نظام خطي ثابت مع الزمن

يتم وصف سلوك النظام الخطي، المستمر في الزمن، وغير المتغير مع الزمن، مع إشارة الإدخال x ( t ) وإشارة الإخراج y ( t ) بواسطة التكامل التلفيفي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$     (باستخدام خاصية التبديل )

أين${\textstyle h(t)}$هي استجابة النظام للنبضة :${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$.${\textstyle y(t)}$وبالتالي، فهو يتناسب مع المتوسط ​​المرجح لدالة الإدخال${\textstyle x(\tau )}$دالة الترجيح هي${\textstyle h(-\tau )}$، يتم تغييرها ببساطة حسب الكمية${\textstyle t}$. مثل${\textstyle t}$عند حدوث تغييرات، تركز دالة الترجيح على أجزاء مختلفة من دالة الإدخال.${\textstyle h(\tau )}$يساوي صفرًا لجميع القيم السالبة${\textstyle \tau }$،${\textstyle y(t)}$يعتمد فقط على قيم${\textstyle x}$قبل الوقت${\textstyle t}$ويُقال إن النظام سببي .

لفهم سبب إنتاج عملية الالتفاف لمخرجات نظام خطي ثابت الزمن، دعونا نستخدم الرمز التالي:${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$تمثيل الوظيفة${\textstyle x(u-\tau )}$مع متغير${\textstyle u}$وثابت${\textstyle \tau }$ودع الترميز المختصر${\textstyle \{x\}}$يمثل${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ثم يقوم نظام الزمن المستمر بتحويل دالة الإدخال،${\textstyle \{x\},}$إلى دالة إخراج،${\textstyle \{y\}}$وبشكل عام، يمكن أن تعتمد كل قيمة من قيم المخرجات على كل قيمة من قيم المدخلات. ويُعبَّر عن هذا المفهوم بما يلي: $${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$ أين${\textstyle O_{t}}$هو عامل التحويل الزمني${\textstyle t}$في نظام نموذجي،${\textstyle y(t)}$يعتمد ذلك بشكل كبير على قيم${\textstyle x}$حدث ذلك في وقت قريب${\textstyle t}$إلا إذا تغير التحويل نفسه مع${\textstyle t}$، دالة الإخراج ثابتة فقط، والنظام غير مثير للاهتمام.

بالنسبة للنظام الخطي،${\textstyle O}$يجب أن تحقق المعادلة 1 :

${\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau$ ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty}^{\infty}c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .}

المعادلة 2

وشرط عدم تغير الزمن هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

المعادلة 3

في هذه الصيغة، يمكننا كتابة استجابة النبضة على النحو التالي:${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

بصورة مماثلة:

${\displaystyle h(t-\tau )}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle =O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.}$     (باستخدام المعادلة 3 )

بإدخال هذه النتيجة في التكامل التلفيفي: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

والذي يأخذ شكل الطرف الأيمن من المعادلة 2 في هذه الحالة${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$و${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

تسمح المعادلة 2 بهذا الاستمرار: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau$$ ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}

باختصار، دالة الإدخال،${\textstyle \{x\}}$يمكن تمثيل النظام بواسطة سلسلة متصلة من دوال النبض المزاحة زمنيًا، والمجمعة "خطيًا"، كما هو موضح في المعادلة 1. تسمح خاصية الخطية للنظام بتمثيل استجابته بواسطة سلسلة متصلة مماثلة من استجابات النبض ، والمجمعة بنفس الطريقة. كما تسمح خاصية الثبات الزمني بتمثيل هذا المزيج بواسطة التكامل التلفيفي.

يمكن تمثيل العمليات الرياضية المذكورة أعلاه بيانياً بشكل بسيط. ^{[ 6 ]}

الدالة الذاتية هي دالة يكون ناتج المؤثر عليها نسخة مُقاسة من نفس الدالة. أي، $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$ حيث f هي الدالة الذاتية و${\displaystyle \lambda }$القيمة الذاتية هي قيمة ثابتة.

