displaystyle G}$، بدءًا من الجذر${\displaystyle G}$شجرة النسب القصوى الممكنة${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$من المجموعة التافهة${\displaystyle 1}$تحتوي على جميع الزمر p المنتهية وهي استثنائية إلى حد ما، لأنه لأي تعريف أصلي (P1–P4)، فإن الزمرة التافهة${\displaystyle 1}$يحتوي على عدد لا نهائي من الزمر الأبيلية من الرتبة p كأحفاد مباشرين له. تتميز التعريفات الأصلية (P2-P3) بميزة أن أي زمرة منتهية غير تافهة من الرتبة p (من رتبة قابلة للقسمة على${\displaystyle p}$) لا يمتلك سوى عدد محدود من النسل المباشر.

لفهم أشجار الفئات المشتركة فهمًا سليمًا باعتبارها حالة خاصة من أشجار السلالات، من الضروري تلخيص بعض الحقائق المتعلقة بالمجموعات الطوبولوجية اللانهائية .${\displaystyle \gamma _{j}(S)}$، مع${\displaystyle j\geq 1}$، من السلسلة المركزية السفلية لمجموعة pro- p${\displaystyle S}$ هي مجموعات فرعية مغلقة (ومفتوحة) ذات دليل محدود، وبالتالي فإن نواتج القسمة المقابلة لها${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$هي زمر منتهية من الرتبة p . زمرة pro- p${\displaystyle S}$يقال إنه من نفس الفئة${\displaystyle \mathrm {cc} (S)=r}$ عندما يكون الحد${\displaystyle r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))}$توجد فئة مشتركة من النواتج المتتالية وهي محدودة. زمرة pro- p لانهائية${\displaystyle S}$من نفس الفئة${\displaystyle r}$هي زمرة فضاء مسبقة p -adic ، ^{[ 5 ]} لأنها تحتوي على زمرة جزئية طبيعية${\displaystyle T}$، مجموعة الترجمة ، وهي وحدة نمطية حرة فوق الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$من الأعداد الصحيحة p -adic ذات الرتبة المحددة بشكل فريد${\displaystyle d}$، البُعد ، بحيث يكون ناتج القسمة${\displaystyle P=S/T}$هي مجموعة p منتهية ، وهي مجموعة النقاط التي تؤثر على${\displaystyle T}$بشكل متسلسل . يتم تحديد البعد بواسطة

${\displaystyle (4)\qquad d=(p-1)p^{s}}$مع بعض${\displaystyle 0\leq s<r}$.

نتيجة مركزية حول محدودية المجموعات اللانهائية من النوع pro- p من الفئة المشتركة${\displaystyle r}$يُقدّم هذا من خلال ما يُسمى بنظرية D ، وهي إحدى نظريات Coclass الخمس التي أثبتها كلٌّ من أ. شاليف ^{[ 9 ]} وسي. آر. ليدهام-غرين ^{[ 10 ]} بشكل مستقل عام 1994 ، والتي سبق أن خمّنها كلٌّ من سي. آر. ليدهام-غرين وإم. إف. نيومان عام 1980. ^{[ 2 ]} تنصّ نظرية D على وجود عدد محدود فقط من فئات التشاكل للمجموعات اللانهائية من نوع pro- p ذات coclass.${\displaystyle r}$، لأي عدد أولي ثابت${\displaystyle p}$وأي عدد صحيح ثابت غير سالب${\displaystyle r}$ونتيجة لذلك، إذا${\displaystyle S}$هي مجموعة لانهائية من النوع pro- p من الفئة المشتركة${\displaystyle r}$إذن يوجد عدد صحيح أصغر${\displaystyle i\geq 1}$بحيث تتحقق الشروط الثلاثة التالية لأي عدد صحيح${\displaystyle j\geq i}$.

S

1. ${\displaystyle \mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r}$،
2. ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$ليس خارج قسمة مركزي سفلي لأي زمرة pro- p لانهائية من الفئة المشتركة${\displaystyle r}$وهو ليس متماثلاً مع${\displaystyle S}$،
3. ${\displaystyle \gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)}$دورية من رتبة${\displaystyle p}$.

شجرة النسب${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$، فيما يتعلق بالتعريف الأصلي (P2)، للجذر${\displaystyle R=S/\gamma _{i}(S)}$بأقل قدر ممكن${\displaystyle i}$يُطلق عليه اسم شجرة الفئات المشتركة${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$ل${\displaystyle S}$ ومساره اللانهائي الأقصى الفريد (ذو الاتجاه العكسي)

${\displaystyle (5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots }$

يُطلق عليه اسم الخط الرئيسي (أو الجذع ) للشجرة.

