دالة ثيتا جاكوبي θ 1 q = e i π τ e 0.1 i π θ 1 ( z ، q ) = 2 q 1 4 ∑ ن = 0 ∞ ( - 1 ) ن q ن ( ن + 1 ) الخطيئة ( 2 ن + 1 ) z = ∑ ن = - ∞ ∞ ( - 1 ) ن - 1 2 q ( ن + 1 2 ) 2 هـ ( 2 ن + 1 ) أنا z . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{محاذاة}}} في الرياضيات ، تُعدّ دوال ثيتا دوالًا خاصة لعدة متغيرات مركبة . وهي في جوهرها عائلة من الدوال المتصلة التي تُجسّد سلوك الأنظمة الدورية متعددة الأبعاد المنفصلة ، مثل الشبكات البلورية أو النقاط على سطح حلقي . ولأنها سلسة، فإنها تُتيح دراسة ومعالجة الأنظمة التوافقية المنفصلة باستخدام أدوات التحليل .
ولهذا السبب، فإن دوال ثيتا لها تطبيقات مفيدة في مواضيع مثل
وغيرها، بما في ذلك الأصناف الأبيلية ، والفضاءات المعيارية ، والأشكال التربيعية ، والسوليتونات .
دوال ثيتا في بعدين هي دوال لمتغيرين مركبين. في اختيار واحد للمعامل، على سبيل المثال،z {\displaystyle z} τ {\displaystyle \tau } q {\displaystyle q} مجال أنبوبي داخل فضاء لاغرانجي معقد من نوع غراسمان ، [ 1 ] فضاء سيجل العلوي النصفي .
الوظائف المساعدة تُعتبر دالة جاكوبي ثيتا المحددة أعلاه أحيانًا جنبًا إلى جنب مع ثلاث دوال ثيتا مساعدة، وفي هذه الحالة تُكتب برمز سفلي مزدوج 0:
ϑ ٠٠ ( z ؛ τ ) = ϑ ( z ؛ τ ) {\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )} يتم تعريف الدوال المساعدة (أو دوال نصف الدورة) بواسطة
ϑ 01 ( z ؛ τ ) = ϑ ( z + 1 2 ؛ τ ) ϑ 10 ( z ؛ τ ) = خبرة ( 1 4 π أنا τ + π أنا z ) ϑ ( z + 1 2 τ ؛ τ ) ϑ 11 ( z ؛ τ ) = خبرة ( 1 4 π أنا τ + π أنا ( z + 1 2 ) ) ϑ ( z + 1 2 τ + 1 2 ؛ τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\يمين)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}} تتبع هذه الصيغة ريمان ومومفورد ؛ وكانت صياغة جاكوبي الأصلية بدلالة الاسم q = e iπτ τ . في صيغة جاكوبي، تُكتب دوال θ على النحو التالي :
θ 1 ( z ؛ q ) = θ 1 ( π z ، q ) = - ϑ 11 ( z ؛ τ ) θ 2 ( z ؛ q ) = θ 2 ( π z ، q ) = ϑ 10 ( z ؛ τ ) θ 3 ( z ؛ q ) = θ 3 ( π z ، q ) = ϑ ٠٠ ( z ؛ τ ) θ 4 ( z ؛ q ) = θ 4 ( π z ، q ) = ϑ 01 ( z ؛ τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}} جاكوبي ثيتا 1 جاكوبي ثيتا 2 جاكوبي ثيتا 3 جاكوبي ثيتا 4 إنّ التعريفات المذكورة أعلاه لدوال جاكوبي ثيتا ليست فريدة بأي حال من الأحوال. انظر دوال جاكوبي ثيتا (الاختلافات في الترميز) لمزيد من التفاصيل.