الدوال الأسية${\displaystyle Ae^{st}}$، أين${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$هي دوال ذاتية لمؤثر خطي ثابت مع الزمن . يوضح برهان بسيط هذا المفهوم. لنفترض أن المدخل هو${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$. خرج النظام مع استجابة نبضية${\displaystyle h(t)}$ثم $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$ وهو ما يكافئ، بحسب خاصية التبديل في عملية الالتفاف ، ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\,\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda }\,,\\\end{aligned}}}$$

حيث الكمية القياسية $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$ يعتمد فقط على المعامل s .

لذا فإن استجابة النظام هي نسخة مُعدّلة من المدخلات. على وجه الخصوص، لأي${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$يكون ناتج النظام هو حاصل ضرب المدخلات${\displaystyle Ae^{st}}$والثابت${\displaystyle H(s)}$. لذلك،${\displaystyle Ae^{st}}$هي دالة ذاتية لنظام خطي ثابت الزمن، والقيمة الذاتية المقابلة هي${\displaystyle H(s)}$.

تُعد خاصية الدوال الذاتية للدوال الأسية مفيدة للغاية لتحليل وفهم أنظمة LTI. تحويل لابلاس أحادي الجانب$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$ هذه هي الطريقة المثلى للحصول على القيم الذاتية من استجابة النبضة. ومن بينها، تحظى الدوال الجيبية النقية (أي الدوال الأسية من الشكل) باهتمام خاص.${\displaystyle e^{j\omega t}}$أين${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$و${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$). تحويل فورييه${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$يُعطي القيم الذاتية للدوال الجيبية المركبة النقية. كلاهما${\displaystyle H(s)}$و${\displaystyle H(j\omega )}$وتسمى هذه الوظائف بوظيفة النظام ، أو استجابة النظام ، أو وظيفة التحويل .

يُستخدم تحويل لابلاس عادةً في سياق الإشارات أحادية الجانب، أي الإشارات التي تساوي صفرًا لجميع قيم t الأقل من قيمة معينة. عادةً ما يتم ضبط "وقت البدء" هذا على الصفر، تسهيلاً للحساب ودون فقدان للعمومية ، مع حساب تكامل التحويل من الصفر إلى ما لا نهاية (يُعرف التحويل الموضح أعلاه بحد أدنى للتكامل يساوي سالب ما لا نهاية رسميًا باسم تحويل لابلاس الثنائي ).

يُستخدم تحويل فورييه لتحليل الأنظمة التي تعالج إشارات ذات امتداد لانهائي، مثل الموجات الجيبية المُعدّلة، على الرغم من أنه لا يمكن تطبيقه مباشرةً على إشارات الإدخال والإخراج غير القابلة للتكامل التربيعي . في المقابل، يعمل تحويل لابلاس مباشرةً مع هذه الإشارات إذا كانت قيمتها صفرًا قبل لحظة البدء، حتى وإن لم تكن قابلة للتكامل التربيعي، وذلك في الأنظمة المستقرة. غالبًا ما يُطبّق تحويل فورييه على أطياف الإشارات اللانهائية باستخدام نظرية وينر-خينشين، حتى في حال عدم وجود تحويلات فورييه للإشارات.

بسبب خاصية الالتفاف لكلا التحويلين، يمكن تحويل الالتفاف الذي يُعطي مُخرجات النظام إلى عملية ضرب في مجال التحويل، وذلك بإعطاء إشارات توجد لها هذه التحويلات. $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

يمكن استخدام استجابة النظام مباشرةً لتحديد كيفية تعامل النظام مع أي مكون ترددي معين باستخدام تحويل لابلاس هذا. عند تقييم استجابة النظام (تحويل لابلاس لاستجابة النبضة) عند التردد المركب s = jω ، حيث ω = 2πf ، نحصل على | H ( s )|، وهو كسب النظام عند التردد f . وبالمثل، يُعطى فرق الطور النسبي بين الخرج والمدخل لهذا المكون الترددي بواسطة arg( H ( s )).

