وحدة التسلسل

في الجبر المجرد ، الوحدة _{النمطية} أحادية التسلسل M هي وحدة نمطية على حلقة R ، وتكون وحداتها النمطية الفرعية مرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء . وهذا يعني ببساطة أنه لأي وحدتين نمطيتين فرعيتين N1 و _N2 من M ، إما${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$أو${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$يُطلق على الوحدة النمطية اسم وحدة نمطية متسلسلة إذا كانت مجموعًا مباشرًا لوحدات نمطية أحادية السلسلة. تُسمى الحلقة R حلقة أحادية السلسلة يمنى إذا كانت أحادية السلسلة كوحدة نمطية يمنى على نفسها، وتُسمى كذلك حلقة متسلسلة يمنى إذا كانت وحدة نمطية متسلسلة يمنى على نفسها. تُعرَّف الحلقات أحادية السلسلة اليسرى والحلقات المتسلسلة اليسرى بطريقة مماثلة، وهي عمومًا تختلف عن نظيراتها اليمنى.

ومن الأمثلة التحفيزية السهلة حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$لأي عدد صحيح${\displaystyle n>1}$هذه الحلقة متسلسلة دائمًا، وتكون أحادية التسلسل عندما يكون n قوة عدد أولي .

تم استخدام مصطلح "السلسلة الأحادية" بشكل مختلف عن التعريف المذكور أعلاه: لمزيد من التوضيح، انظر أدناه .

قائمة أبجدية جزئية للمساهمين المهمين في نظرية الحلقات التسلسلية تشمل علماء الرياضيات كيزو أسانو، آي إس كوهين، بي إم كوهن ، يو. دروزد، د. آيزنبود ، أ. فاتشيني ، إيه دبليو غولدي ، فيليب غريفيث ، آي. كابلانسكي ، في. ^{[ 1 ]}

وفقًا للاتفاقية الشائعة في نظرية الحلقات، إذا ذُكر شرطٌ يعتمد على الجانب الأيسر/الأيمن دون تحديد أي جانب (على سبيل المثال، أحادي التسلسل، تسلسلي، أرتيني ، نوثيري )، يُفترض أن الشرط صحيحٌ على كلا الجانبين. ما لم يُنص على خلاف ذلك، فإن كل حلقة في هذه المقالة هي حلقة ذات عنصر محايد ، وكل وحدة نمطية فيها أحادية .

يتضح جليًا أنه في وحدة نمطية أحادية التسلسل من النوع R، M ، تكون جميع الوحدات النمطية الفرعية، باستثناء M و0، أساسية وفائضة في آنٍ واحد . إذا احتوت M على وحدة نمطية فرعية عظمى ، فإن M تكون وحدة نمطية محلية . من الواضح أيضًا أن M وحدة نمطية منتظمة ، وبالتالي فهي غير قابلة للتحليل المباشر. من السهل أيضًا ملاحظة أن كل وحدة نمطية فرعية مولدة نهائيًا من M يمكن توليدها بواسطة عنصر واحد، ولذا فإن M هي وحدة نمطية بيزو .

من المعروف أن حلقة التشكل الداخلي EndRM هي حلقة شبه محلية، _وهي قريبة جدًا من الحلقة المحلية بمعنى أن _EndRM تحتوي على مثاليين يمينيين أعظميين على الأكثر . إذا افترضنا أن M حلقة أرتينية أو نوثرية، فإن _EndRM تكون حلقة محلية.