إذا وضعنا z = 0τ فقط، مُعرَّفة على النصف العلوي من المستوى المركب. تُسمى هذه الدوال دوال ثيتا الصفرية ، نسبةً إلى المصطلح الألماني الذي يعني القيمة الصفرية ، وذلك بسبب إلغاء العنصر الأيسر في تعبير دالة ثيتا. وبدلاً من ذلك، نحصل على أربع دوال لـ q فقط، مُعرَّفة على قرص الوحدة. | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} ثوابت ثيتا : [ ملاحظة 2 ]
ϑ 11 ( 0 ؛ τ ) = - θ 1 ( q ) = - ∑ ن = - ∞ ∞ ( - 1 ) ن - 1 / 2 q ( ن + 1 / 2 ) 2 ϑ 10 ( 0 ؛ τ ) = θ 2 ( q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ q ( ن + 1 / 2 ) 2 ϑ ٠٠ ( 0 ؛ τ ) = θ 3 ( q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ q ن 2 ϑ 01 ( 0 ؛ τ ) = θ 4 ( q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ ( - 1 ) ن q ن 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}} باستخدام الاسم q = e iπτ θ 1 ( q ) = 0 {\displaystyle \theta _{1}(q)=0} الأشكال المعيارية ، ولتمثيل بعض المنحنيات؛ وعلى وجه الخصوص، فإن متطابقة جاكوبي هي
θ 2 ( q ) 4 + θ 4 ( q ) 4 = θ 3 ( q ) 4 {\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}} أو ما يعادل ذلك،
ϑ 01 ( 0 ؛ τ ) 4 + ϑ 10 ( 0 ؛ τ ) 4 = ϑ ٠٠ ( 0 ؛ τ ) 4 {\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}} وهو منحنى فيرما من الدرجة الرابعة.
هويات جاكوبي تصف متطابقات جاكوبي كيفية تحول دوال ثيتا تحت المجموعة النمطية ، المولدة بواسطة τ ↦ τ + 1τ ↦ − 1 / τ . τ في الأس له نفس تأثير إضافة 1 / 2 إلى z ( حيث n n² mod 2 ) . أما بالنسبة للتحويل الثاني ، فلنفرض
α = ( - أنا τ ) 1 2 خبرة ( π τ أنا z 2 ) . {\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).} ثم
ϑ ٠٠ ( z τ ؛ - 1 τ ) = α ϑ ٠٠ ( z ؛ τ ) ϑ 01 ( z τ ؛ - 1 τ ) = α ϑ 10 ( z ؛ τ ) ϑ 10 ( z τ ؛ - 1 τ ) = α ϑ 01 ( z ؛ τ ) ϑ 11 ( z τ ؛ - 1 τ ) = - أنا α ϑ 11 ( z ؛ τ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}
دالة ثيتا بدلالة الاسم بدلاً من التعبير عن دوال ثيتا بدلالة z و τ ، يمكننا التعبير عنها بدلالة الوسيطين w والاسم q ، حيث w = e πiz و = e πiτ .
ϑ ٠٠ ( w ، q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ ( w 2 ) ن q ن 2 ϑ 01 ( w ، q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ ( - 1 ) ن ( w 2 ) ن q ن 2 ϑ 10 ( w ، q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ ( w 2 ) ن + 1 2 q ( ن + 1 2 ) 2 ϑ 11 ( w ، q ) = أنا ∑ ن = - ∞ ∞ ( - 1 ) ن ( w 2 ) ن + 1 2 q ( ن + 1 2 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}} نلاحظ أنه يمكن تعريف دوال ثيتا بدلالة w و q ، دون الحاجة إلى إشارة مباشرة إلى الدالة الأسية . وبالتالي، يمكن استخدام هذه الصيغ لتعريف دوال ثيتا على حقول أخرى قد لا تكون الدالة الأسية مُعرَّفة فيها في كل مكان، مثل حقول الأعداد p
تمثيلات المنتج يُخبرنا حاصل الضرب الثلاثي لجاكوبي ( وهو حالة خاصة من متطابقات ماكدونالد ) أنه بالنسبة للأعداد المركبة w و q حيث | q | < 1w ≠ 0،
∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 + w 2 q 2 م - 1 ) ( 1 + w - 2 q 2 م - 1 ) = ∑ ن = - ∞ ∞ w 2 ن q ن 2 . {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} يمكن إثبات ذلك بوسائل بسيطة، كما هو الحال في كتاب هاردي ورايت " مقدمة في نظرية الأعداد"
إذا عبّرنا عن دالة ثيتا بدلالة الاسم q = e πiτ q = e 2 πiτ w = e πiz
ϑ ( z ؛ τ ) = ∑ ن = - ∞ ∞ خبرة ( π أنا τ ن 2 ) خبرة ( 2 π أنا z ن ) = ∑ ن = - ∞ ∞ w 2 ن q ن 2 . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} وبالتالي نحصل على صيغة ضرب لدالة ثيتا على الصورة التالية
