وصف الوظيفة

في نظرية أنظمة التحكم ، تُعدّ طريقة دالة الوصف (DF)، التي طوّرها نيكولاي ميتروفانوفيتش كريلوف ونيكولاي بوغوليوبوف في ثلاثينيات القرن العشرين ^{[ 1 ] [ 2 ]} ووسّعها رالف كوشنبرغر ^{[ 3 ]} ، إجراءً تقريبيًا لتحليل بعض مسائل التحكم غير الخطية . وهي تعتمد على شبه الخطية ، أي تقريب النظام غير الخطي قيد الدراسة بدالة نقل خطية ثابتة مع الزمن (LTI) تعتمد على سعة شكل الموجة المدخلة. وبحسب التعريف، لا يمكن لدالة نقل نظام LTI حقيقي أن تعتمد على سعة دالة الإدخال لأن نظام LTI خطي . وبالتالي، يُولّد هذا الاعتماد على السعة مجموعة من الأنظمة الخطية التي تُدمج في محاولة لالتقاط السمات البارزة لسلوك النظام غير الخطي. تُعد دالة الوصف واحدة من الطرق القليلة القابلة للتطبيق على نطاق واسع لتصميم الأنظمة غير الخطية، وتستخدم على نطاق واسع كأداة رياضية قياسية لتحليل الدورات الحدية في وحدات التحكم ذات الحلقة المغلقة ، مثل التحكم في العمليات الصناعية، والآليات المؤازرة، والمذبذبات الإلكترونية .

لنفترض وجود تغذية راجعة حول خاصية غير خطية متقطعة (لكنها متصلة جزئيًا) (مثل مضخم ذي تشبع، أو عنصر ذي تأثيرات نطاق ميت ) متصلة على التوالي بنظام خطي مستقر وبطيء. تعتمد المنطقة المتصلة التي تُقدم فيها التغذية الراجعة للخاصية غير الخطية على سعة خرج النظام الخطي. مع انخفاض سعة خرج النظام الخطي، قد تنتقل الخاصية غير الخطية إلى منطقة متصلة أخرى. هذا الانتقال من منطقة متصلة إلى أخرى يُمكن أن يُولد تذبذبات دورية . تحاول طريقة دالة الوصف التنبؤ بخصائص هذه التذبذبات (مثل ترددها الأساسي) بافتراض أن النظام البطيء يعمل كمرشح تمرير منخفض أو مرشح تمرير نطاقي يُركز كل الطاقة حول تردد واحد. حتى لو كان لشكل موجة الخرج عدة أنماط، لا تزال الطريقة قادرة على توفير فكرة بديهية عن خصائص مثل التردد وربما السعة؛ في هذه الحالة، يُمكن اعتبار طريقة دالة الوصف بمثابة وصف لنمط الانزلاق لنظام التغذية الراجعة.

باستخدام هذا الافتراض الخاص بتمرير الترددات المنخفضة، يمكن وصف استجابة النظام بواسطة أحد أشكال الموجات الجيبية ؛ في هذه الحالة، سيتم تمييز النظام بواسطة دالة وصف الإدخال الجيبية (SIDF).${\displaystyle H(A,\,j\omega )}$إعطاء استجابة النظام لمدخل يتكون من موجة جيبية ذات سعة A وتردد${\displaystyle \omega }$يُعدّ هذا SIDF تعديلًا لدالة النقل${\displaystyle H(j\omega )}$تُستخدم هذه الطريقة لوصف الأنظمة الخطية. في النظام شبه الخطي، عندما تكون الإشارة الداخلة موجة جيبية، تكون الإشارة الخارجة موجة جيبية بنفس التردد ولكن بسعة مُقاسة وطور مُزاح، كما هو مُبين في المعادلة التالية:${\displaystyle H(A,\,j\omega )}$تتميز العديد من الأنظمة بأنها شبه خطية تقريبًا، بمعنى أنه على الرغم من أن الاستجابة لموجة جيبية ليست موجة جيبية نقية، إلا أن معظم الطاقة في المخرج تكون بالفعل عند نفس التردد.${\displaystyle \omega }$كمدخل. وذلك لأن هذه الأنظمة قد تمتلك خصائص تمرير منخفض أو تمرير نطاقي جوهرية بحيث يتم تخفيف التوافقيات بشكل طبيعي، أو لأنه يتم إضافة مرشحات خارجية لهذا الغرض. ومن التطبيقات المهمة لتقنية SIDF تقدير سعة التذبذب في المذبذبات الإلكترونية الجيبية .