بما أن الحلقات التي تحتوي على عنصر محايد تمتلك دائمًا مثاليًا يمينيًا أعظميًا، فإن الحلقة التسلسلية اليمينية أحادية التسلسل تكون بالضرورة محلية. وكما ذُكر سابقًا، يمكن توليد مثالي يمينيًا منتهيًا بواسطة عنصر واحد، وبالتالي فإن الحلقات التسلسلية اليمينية أحادية التسلسل هي حلقات بيزو يمينية . وتتحلل الحلقة التسلسلية اليمينية R بالضرورة إلى الشكل التالي:${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$حيث يمثل كل عنصر e _{_i} عنصرًا متساوي القوة، و e_{_i} R _i وحدة نمطية محلية أحادية التسلسل. يشير هذا إلى أن R هي أيضًا حلقة شبه مثالية ، وهو شرط أقوى من كونها حلقة شبه محلية.

أثبت كوث أن وحدات حلقات المثاليّات الرئيسية الأرتينية (وهي حالة خاصة من الحلقات المتسلسلة) هي مجاميع مباشرة لوحدات فرعية دورية . لاحقًا، حدد كوهين وكابلانسكي أن الحلقة التبديلية R تمتلك هذه الخاصية لوحداتها إذا وفقط إذا كانت R حلقة مثاليّات رئيسية أرتينية. أثبت ناكاياما أن الحلقات المتسلسلة الأرتينية تمتلك هذه الخاصية على وحداتها، وأن العكس غير صحيح.

لعلّ النتيجة الأكثر عموميةً حول وحدات الحلقة التسلسلية تُنسب إلى دروزد ووارفيلد: تنصّ على أن كل وحدة مُعرَّفة نهائيًا على حلقة تسلسلية هي مجموع مباشر لوحدات فرعية دورية أحادية التسلسل (وبالتالي فهي تسلسلية). وإذا افترضنا أيضًا أن الحلقة نوثرية، فإن الوحدات المُعرَّفة نهائيًا والوحدات المُولَّدة نهائيًا تتطابق، وبالتالي فإن جميع الوحدات المُولَّدة نهائيًا تكون تسلسلية.

تُحفظ خاصية التسلسل الأيمن في حالة الضرب المباشر للحلقات والوحدات، وتُحفظ أيضًا في حالة قسمة الحلقات . أما خاصية التسلسل الأحادي فتُحفظ في حالة قسمة الحلقات والوحدات، ولكنها لا تُحفظ أبدًا في حالة الضرب. ليس بالضرورة أن يكون المجموع المباشر لوحدة متسلسلة متسلسلة، كما أثبت بونينسكي، ولكن المجموعات المباشرة للمجاميع المباشرة المنتهية للوحدات أحادية التسلسل هي وحدات متسلسلة. ^{[ 2 ]}

تم التحقق من صحة فرضية جاكوبسون في الحلقات التسلسلية النويثرية. ^{[ 3 ]}

أي وحدة بسيطة هي وحدة أحادية التسلسل بشكل بديهي، وبالمثل فإن الوحدات شبه البسيطة هي وحدات تسلسلية.

يمكن استخلاص العديد من الأمثلة على الحلقات المتسلسلة من أقسام البنية المذكورة أعلاه. كل حلقة تقييم هي حلقة أحادية التسلسل، وجميع حلقات المثالي الرئيسي الأرتيني هي حلقات متسلسلة، كما يتضح من الحلقات شبه البسيطة .

ومن الأمثلة الأكثر غرابة المصفوفات المثلثية العلوية فوق حلقة القسمة T _n D ، وحلقة المجموعة${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$لبعض الحقول المنتهية ذات الخاصية الأولية p والمجموعة G التي تحتوي على مجموعة فرعية دورية طبيعية p - Sylow .

سيتناول هذا القسم بشكل أساسي الحلقات التسلسلية النويثرية وفئتها الفرعية، الحلقات التسلسلية الأرتينية. عمومًا، تُقسّم الحلقات أولًا إلى حلقات غير قابلة للتحليل. بمجرد معرفة بنية هذه الحلقات، تصبح الحلقات القابلة للتحليل ناتجًا مباشرًا عن الحلقات غير القابلة للتحليل. كذلك، بالنسبة للحلقات شبه الكاملة، مثل الحلقات التسلسلية، تكون الحلقة الأساسية مكافئة موريتا للحلقة الأصلية. بالتالي، إذا كانت R حلقة تسلسلية ذات حلقة أساسية B ، وكانت بنية B معروفة، فإن نظرية تكافؤ موريتا تُعطينا ما يلي:${\displaystyle R\cong \mathrm {End} _{B}(P)}$حيث P هو مولد أولي B ذو توليد نهائي . ولهذا السبب تتم صياغة النتائج من حيث الحلقات الأساسية غير القابلة للتحليل.