من أهم خصائص النظام السببية والاستقرار. تُعدّ السببية شرطًا أساسيًا للنظام الفيزيائي الذي يكون متغيره المستقل هو الزمن، إلا أن هذا القيد غير موجود في حالات أخرى مثل معالجة الصور.

في كثير من السياقات، يُعد نظام الزمن المتقطع جزءًا من نظام زمني متصل أكبر. على سبيل المثال، يقوم نظام التسجيل الرقمي بتحويل الصوت التناظري إلى صوت رقمي، وربما معالجة الإشارات الرقمية، ثم إعادة تشغيل الصوت التناظري ليسمعه الناس.

في الأنظمة العملية، عادةً ما تكون إشارات DT المُستحصلة عبارة عن نسخ مُنتظمة من إشارات CT. إذا${\displaystyle x(t)}$إذا كانت الإشارة من نوع CT، فإن دائرة أخذ العينات المستخدمة قبل محول التناظري إلى الرقمي ستقوم بتحويلها إلى إشارة DT: $${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$ حيث T هي فترة أخذ العينات . قبل أخذ العينات، تُمرر إشارة الإدخال عادةً عبر ما يُسمى بمرشح نايكويست ، الذي يُزيل الترددات التي تزيد عن "تردد الطي" 1/(2T)؛ وهذا يضمن عدم فقدان أي معلومات في الإشارة المُرشحة. بدون ترشيح، يُشوه أي مُركب ترددي أعلى من تردد الطي (أو تردد نايكويست ) إلى تردد مختلف (مما يُشوه الإشارة الأصلية)، لأن إشارة DT لا تدعم إلا مُركبات ترددية أقل من تردد الطي.

يترك${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$تمثيل التسلسل${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

ودع الترميز المختصر${\displaystyle \{x\}}$يمثل${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

يقوم النظام المنفصل بتحويل سلسلة المدخلات،${\displaystyle \{x\}}$إلى تسلسل إخراج،${\displaystyle \{y\}.}$بشكل عام، يمكن أن يعتمد كل عنصر من عناصر المخرجات على كل عنصر من عناصر المدخلات. ويمكن تمثيل عامل التحويل بواسطة${\displaystyle O}$يمكننا أن نكتب: $${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

لاحظ أنه ما لم يتغير التحويل نفسه مع n ، فإن تسلسل الإخراج يظل ثابتًا، ويصبح النظام غير مثير للاهتمام. (ومن هنا جاء الرمز السفلي n ). في نظام نموذجي، يعتمد y [ n ] بشكل كبير على عناصر x التي تكون مؤشراتها قريبة من n .

في الحالة الخاصة لدالة دلتا كرونكر ،${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$تسلسل الإخراج هو استجابة النبضة : $${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

بالنسبة للنظام الخطي،${\displaystyle O}$يجب أن يستوفي الشروط التالية:

${\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.}$

المعادلة 4

وشرط عدم تغير الزمن هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}}$

المعادلة 5

في مثل هذا النظام، تكون استجابة النبضة،${\displaystyle \{h\}}$تُحدد هذه المعادلة خصائص النظام بشكل كامل. أي أنه لأي تسلسل إدخال، يمكن حساب تسلسل الإخراج بدلالة الإدخال واستجابة النبضة. لفهم كيفية ذلك، انظر إلى المتطابقة التالية: $${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

والتي تعبر عن${\displaystyle \{x\}}$من حيث مجموع دوال دلتا الموزونة.

لذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

حيث قمنا بتطبيق المعادلة 4 في هذه الحالة${\displaystyle c_{k}=x[k]}$و${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$.