تُشرح المصطلحات الإضافية المستخدمة في المخططات التي تُصوّر الأجزاء المحدودة من الأشجار المتفرعة في الشكل 1 باستخدام شجرة مجردة اصطناعية. على الجانب الأيسر، يُشير المستوى إلى التصميم الأساسي من أعلى إلى أسفل للشجرة المتفرعة. بالنسبة للأشجار الملموسة، مثل تلك الموجودة في الشكل 2، والشكل 3، وما إلى ذلك، يُستبدل المستوى عادةً بمقياس للرتب يتزايد من الأعلى إلى الأسفل. يكون الرأس قابلاً للتمديد إذا كان لديه فرع مباشر واحد على الأقل، وإلا فهو طرفي (أو ورقة ). تُسمى الرؤوس التي تشترك في أصل مشترك بالأشقاء .

إذا كانت شجرة السلالات شجرة فئة مشتركة${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$مع الجذر${\displaystyle R=R_{0}}$ ومع رؤوس الخط الرئيسي${\displaystyle (R_{n})_{n\geq 0}}$مصنفة حسب المستوى${\displaystyle n}$ثم الشجرة الفرعية المحدودة المعرفة على أنها مجموعة الفرق

${\displaystyle (6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})}$

يُطلق عليه الفرع النوني ( أو الغصن ) من الشجرة أو أيضًا الفرع${\displaystyle {\mathcal {B}}(R_{n})}$مع الجذر${\displaystyle R_{n}}$، لأي${\displaystyle n\geq 0}$عمق الفرع هو أقصى طول للمسارات التي تربط رؤوسه بجذره. يوضح الشكل 1 شجرة تصنيفية مجردة اصطناعية، فروعها${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$كلاهما يتمتع بالعمق${\displaystyle 0}$والفروع${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$تكون متماثلة ثنائياً كرسوم بيانية. إذا كانت جميع الرؤوس ذات العمق الأكبر من عدد صحيح معين${\displaystyle k\geq 0}$يتم إزالتها من الفرع${\displaystyle {\mathcal {B}}(n)}$ثم نحصل على العمق-${\displaystyle k}$الفرع المقلم${\displaystyle {\mathcal {B}}_{k}(n)}$وبناءً على ذلك، فإن العمق-${\displaystyle k}$شجرة كوكلاس المشذبة${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(R)}$، أو شجرة التصنيف المشترك بأكملها${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$، تتكون من التسلسل اللانهائي لفروعها المقلمة${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}}$، أو الفروع${\displaystyle ({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}}$، المتصلة بالخط الرئيسي، الذي رؤوسه${\displaystyle R_{n}}$يُطلق عليهم اسم ذوي القدرات اللامحدودة .

تم إثبات دورية فروع أشجار الفئات المشتركة المُقَلَّمة بعمق باستخدام طرق تحليلية تعتمد على دوال زيتا ^{[ 3 ]} للمجموعات بواسطة م. دو سوتوي، ^{[ 7 ]} وباستخدام تقنيات جبرية تعتمد على مجموعات التماثل بواسطة ب. إيك وسي آر ليدهام-غرين. ^{[ 8 ]} تسمح الطرق الأولى بفهم نوعي للدورية الافتراضية النهائية ، بينما تحدد التقنيات الأخيرة البنية الكمية.

نظرية. لأي زمرة لا نهائية من نوع pro- p${\displaystyle S}$من نفس الفئة${\displaystyle r\geq 1}$والأبعاد${\displaystyle d}$، ولأي عمق معين${\displaystyle k\geq 1}$يوجد حد أدنى فعال${\displaystyle f(k)\geq 1}$، حيث دورية الطول${\displaystyle d}$من فروع شجرة الكوكلاس المقلمة${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$أي أن هناك تماثلات بيانية

${\displaystyle (7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)}$للجميع${\displaystyle n\geq f(k)}$.

للاطلاع على الدليل، انقر على "عرض" في الجانب الأيمن.

يمكن التعبير عن هذه النتائج الأساسية بشكل واضح: عند النظر إلى شجرة التصنيف المشترك من خلال زوج من الحواجز وتجاهل عدد محدود من الفروع ما قبل الدورية في الأعلى، سنرى نمطًا محدودًا متكررًا ( دورية نهائية ). مع ذلك، إذا استخدمنا حواجز أوسع، فقد يصبح القسم الأولي ما قبل الدوري أطول ( دورية افتراضية ).