في عام ١٩٧٥، نشر كيريتشينكو ووارفيلد، بشكل مستقل ومتزامن، تحليلات لبنية الحلقات التسلسلية النويثرية غير الأرتينية. كانت النتائج متطابقة، إلا أن المنهجيات المستخدمة اختلفت اختلافًا كبيرًا. وقد مثّلت دراسة الحلقات الوراثية النويثرية الأولية ، بالإضافة إلى الرسوم البيانية المعرفة على الحلقات التسلسلية، أدواتٍ مهمة. وتنص النتيجة الأساسية على أنه يمكن وصف الحلقة التسلسلية النويثرية اليمنى غير الأرتينية الأساسية غير القابلة للتحليل بأنها نوع من حلقات المصفوفات على مجال نويثري أحادي التسلسل V ، حيث يكون جذر جاكوبسون J( V ) غير صفري. وتُعدّ حلقة المصفوفات هذه حلقةً فرعية من M _{_n} ( V ) لبعض قيم n ، وتتكون من مصفوفات عناصرها من V على القطر الرئيسي وفوقه، وعناصرها من J( V ) أسفله.

يُصنَّف تركيب الحلقة المتسلسلة الأرتينية إلى حالاتٍ بناءً على تركيب الرسم البياني. ويتضح أن تركيب الرسم البياني لحلقة متسلسلة أرتينية أساسية غير قابلة للتحليل يكون دائمًا دائرة أو خطًا. في حالة الرسم البياني الخطي، تكون الحلقة متماثلة مع المصفوفات المثلثية العلوية فوق حلقة القسمة (لاحظ التشابه مع تركيب الحلقات المتسلسلة النويثرية في الفقرة السابقة). يتجاوز الوصف الكامل للتركيب في حالة الرسم البياني الدائري نطاق هذه المقالة، ولكن يمكن الاطلاع عليه في ( بونينسكي 2002 ) . وبإعادة صياغة النتيجة كما وردت هناك: الحلقة المتسلسلة الأرتينية الأساسية التي يكون رسمها البياني دائرة هي صورة متماثلة لـ "تكبير" حلقة شبه فروبينيوس متسلسلة أساسية غير قابلة للتحليل .

يُقال إن وحدتين U و V لهما نفس فئة التكوين الأحادي ، ويرمز لهما بـ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$إذا وُجد شكل أحادي${\displaystyle U\rightarrow V}$وشكل أحادي${\displaystyle V\rightarrow U}$ويمكن تعريف المفهوم المزدوج على النحو التالي: يُقال إن الوحدات لها نفس فئة التخلق المتوالي ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$إذا وُجد تحويل شامل${\displaystyle U\rightarrow V}$وتحول شكلي${\displaystyle V\rightarrow U}$.

تتحقق الصيغة الضعيفة التالية لنظرية كرول-شميدت . ليكن U₁ , ..., Uₙ _, V₁ , ..., _Vₜ وحدات أحادية التسلسل يمينية غير صفرية عددها n + _t على حلقة R. عندئذٍ _تكون المجاميع المباشرة${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$و${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$تكون الوحدات النمطية R متماثلة إذا وفقط إذا كان n = t وكان هناك تبديلان${\displaystyle \sigma }$و${\displaystyle \tau }$من 1، 2، ...، ن بحيث${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$و${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$لكل i = 1، 2، ...، n .

