التفاضل من النوع الأول

في الرياضيات ، يُعدّ مصطلح "التفاضل من النوع الأول" مصطلحًا تقليديًا يُستخدم في نظريات أسطح ريمان (وبشكل أعم، المشعبات المركبة ) والمنحنيات الجبرية (وبشكل أعم، الأصناف الجبرية ) للأشكال التفاضلية من النوع الأول المنتظمة في كل مكان . وبالتالي، إذا كان لدينا مشعب مركب M ، فإن التفاضل من النوع الأول ω هو نفسه شكل تفاضلي من النوع الأول يكون تام الشكل في كل مكان .

إن بُعد فضاء التفاضلات من النوع الأول، عن طريق هذا التحديد، هو عدد هودج

h ^1,0 .

تؤدي التفاضلات من النوع الأول، عند تكاملها على طول المسارات، إلى تكاملات تعمم التكاملات الإهليلجية على جميع المنحنيات فوق الأعداد المركبة . وتشمل، على سبيل المثال، التكاملات فوق الإهليلجية من النوع

${\displaystyle \int {\frac {x^{k}\,dx}{\sqrt {Q(x)}}}}$

حيث Q دالة متعددة الحدود خالية من المربعات من أي درجة معطاة أكبر  من 4. يجب تحديد  القوة المسموح بها k من خلال تحليل القطب المحتمل عند النقطة اللانهائية على المنحنى الزائدي الإهليلجي المقابل . عند القيام بذلك، نجد أن الشرط هو

k ≤ g − 1,

أو بعبارة أخرى، k على الأكثر 1 لدرجة Q 5 أو 6، وعلى الأكثر 2 للدرجة 7 أو 8، وهكذا (كما g = [(1+ deg Q )/2]).

بشكل عام، وكما يوضح هذا المثال، بالنسبة لسطح ريمان مضغوط أو منحنى جبري ، فإن عدد هودج هو الجنس g . في حالة الأسطح الجبرية ، يُعرف هذا العدد بالكمية الكلاسيكية باسم عدم الانتظام q . وهو أيضاً، بشكل عام، بُعد منوع ألبانيز ، الذي يحل محل منوع جاكوبيان .

كما تضمنت المصطلحات التقليدية التفاضلات من النوع الثاني ومن النوع الثالث .

تُعرف دالة زيتا لـ Weierstrass في نظرية الدوال الإهليلجية بالتكامل من النوع الثاني ؛ وهي مشتقة لوغاريتمية لدالة ثيتا ، وبالتالي لها أقطاب بسيطة ، مع بواقي صحيحة. ويُشابه تحليل الدالة الإهليلجية ( الميرومورفية ) إلى أجزاء من "ثلاثة أنواع" تمثيلها على النحو التالي: (أ) ثابت، بالإضافة إلى (ب) توليفة خطية من إزاحات دالة زيتا لـ Weierstrass، بالإضافة إلى (ج) دالة ذات أقطاب عشوائية ولكن بدون بواقي عندها.

من جهة أخرى، يُعتبر التفاضل الأبلي الميرومورفي من النوع الثاني تقليديًا تفاضلًا تكون فيه البواقي عند جميع الأقطاب صفرًا. أما التفاضل من النوع الثالث، فتكون فيه جميع الأقطاب بسيطة. ويوجد نظير له في أبعاد أعلى، باستخدام باقِي بوانكاريه .

لنفترض أن سطح ريمان مضغوط${\displaystyle S}$يتم تقديمها، إلى جانب مجموعة من الدورات${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{2g}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle H_{1}(S,\mathbb {Z} )}$، صادرة من نقطة أساسية مشتركة${\displaystyle s_{0}\in S}$. يترك${\displaystyle \omega }$ليكن تفاضلاً شكلياً على${\displaystyle S}$، و${\displaystyle \eta }$تفاضل ميرومورفي ذو أقطاب بسيطة فقط، عند${\displaystyle s_{k}\in S}$تأجير $${\displaystyle \Pi _{k}=\int _{\delta _{k}}\omega }$$$${\displaystyle N_{k}=\int _{\delta _{k}}\eta ,}$$ لدينا قانون أبيل للتبادلية للتفاضلات من النوع الأول والثالث ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{g}(\Pi _{k}N_{g+k}-\Pi _{g+k}N_{k})=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} _{s_{k}}(\eta )\int _{s_{0}}^{s_{k}}\omega .}$$ في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle \eta }$وهو أيضًا تفاضل من النوع الأول، وهذا يعيد العلاقة الثنائية الخطية الأولى لريمان .

• خريطة أبيل-جاكوبي
• الصيغة اللوغاريتمية

• "التفاضل الأبلي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• غريفيث، فيليب؛ هاريس، جوزيف (1978)، مبادئ الهندسة الجبرية ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، نيويورك: جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-471-32792-9