الرأس${\displaystyle P=R_{f(k)}}$يُطلق عليه اسم الجذر الدوري لشجرة الفئات المشتركة المُقَلَّمة، وذلك لقيمة ثابتة للعمق${\displaystyle k}$انظر الشكل 1.

افترض أن آباء الزمر المنتهية من الرتبة p يُعرَّفون على أنهم آخر حاصل قسمة مركزي سفلي غير تافه (P2). بالنسبة لزمرة من الرتبة p${\displaystyle G}$من نفس الفئة${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=r}$، يمكننا تمييز شجرة نسلها (الكاملة)${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ وفئتها الشقيقة -${\displaystyle r}$شجرة النسب${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$أي الشجرة الفرعية التي تتكون من أحفاد الفئة المشتركة${\displaystyle r}$فقط. المجموعة${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم التسوية المشتركة إذا${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)}$أي، إذا لم يكن هناك أحفاد لـ${\displaystyle G}$مع فئة ركاب أكبر من${\displaystyle r}$.

الرتبة النووية${\displaystyle \nu (G)}$ل${\displaystyle G}$ في نظرية خوارزمية توليد المجموعة p بواسطة MF Newman ^{[ 11 ]} و EA O'Brien ^{[ 12 ]} يتم تقديم المعايير التالية.

شمال

1. ${\displaystyle G}$يكون نهائيًا، وبالتالي يتم حسمه بشكل بديهي، إذا وفقط إذا${\displaystyle \nu (G)=0}$.
2. لو${\displaystyle \nu (G)=1}$، ثم${\displaystyle G}$هو قادر، لكن يبقى من غير المعروف ما إذا كان${\displaystyle G}$تمت تسويتها على أساس جماعي.
3. لو${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$، ثم${\displaystyle G}$هو قادر، وبالتأكيد ليس من فئة المستوطنين.

في الحالة الأخيرة، يمكن تقديم تأكيد أكثر دقة: إذا${\displaystyle G}$لديه فئة مشتركة${\displaystyle r}$والرتبة النووية${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ثم ينتج عنه تفرع متعدد من الدرجة m إلى شجرة ذرية منتظمة من الفئة المشتركة r${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$ و${\displaystyle m-1}$الرسوم البيانية غير المنتظمة للذرية${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$من نفس الفئة${\displaystyle r+j}$، ل${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$وبالتالي، فإن شجرة نسل${\displaystyle G}$الاتحاد المنفصل

${\displaystyle (8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$.

يرتبط التشعب المتعدد بترتيبات مختلفة لآخر عنصر مركزي سفلي غير تافه من السلالات المباشرة. وبما أن فئة انعدام القوة تزداد بمقدار وحدة واحدة بالضبط،${\displaystyle c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1}$من أحد الوالدين${\displaystyle P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)}$إلى أي من أحفاده المباشرين${\displaystyle Q}$، ويبقى التصنيف المشترك مستقراً،${\displaystyle r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)}$إذا كان آخر مركز سفلي غير تافه دوريًا من الرتبة${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p}$ومنذ ذلك الحين، يزداد أس الرتبة بمقدار وحدة واحدة بالضبط.${\displaystyle \vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert }$في هذه الحالة،${\displaystyle Q}$هو سليل مباشر منتظم ذو حافة موجهة${\displaystyle P\leftarrow Q}$حجم الخطوة${\displaystyle 1}$كالمعتاد. ومع ذلك، تزداد الفئة المشتركة بمقدار${\displaystyle m-1}$، لو${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}}$مع${\displaystyle m\geq 2}$. ثم${\displaystyle Q}$يُطلق عليه اسم سليل مباشر غير منتظم ذو حافة موجهة${\displaystyle P\leftarrow Q}$حجم الخطوة${\displaystyle m}$.

إذا كان شرط حجم الخطوة${\displaystyle 1}$يتم فرضه على جميع الحواف الموجهة، ثم شجرة السلالة القصوى${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$من المجموعة التافهة${\displaystyle 1}$ ينقسم إلى اتحاد منفصل لا نهائي قابل للعد

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)}$

من الرسوم البيانية الموجهة للفئات المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$وهي أقرب إلى الغابات منها إلى الأشجار. وبشكل أدق، تشير نظريات التصنيف المشترك المذكورة أعلاه إلى أن

${\displaystyle (10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

هو اتحاد منفصل لعدد محدود من أشجار الفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {T}}(S_{i})}$من مجموعات pro- p اللانهائية غير المتماثلة ثنائياً${\displaystyle S_{i}}$من نفس الفئة${\displaystyle r}$(النظرية د) ورسم بياني فرعي محدود${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$من المجموعات المتفرقة التي تقع خارج أي شجرة تصنيفية.