هذه النتيجة، التي تعود إلى فاكيني، تم توسيعها لتشمل المجاميع المباشرة اللانهائية للوحدات أحادية التسلسل بواسطة بريهودا في عام 2006. يتضمن هذا التوسيع ما يُسمى بالوحدات أحادية التسلسل شبه الصغيرة. وقد عرّف هذه الوحدات كل من نغوين فييت دونغ وفاكيني، وأثبت بونينسكي وجودها. لا يقتصر الشكل الضعيف لنظرية كرول-شميدت على الوحدات أحادية التسلسل فحسب، بل ينطبق أيضًا على العديد من فئات الوحدات الأخرى (الوحدات ثنائية التماثل، والوحدات المعروضة دوريًا على الحلقات التسلسلية، ونوى التشكلات بين الوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل ، والوحدات المعروضة بشكل متماثل).

يمكن الإشارة إلى الحلقات أحادية التسلسل اليمنى أيضًا باسم حلقات السلسلة اليمنى ^{[ 4 ]} أو حلقات التقييم اليمنى . يشير المصطلح الأخير إلى حلقات التقييم ، وهي بحكم تعريفها مجالات تبديلية أحادية التسلسل . وبالمثل، تُسمى الوحدات أحادية التسلسل بوحدات السلسلة ، والوحدات التسلسلية بوحدات شبه السلسلة. يُشتق مفهوم حلقة السلسلة من كلمة "سلسلة"، ولكنه لا يرتبط عمومًا بحلقات السلسلة.

في ثلاثينيات القرن العشرين، قدّم غوتفريد كوث وكيزو أسانو مصطلح " أينرايهيغ " (حرفيًا "سلسلة واحدة") خلال دراساتهما للحلقات التي تكون فيها جميع الوحدات عبارة عن مجاميع مباشرة لوحدات فرعية دورية. ^{[ 5 ]} ولهذا السبب، استُخدم مصطلح " أحادي السلسلة " للدلالة على "حلقة المثاليّات الرئيسية الأرتينية" حتى سبعينيات القرن العشرين. كما اشترطت ورقة كوث أن تحتوي الحلقة أحادية السلسلة على سلسلة تركيب فريدة ، وهو ما لا يُلزم فقط بترتيب المثاليّات اليمنى واليسرى ترتيبًا خطيًا، بل يشترط أيضًا أن يكون عدد المثاليّات في سلاسل المثاليّات اليمنى واليسرى محدودًا. وبسبب هذا السابقة التاريخية، يُدرج بعض الباحثين شرط أرتين أو شرط طول التركيب المحدود في تعريفاتهم للوحدات والحلقات أحادية السلسلة.

استكمالاً لعمل كوث، استخدم تاداشي ناكاياما مصطلح " الحلقة التسلسلية المعممة " ^{[ 6 ]} للإشارة إلى حلقة أرتينية تسلسلية. وقد بيّن ناكاياما أن جميع الوحدات النمطية على هذه الحلقات تسلسلية. تُسمى الحلقات التسلسلية الأرتينية أحيانًا بجبر ناكاياما ، ولها نظرية وحدات نمطية متطورة.