من بين أنواع دوال الوصف الأخرى المستخدمة، دوال الوصف لمدخلات المستوى ومدخلات الضوضاء الغاوسية. ورغم أنها لا تُقدم وصفًا كاملاً للنظام، إلا أن دوال الوصف غالبًا ما تكفي للإجابة عن أسئلة محددة تتعلق بالتحكم والاستقرار. تُعدّ طرق دوال الوصف الأنسب لتحليل الأنظمة ذات اللاخطية الضعيفة نسبيًا. إضافةً إلى ذلك، تصف دوال وصف المدخلات الجيبية من الرتبة العليا (HOSIDF) استجابة فئة من الأنظمة اللاخطية عند توافقيات تردد الإدخال الجيبي. تُعتبر دوال HOSIDF امتدادًا لدوال SIDF للأنظمة التي تكون فيها اللاخطية ذات أهمية في الاستجابة.

على الرغم من أن طريقة دالة الوصف تُنتج نتائج دقيقة إلى حد معقول لفئة واسعة من الأنظمة، إلا أنها قد تفشل فشلاً ذريعاً مع أنظمة أخرى. على سبيل المثال، قد تفشل هذه الطريقة إذا كان النظام يُركز على التوافقيات العليا لللاخطية. وقد قدم تسيبكين أمثلةً على ذلك لأنظمة "بانغ - بانغ" . ^{[ 4 ]} ومن الأمثلة المشابهة إلى حد كبير مذبذب الحلقة المغلقة الذي يتكون من مُشغِّل شميت غير عاكس، يليه مُكامل عاكس يُعيد تغذية خرجه إلى مدخل مُشغِّل شميت. سيكون خرج مُشغِّل شميت عبارة عن موجة مربعة ، بينما سيكون خرج المُكامل (الذي يليه) عبارة عن موجة مثلثية تتطابق قممها مع انتقالات الموجة المربعة. تتأخر كل مرحلة من مرحلتي المذبذب هاتين عن الإشارة بمقدار 90 درجة بالضبط (بالنسبة لمدخلها). إذا أُجري تحليل التردد المتغير على هذه الدائرة، فإن الموجة المثلثية عند مدخل مُشغِّل شميت ستُستبدل بموجتها الأساسية (الموجة الجيبية)، والتي عند مرورها عبر المُشغِّل ستُسبب إزاحة طورية أقل من 90 درجة (لأن الموجة الجيبية ستُشغِّله قبل الموجة المثلثية)، وبالتالي سيبدو النظام وكأنه لا يتذبذب بنفس الطريقة (البسيطة). ^{[ 5 ]}

كذلك، في حالة تحقق شروط حدسي آيزرمان أو كالمان ، لا توجد حلول دورية باستخدام طريقة الدالة الوصفية، ^{[ 6 ] [ 7 ]} ولكن توجد أمثلة مضادة ذات جاذبات دورية خفية . ويمكن بناء أمثلة مضادة لطريقة الدالة الوصفية للأنظمة الديناميكية غير المتصلة عندما يؤدي جزء ثابت إلى تدمير الدورات الحدية المتوقعة. ^{[ 8 ]} لذا، يتطلب تطبيق طريقة الدالة الوصفية تبريراً إضافياً. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• موسوعة الهندسة الكهربائية: وصف الوظائف