تُعرّف مكتبة SmallGroups المجموعات المنتهية، وخاصة المجموعات المنتهية من الرتبة p ، بالشكل التالي :

${\displaystyle \langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle }$

في الأمثلة الملموسة التالية لأشجار النسب، تُعزى هذه المعلومات إلى HU Besche وB. Eick وEA O'Brien. ^{[ 13 ] [ 14 ]} عندما تُعطى رتب المجموعات على مقياس في الجانب الأيسر، كما في الشكلين 2 و3، يُشار إلى المعرفات باختصار بـ

${\displaystyle \langle \ {\text{counting number}}\ \rangle }$.

بحسب المتغير الرئيسي${\displaystyle p}$يوجد حد أقصى لترتيب المجموعات التي يوجد لها مُعرّف SmallGroup، على سبيل المثال${\displaystyle 512=2^{9}}$ل${\displaystyle p=2}$، و${\displaystyle 6561=3^{8}}$ل${\displaystyle p=3}$بالنسبة للمجموعات ذات الرتب الأكبر، يُستخدم ترميز بمعرفات معممة تُشبه بنية السلالة. السلالة المباشرة المنتظمة متصلة بحافة ذات حجم خطوة.${\displaystyle 1}$مع والدتها${\displaystyle P}$، ويرمز إليه بـ

${\displaystyle P-\#1;{\text{counting number}}}$،

ونسل مباشر غير منتظم، متصل بحافة بحجم خطوة${\displaystyle s\geq 2}$مع والدتها${\displaystyle P}$، ويرمز إليه بـ

${\displaystyle P-\#s;{\text{counting number}}}$.

تستخدم تطبيقات خوارزمية توليد المجموعة p في أنظمة الجبر الحسابي GAP و Magma هذه المعرفات المعممة، والتي تعود إلى JA Ascione في عام 1979. ^{[ 15 ]}

في جميع الأمثلة، يتوافق تعريف الأصل الأساسي (P2) مع سلسلة المركز السفلي المعتادة. ويُشار إلى بعض الاختلافات الطفيفة عن تعريف الأصل (P3) فيما يتعلق بسلسلة المركز ذات الأس p الأدنى.

الفئة 0

الرسم البياني للفئة المشتركة

${\displaystyle (11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)}$

من مجموعات p المنتهية من الفئة المشتركة${\displaystyle 0}$لا تحتوي على أي شجرة تصنيف مشتركة، وبالتالي تتكون حصريًا من مجموعات متفرقة، وهي المجموعة التافهة.${\displaystyle 1}$والمجموعة الحلقية${\displaystyle C_{p}}$من النظام${\displaystyle p}$، وهي ورقة (ومع ذلك، فهي قادرة فيما يتعلق بالسلسلة المركزية ذات الأس الأدنى p ). لـ${\displaystyle p=2}$معرّف المجموعة الصغيرة لـ${\displaystyle C_{p}}$يكون${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$، ل${\displaystyle p=3}$إنها${\displaystyle \langle 3,1\rangle }$.

الفئة 1

الرسم البياني للفئة المشتركة

${\displaystyle (12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$

من مجموعات p المنتهية من الفئة المشتركة${\displaystyle 1}$، والتي تسمى أيضًا من الفئة القصوى ، تتكون من شجرة الفئة المشتركة الفريدة${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)}$مع الجذر${\displaystyle R=C_{p}\times C_{p}}$، المجموعة الأبيلية الأولية من الرتبة p${\displaystyle 2}$ورأس معزول واحد (رأس يتيم طرفي بدون أب مناسب في نفس الرسم البياني للفئة المشتركة، نظرًا لأن الحافة الموجهة إلى المجموعة التافهة${\displaystyle 1}$يتميز بمقاسات متدرجة${\displaystyle 2}$), المجموعة الحلقية${\displaystyle C_{p^{2}}}$من النظام${\displaystyle p^{2}}$في الجزء المتقطع${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$ (مع ذلك، فإن هذه المجموعة قادرة فيما يتعلق بالسلسلة المركزية ذات الأس الأدنى p ). الشجرة${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})}$هي شجرة الفئات المشتركة للمجموعة الفريدة اللانهائية pro- p${\displaystyle S_{1}}$من نفس الفئة${\displaystyle 1}$.