وبسبب المعادلة 5 ، يمكننا أن نكتب: $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

لذلك:

${\displaystyle y[n]}$	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]}$
	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],}$     ( خاصية التبديل )

وهي صيغة الالتفاف المنفصلة المألوفة. المؤثر${\displaystyle O_{n}}$وبالتالي، يمكن تفسيرها على أنها تتناسب مع المتوسط ​​المرجح للدالة x [ k ]. دالة الترجيح هي h [−k ] ، مُزاحة ببساطة بمقدار n . مع تغير n ، تُبرز دالة الترجيح أجزاءً مختلفة من دالة الإدخال. وبالمثل، فإن استجابة النظام لنبضة عند n = 0 هي نسخة معكوسة زمنيًا من دالة الترجيح غير المُزاحة. عندما تكون h [ k ] صفرًا لجميع قيم k السالبة ، يُقال إن النظام سببي .

الدالة الذاتية هي دالة يكون ناتج المؤثر لها هو نفس الدالة، مضروبًا في ثابت معين. بالرموز، $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

حيث f هي الدالة الذاتية و${\displaystyle \lambda }$القيمة الذاتية هي قيمة ثابتة.

الدوال الأسية${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$، أين${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$، هي دوال ذاتية لمؤثر خطي ثابت مع الزمن .${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$هي فترة أخذ العينات، و${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$. يوضح برهان بسيط هذا المفهوم.

لنفترض أن المدخل هو${\displaystyle x[n]=z^{n}}$. خرج النظام مع استجابة نبضية${\displaystyle h[n]}$ثم $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

وهو ما يكافئ ما يلي بحسب خاصية التبديل في عملية الالتفاف$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$ أين $${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$ يعتمد فقط على المعامل z .

لذا${\displaystyle z^{n}}$هي دالة ذاتية لنظام خطي ثابت الزمن لأن استجابة النظام هي نفسها المدخل مضروبًا في ثابت${\displaystyle H(z)}$.

تُعد خاصية الدوال الذاتية للدوال الأسية مفيدة للغاية لتحليل وفهم أنظمة LTI. تحويل Z$${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

هذه هي الطريقة المثلى للحصول على القيم الذاتية من استجابة النبضة. ومن بينها الدوال الجيبية النقية، أي الدوال الأسية من الشكل التالي:${\displaystyle e^{j\omega n}}$، أين${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ويمكن كتابة هذه أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle z^{n}}$مع${\displaystyle z=e^{j\omega }}$تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT)${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$يعطي القيم الذاتية للدوال الجيبية النقية . كلاهما${\displaystyle H(z)}$و${\displaystyle H(e^{j\omega })}$وتسمى هذه الوظائف بوظيفة النظام ، أو استجابة النظام ، أو وظيفة التحويل .

على غرار تحويل لابلاس أحادي الجانب، يُستخدم تحويل Z عادةً في سياق الإشارات أحادية الجانب، أي الإشارات التي تساوي صفرًا عندما t<0. ويمكن استخدام متسلسلة فورييه لتحويل فورييه الزمني المتقطع لتحليل الإشارات الدورية.

بسبب خاصية الالتفاف لكلا التحويلين، يمكن تحويل الالتفاف الذي يُعطي مُخرجات النظام إلى عملية ضرب في مجال التحويل. أي، $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

تمامًا كما هو الحال مع دالة نقل تحويل لابلاس في تحليل النظام ذي الزمن المستمر، فإن تحويل Z يجعل من السهل تحليل الأنظمة واكتساب نظرة ثاقبة لسلوكها.

تُوصَف خصائص الإدخال والإخراج لنظام LTI ذي الزمن المتقطع وصفًا كاملاً من خلال استجابته النبضية.${\displaystyle h[n]}$من أهم خصائص النظام السببية والاستقرار. يمكن تعريف الأنظمة غير السببية (زمنيًا) وتحليلها كما سبق، لكن لا يمكن تحقيقها في الوقت الحقيقي. كما يمكن تحليل الأنظمة غير المستقرة وبناؤها، لكنها لا تُفيد إلا كجزء من نظام أكبر ذي دالة نقل مستقرة .