استخدم وارفيلد مصطلح الوحدة التسلسلية المتجانسة للإشارة إلى وحدة تسلسلية ذات خاصية إضافية تتمثل في أنه لأي وحدتين فرعيتين مولدتين بشكل نهائي A و B ،${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$حيث يرمز J (−) إلى جذر جاكوبسون للوحدة. ^{[ 7 ]} في وحدة ذات طول تركيب محدود، يؤدي هذا إلى إجبار عوامل التركيب على أن تكون متماثلة، ومن هنا جاءت صفة "متجانس". يتضح أن الحلقة التسلسلية R هي مجموع مباشر محدود من المُثُل اليمينية التسلسلية المتجانسة إذا وفقط إذا كانت R متماثلة مع حلقة مصفوفات كاملة من الرتبة n × n فوق حلقة تسلسلية محلية. تُعرف هذه الحلقات أيضًا باسم الحلقات التسلسلية الأولية القابلة للتحليل . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• فرانك دبليو. أندرسون؛ كينت آر. فولر (1992)، الحلقات وفئات الوحدات ، سبرينغر، الصفحات 347-349 ، ISBN  0-387-97845-3
• تشاترز، أ. و.؛ هاجارنافيس، س. ر. (1980)، الحلقات ذات الشروط المتسلسلة ، مذكرات بحثية في الرياضيات، المجلد  44، بيتمان، ISBN 978-0-273-08446-4
• فاكيني، ألبرتو (1998)، حلقات التشكل الداخلي وتفكيكات المجموع المباشر في بعض فئات الوحدات ، دار نشر بيركهاوزر، رقم ISBN 3-7643-5908-0
• الإيمان، كارل (1976)، الجبر. ثانيا. نظرية الحلقة. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، رقم 191. Springer-Verlag
• فيث، كارل (1999)، الحلقات والأشياء ومجموعة رائعة من الجبر الترابطي في القرن العشرين ، دراسات وأبحاث رياضية، 65. الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-0993-8
• الأماكن القريبة : جوباريني، نادية؛ كيرشينكو، في في (2004)، الجبر، الحلقات والوحدات. المجلد. 1. ، كلوير للنشر الأكاديمي، ISBN 1-4020-2690-0
• بونينسكي، جينادي (2001أ)، حلقات متسلسلة ، دار نشر كلوير الأكاديمية، رقم ISBN 0-7923-7187-9

• أيزنبد، ديفيد؛ غريفيث، فيليب (1971)، "بنية الحلقات المتسلسلة"، مجلة باسيفيك للرياضيات ، 36 : 109-121 ، doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• فاكيني، ألبرتو (1996)، "فشل كرول-شميدت في حالة الوحدات التسلسلية"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 348 (11): 4561-4575 ، doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe، Gottfried (1935)، “Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit Hyperkomplexem Operatorenring. (ألمانية)”، الرياضيات. ز. ، 39 : 31-44 ، دوى : 10.1007 / bf01201343
• ناكاياما، تاداسي (1941)، “في الجبر الفروبينيوسي. II.”، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 42 (1): 1–21 ، دوى : 10.2307/1968984 ، hdl : 10338.dmlcz/140501 ، JSTOR 1968984 
• بريهودا، بافيل (2004)، "نظرية كرول-شميدت الضعيفة وتحليلات المجموع المباشر للوحدات التسلسلية ذات البعد الذهبي المحدود"، مجلة الجبر ، 281 : 332-341 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• بريهودا، بافيل (2006)، "صيغة من نظرية كرول-شميدت الضعيفة للمجاميع المباشرة اللانهائية للوحدات أحادية التسلسل"، مجلة الجبر ، 34 (4): 1479-1487 ، doi : 10.1080/00927870500455049
• بونينسكي، جي تي (2002)، "حلقات أرتينية ونويثرية متسلسلة"، مجلة العلوم الرياضية (نيويورك) ، 110 : 2330-2347 ، doi : 10.1023/A:1014906008243
• بونينسكي، جينادي (2001ب)، "بعض نظرية النماذج على مجال أحادي التسلسل بسيط تقريبًا وتفكيك الوحدات التسلسلية"، مجلة الجبر البحت والتطبيقي ، 163 (3): 319-337 ، doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• بونينسكي، جينادي (2001ج)، "بعض نظرية النماذج على حلقة أحادية التسلسل استثنائية وتفكيك الوحدات التسلسلية"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، 64 (2): 311-326 ، doi : 10.1112/s0024610701002344
• وارفيلد، روبرت ب. الابن (1975)، "الحلقات المتسلسلة والوحدات المعروضة بشكل محدود"، مجلة الجبر ، 37 (2): 187-222 ، doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5