ل${\displaystyle p=2}$، على التوالي.${\displaystyle p=3}$، مُعرِّف المجموعة الصغيرة للجذر${\displaystyle R}$يكون${\displaystyle \langle 4,2\rangle }$، على التوالي.${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$ومخطط شجري للرسم البياني للفئة المشتركة من الفرع${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$نزولاً إلى الفرع${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$ (محسوبة بالنسبة إلى اللوغاريتم p لرتبة جذر الفرع) موضحة في الشكل 2، والشكل 3 على التوالي، حيث جميع المجموعات من الرتبة على الأقل${\displaystyle p^{3}}$هي ميتابيلية ، أي غير أبيلية ذات طول مشتق${\displaystyle 2}$ (الرؤوس ممثلة بأقراص سوداء، على عكس المربعات الكنتورية التي تشير إلى الزمر الأبيلية). في الشكل 3، تشير الأقراص السوداء الأصغر إلى الزمر الميتابيلية ثلاثية الأبعاد، حيث تكون حتى الزمر الفرعية القصوى غير أبيلية، وهي سمة لا تظهر في الزمر الميتابيلية ثنائية الأبعاد في الشكل 2، لأنها جميعًا تمتلك زمرة فرعية أبيلية ذات فهرس .${\displaystyle p}$(عادةً واحد بالضبط). شجرة الفئات المشتركة لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$، على التوالي.${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$، له جذر دوري${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$ودورية الطول${\displaystyle 1}$بدءاً من الفرع${\displaystyle {\mathcal {B}}(3)}$، أو الجذر الدوري${\displaystyle \langle 81,9\rangle }$ودورية الطول${\displaystyle 2}$بدء التفرع${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$كلا الشجرتين لهما فروع ذات عمق محدود${\displaystyle 1}$لذا فإن دورية افتراضية خاصة بهم هي في الواقع دورية صارمة .

ومع ذلك، فإن شجرة التصنيف المشترك لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$مع${\displaystyle p\geq 5}$لها عمق غير محدود وتحتوي على مجموعات غير ميتابلية، وشجرة الفئات المشتركة لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$مع${\displaystyle p\geq 7}$بل إن لها عرضًا غير محدود ، أي أن عدد الأبناء من رتبة ثابتة يزداد بلا حدود مع ازدياد الرتبة. ^{[ 16 ]}

بمساعدة النوى وأهداف عمليات نقل أرتين ، يمكن تزويد المخططات في الشكل 2 والشكل 3 بمعلومات إضافية وإعادة رسمها كأشجار ذرية منظمة .

الأمثلة الملموسة${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$توفر رسوم بيانية الفئات المشتركة فرصة لتقديم عرض مُعامل متعدد الحلقات لمبدل القوى ^{[ 17 ]} لشجرة الفئات المشتركة الكاملة${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)}$،${\displaystyle p\in \lbrace 2,3\rbrace }$، كما ذُكر في القسم التمهيدي كميزة لمفهوم شجرة السلالات وكنتيجة لدورية شجرة الفئات المشتركة بأكملها. في كلتا الحالتين، مجموعة${\displaystyle G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)}$يتم توليدها بواسطة عنصرين${\displaystyle x,y}$ لكن العرض التقديمي يحتوي على سلسلة من المبدلات العليا${\displaystyle s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack }$،${\displaystyle 3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)}$، بدءًا من المبدل الرئيسي${\displaystyle s_{2}=\lbrack y,x\rbrack }$يتم التعبير عن انعدام القوة رسميًا من خلال العلاقة${\displaystyle s_{n}=1}$عندما تكون المجموعة مرتبة${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$.

ل${\displaystyle p=2}$هناك معياران${\displaystyle 0\leq w,z\leq 1}$ويتم تقديم عرض الحاسوب الشخصي بواسطة

(13)${\displaystyle {\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

المجموعات الثنائية من الفئة القصوى، أي من الفئة المشتركة${\displaystyle 1}$، تشكل ثلاث متتابعات دورية لانهائية ،

• المجموعات ثنائية السطوح ،${\displaystyle D(2^{n})=G^{n}(0,0)}$،${\displaystyle n\geq 3}$، لتشكيل الخط الرئيسي (مع رؤوس ذات قدرات لا نهائية)،
• مجموعات الكواترنيون المعممة ،${\displaystyle Q(2^{n})=G^{n}(0,1)}$،${\displaystyle n\geq 3}$، والتي تمثل جميعها رؤوسًا طرفية،
• المجموعات شبه ثنائية السطوح ،${\displaystyle S(2^{n})=G^{n}(1,0)}$،${\displaystyle n\geq 4}$وهي أيضاً أوراق الشجر.

ل${\displaystyle p=3}$هناك ثلاثة معايير${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$و${\displaystyle -1\leq w,z\leq 1}$ويتم تقديم عرض الحاسوب الشخصي بواسطة

(14)${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

3 مجموعات ذات معلمات${\displaystyle a=0}$تمتلك زمرة فرعية أبيلية قصوى ، تلك التي لها معلمة${\displaystyle a=1}$لا. بتعبير أدق، الزمرة الجزئية الأبيلية القصوى الموجودة فريدة من نوعها، باستثناء الزمرتين الخاصتين الإضافيتين.${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$و${\displaystyle G_{0}^{3}(0,1)}$، حيث تكون جميع المجموعات الفرعية القصوى الأربع تبديلية.

على عكس أي فئة أكبر${\displaystyle r\geq 2}$، الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$يحتوي حصريًا على مجموعات p${\displaystyle G}$مع التبديل${\displaystyle G/G^{\prime }}$من النوع${\displaystyle (p,p)}$باستثناء رأسها المعزول الفريد${\displaystyle C_{p^{2}}}$القضية${\displaystyle p=2}$يتميز هذا بصدق العبارة العكسية: أي مجموعة ثنائية ذات تبديلية من النوع${\displaystyle (2,2)}$ينتمي إلى نفس الفئة${\displaystyle 1}$(نظرية أو. تاوسكي ^{[ 18 ]} ).

الفئة الثانية

نشأة الرسم البياني للفئات المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$مع${\displaystyle r\geq 2}$ليست موحدة. تساهم مجموعات p ذات التحويلات التبديلية المختلفة في تكوينها. بالنسبة للفئة المشتركة${\displaystyle r=2}$هناك مساهمات أساسية من المجموعات${\displaystyle G}$مع التبديلات ${\displaystyle G/G^{\prime }}$من الأنواع ${\displaystyle (p,p)}$،${\displaystyle (p^{2},p)}$،${\displaystyle (p,p,p)}$ومساهمة معزولة من المجموعة الحلقية${\displaystyle C_{p^{3}}}$من النظام${\displaystyle p^{3}}$:

${\displaystyle (15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)}$.

التحويل الأبلي من النوع ( p , p )

على عكس مجموعات p من الفئة المشتركة${\displaystyle 2}$مع التبديل من النوع${\displaystyle (p^{2},p)}$أو${\displaystyle (p,p,p)}$والتي تنشأ كأحفاد منتظمين لمجموعات p الأبيلية من نفس الأنواع، ومجموعات p من الفئة المشتركة${\displaystyle 2}$مع التبديل من النوع${\displaystyle (p,p)}$تنشأ من نسل غير منتظم لمجموعة p غير تبديلية من فئة مشتركة${\displaystyle 1}$والتي لم يتم تسويتها بشكل مشترك.

للرئيس${\displaystyle p=2}$لا توجد مثل هذه المجموعات على الإطلاق، لأن المجموعة الثنائية${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$تم تسوية فئة coclass، وهو السبب الأعمق لنظرية تاوسكي. وقد لاحظ جوزيبي باجنيرا ^{[ 19 ]} هذه الحقيقة اللافتة للنظر في عام 1898.

بالنسبة للأعداد الأولية الفردية${\displaystyle p\geq 3}$، وجود مجموعات p من الفئة المشتركة${\displaystyle 2}$مع التبديل من النوع${\displaystyle (p,p)}$ ويرجع ذلك إلى حقيقة أن المجموعة${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$لا يوجد تصنيف مشترك. رتبتها النووية تساوي${\displaystyle 2}$مما يؤدي إلى تشعب شجرة السلالات${\displaystyle {\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))}$إلى رسمين بيانيين من نفس الفئة. المكون المنتظم${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))}$ هي شجرة فرعية من الشجرة الفريدة${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})}$في الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$المكون غير المنتظم${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))}$ يصبح رسمًا بيانيًا فرعيًا${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)}$من الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$ عندما تكون الحواف المتصلة بحجم الخطوة${\displaystyle 2}$من النسل المباشر غير النظامي لـ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$تتم إزالتها.

ل${\displaystyle p=3}$، هذا الرسم البياني الفرعي${\displaystyle {\mathcal {G}}}$تم رسمها في الشكل 4، والذي يوضح الواجهة بين المجموعات الثلاثية المنتهية ذات الفئة المشتركة${\displaystyle 1}$و${\displaystyle 2}$من النوع${\displaystyle (3,3)}$. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يحتوي على سبعة رؤوس من المستوى الأعلى من ثلاثة أنواع مهمة، وكلها مرتبة${\displaystyle 243=3^{5}}$والتي اكتشفها جي. باجنيرا. ^{[ 19 ]}

• أولاً، هناك مجموعتان طرفيتان من نوع شور سيجما${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$و${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$في الجزء المتقطع${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$من الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$.
• ثانياً، المجموعتان${\displaystyle G=\langle 243,4\rangle }$و${\displaystyle G=\langle 243,9\rangle }$هي جذور الأشجار المحدودة${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G)}$في الجزء المتقطع${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ومع ذلك، بما أنها ليست مستقرة في نفس الفئة، فإن الأشجار الكاملة${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$هي لا نهائية.
• وأخيراً، المجموعات الثلاث${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$،${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$و${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$تؤدي إلى ظهور أشجار تصنيفية مشتركة (لا نهائية)، على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$،${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$،${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$، ولكل منها خط رئيسي ميتابيلي، في الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$لا توجد أي من هذه المجموعات الثلاث مستقرة في نفس الطبقة.

من خلال عرض معلومات إضافية حول النوى والأهداف لعمليات نقل Artin، يمكننا رسم هذه الأشجار كأشجار فرعية منظمة .

التعريف. بشكل عام، زمرة شور (التي أطلق عليها آي. شور، الذي صاغ المفهوم، اسم الزمرة المغلقة ) هي زمرة خاصة.${\displaystyle G}$رتبة علاقته${\displaystyle d_{2}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$يتوافق مع رتبة مولده${\displaystyle d_{1}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$. الزمرة σ هي زمرة pro- p${\displaystyle G}$الذي يمتلك تماثلًا ذاتيًا${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G)}$ إحداث الانقلاب${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$حول تحويلها إلى نظام أبيلي${\displaystyle G/G^{\prime }}$. زمرة شور سيجما هي زمرة شور${\displaystyle G}$وهي أيضًا مجموعة سيجما ولها تحويل تبديلي محدود${\displaystyle G/G^{\prime }}$.

${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$ليس جذر شجرة التصنيف المشترك،

منذ نسلها المباشر${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$، وهو جذر شجرة مشتركة ذات رؤوس رئيسية ميتابيلية، له شقيقان${\displaystyle \langle 729,35\rangle }$، على التوالي.${\displaystyle \langle 729,34\rangle }$والتي تُنتج شجرة واحدة، أو ثلاث أشجار، من فئة مشتركة ذات رؤوس رئيسية غير ميتابلية ذات مراكز دورية من الرتبة${\displaystyle 3}$ وفروع ذات تعقيد كبير ولكنها مع ذلك ذات عمق محدود${\displaystyle 5}$.

الجدول 1: نواتج قسمة المجموعات G=G(f,g,h) ^{[ 5 ]}

حدود${\displaystyle (f,g,h)}$	التبديل الأبلي${\displaystyle G/G^{\prime }}$	حاصل القسمة من الفئة الثانية${\displaystyle G/\gamma _{3}(G)}$	حاصل القسمة من الفئة 3${\displaystyle G/\gamma _{4}(G)}$	حاصل القسمة من الفئة الرابعة${\displaystyle G/\gamma _{5}(G)}$
${\displaystyle (0,1,0)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$
${\displaystyle (0,1,2)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,49\rangle }$
${\displaystyle (1,1,2)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,54\rangle }$
${\displaystyle (1,0,0)}$	${\displaystyle (9,3)}$	${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,79\rangle }$
${\displaystyle (0,0,1)}$	${\displaystyle (9,3)}$	${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,84\rangle }$
${\displaystyle (0,0,0)}$	${\displaystyle (3,3,3)}$	${\displaystyle \langle 81,12\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,53\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,395\rangle }$

مجموعات Pro-3 من الفئة المشتركة 2 ذات مركز غير تافه

قام كل من ب. إيك، وسي آر ليدهام-غرين، وإم إف نيومان، وإي إيه أوبراين ^{[ 5 ]} ببناء عائلة من الزمر غير المنتهية من النوع pro-3 ذات فئة مشتركة${\displaystyle 2}$امتلاك مركز نظام غير تافه${\displaystyle 3}$يتميز أفراد الأسرة بثلاثة معايير${\displaystyle (f,g,h)}$. تولد نواتج قسمتها المحدودة جميع رؤوس الخطوط الرئيسية ذات المراكز ثنائية الدورة من النوع${\displaystyle (3,3)}$من بين ستة أشجار مشتركة في الرسم البياني المشترك${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$يوضح الجدول 1 ارتباط المعلمات بجذور هذه الأشجار الست، باستثناء مخططات الأشجار.${\displaystyle (3,3,3)}$، موضحة في الشكلين 4 و5، ويتم تقديم عرض pro-3 المُعَلم بواسطة

(16)${\displaystyle {\begin{aligned}G(f,g,h)=&\langle a,t,z\mid \\&a^{3}=z^{f},\ \lbrack t,t^{a}\rbrack =z^{g},\ t^{1+a+a^{2}}=z^{h},\\&z^{3}=1,\ \lbrack z,a\rbrack =1,\ \lbrack z,t\rbrack =1\rangle \end{aligned}}}$

التبديل من النوع ( p² , p )

ل${\displaystyle p=3}$، المستويات العليا من الشجرة الفرعية${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,2\rangle )}$من الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$تم رسمها في الشكل 5. أهم رؤوس هذه الشجرة هي الأشقاء الثمانية الذين يشتركون في نفس الأب.${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$وهي ثلاثة أنواع مهمة.

• أولاً، هناك ثلاث أوراق${\displaystyle \langle 243,20\rangle }$،${\displaystyle \langle 243,19\rangle }$،${\displaystyle \langle 243,16\rangle }$وجود مركز دوري للنظام${\displaystyle 9}$وورقة واحدة${\displaystyle \langle 243,18\rangle }$مع مركز ثنائي الحلقة من النوع${\displaystyle (3,3)}$.
• ثانياً، المجموعة${\displaystyle G=\langle 243,14\rangle }$هو جذر شجرة منتهية${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{2}(G)}$.
• وأخيراً، المجموعات الثلاث${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$،${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$و${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$تؤدي إلى ظهور عدد لا نهائي من أشجار التصنيف المشترك، على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 2187,319\rangle )}$،${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$،${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )}$ولكل منها خط رئيسي ميتابيلي، الأول ذو مراكز دورية من النظام${\displaystyle 3}$والثاني والثالث بمراكز ثنائية الحلقة من النوع${\displaystyle (3,3)}$.

هنا،${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$ليس جذرًا لشجرة الفئة المشتركة، لأنه بصرف النظر عن نسله${\displaystyle \langle 2187,319\rangle }$، وهو جذر شجرة تصنيفية مشتركة ذات رؤوس رئيسية ميتابيلية، يمتلك خمسة أحفاد آخرين ينتجون أشجار تصنيفية مشتركة ذات رؤوس رئيسية غير ميتابيلية ذات مراكز دورية من الرتبة${\displaystyle 3}$ وفروع ذات تعقيد شديد، وهنا جزئياً حتى بعمق غير محدود . ^{[ 5 ]}

التحويل الأبلي من النوع ( p , p , p )

ل${\displaystyle p=2}$، على التوالي.${\displaystyle p=3}$يوجد شجرة فئة مشتركة فريدة مع مجموعات p من النوع${\displaystyle (p,p,p)}$في الرسم البياني للفئة المشتركة${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$جذرها هو المجموعة الأبيلية الأولية من النوع p${\displaystyle (p,p,p)}$، إنه،${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$، على التوالي.${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$تتوافق هذه الشجرة الفريدة مع المجموعة pro-2 من العائلة${\displaystyle \#59}$بواسطة إم إف نيومان وإي إيه أوبراين، ^{[ 6 ]} على التوالي إلى المجموعة pro-3 المعطاة بواسطة المعلمات${\displaystyle (f,g,h)=(0,0,0)}$في الجدول 1. لـ${\displaystyle p=2}$يُشار إلى الشجرة في الشكل 6، والذي يُظهر بعض المجموعات الثنائية المنتهية ذات الفئة المشتركة.${\displaystyle 2,3,4}$من النوع${\displaystyle (2,2,2)}$.