ϑ ( z ؛ τ ) = ∏ م = 1 ∞ ( 1 - خبرة ( 2 م π أنا τ ) ) ( 1 + خبرة ( ( 2 م - 1 ) π أنا τ + 2 π أنا z ) ) ( 1 + خبرة ( ( 2 م - 1 ) π أنا τ - 2 π أنا z ) ) . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.} من حيث w و q :
ϑ ( z ؛ τ ) = ∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 + q 2 م - 1 w 2 ) ( 1 + q 2 م - 1 w 2 ) = ( q 2 ؛ q 2 ) ∞ ( - w 2 q ؛ q 2 ) ∞ ( - q w 2 ؛ q 2 ) ∞ = ( q 2 ؛ q 2 ) ∞ θ ( - w 2 q ؛ q 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}} حيث ( ; ) ∞ هو رمز بوخامر- q θ ( ; ) دالة ثيتا- q
∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 + ( w 2 + w - 2 ) q 2 م - 1 + q 4 م - 2 ) ، {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},} والتي يمكننا كتابتها أيضاً على النحو التالي:
ϑ ( z | q ) = ∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 + 2 كوس ( 2 π z ) q 2 م - 1 + q 4 م - 2 ) . {\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).} هذا الشكل صحيح بشكل عام، ولكنه ذو أهمية خاصة عندما يكون z عددًا حقيقيًا. صيغ الضرب المماثلة لدوال ثيتا المساعدة هي
ϑ 01 ( z | q ) = ∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 - 2 كوس ( 2 π z ) q 2 م - 1 + q 4 م - 2 ) ، ϑ 10 ( z | q ) = 2 q 1 4 كوس ( π z ) ∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 + 2 كوس ( 2 π z ) q 2 م + q 4 م ) ، ϑ 11 ( z | q ) = - 2 q 1 4 الخطيئة ( π z ) ∏ م = 1 ∞ ( 1 - q 2 م ) ( 1 - 2 كوس ( 2 π z ) q 2 م + q 4 م ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}} بخاصة،ليم q → 0 ϑ 10 ( z | q ) 2 q 1 4 = كوس ( π z ) ، ليم q → 0 - ϑ 11 ( z | q ) 2 q 1 4 = الخطيئة ( π z ) {\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\sin(\pi z)} الخطيئة ، كوس {\displaystyle \sin ,\cos }
التمثيلات التكاملية تتضمن دوال جاكوبي ثيتا التمثيلات التكاملية التالية:
ϑ ٠٠ ( z ؛ τ ) = - أنا ∫ أنا - ∞ أنا + ∞ هـ أنا π τ u 2 كوس ( 2 π u z + π u ) الخطيئة ( π u ) د u ؛ ϑ 01 ( z ؛ τ ) = - أنا ∫ أنا - ∞ أنا + ∞ هـ أنا π τ u 2 كوس ( 2 π u z ) الخطيئة ( π u ) د u ؛ ϑ 10 ( z ؛ τ ) = - أنا هـ أنا π z + 1 4 أنا π τ ∫ أنا - ∞ أنا + ∞ هـ أنا π τ u 2 كوس ( 2 π u z + π u + π τ u ) الخطيئة ( π u ) د u ؛ ϑ 11 ( z ؛ τ ) = هـ أنا π z + 1 4 أنا π τ ∫ أنا - ∞ أنا + ∞ هـ أنا π τ u 2 كوس ( 2 π u z + π τ u ) الخطيئة ( π u ) د u . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}} دالة ثيتا نولويرتθ 3 ( q ) {\displaystyle \theta _{3}(q)}
θ 3 ( q ) = 1 + 4 q ln ( 1 / q ) π ∫ 0 ∞ خبرة [ - ln ( 1 / q ) x 2 ] { 1 - q 2 كوس [ 2 ln ( 1 / q ) x ] } 1 - 2 q 2 كوس [ 2 ln ( 1 / q ) x ] + q 4 د x {\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x} تمت مناقشة هذه الصيغة في مقال " تحويلات الدوال المولدة للمتسلسلات المربعة" الذي كتبه عالم الرياضيات ماكسي شميدت من جورجيا في أتلانتا.
وبناءً على هذه الصيغة، تُقدَّم الأمثلة الثلاثة البارزة التالية:
[ 2 π ك ( 1 2 2 ) ] 1 / 2 = θ 3 [ خبرة ( - π ) ] = 1 + 4 خبرة ( - π ) ∫ 0 ∞ خبرة ( - π x 2 ) [ 1 - خبرة ( - 2 π ) كوس ( 2 π x ) ] 1 - 2 خبرة ( - 2 π ) كوس ( 2 π x ) + خبرة ( - 4 π ) د x {\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x} [ 2 π ك ( 2 - 1 ) ] 1 / 2 = θ 3 [ خبرة ( - 2 π ) ] = 1 + 4 2 4 خبرة ( - 2 π ) ∫ 0 ∞ خبرة ( - 2 π x 2 ) [ 1 - خبرة ( - 2 2 π ) كوس ( 2 2 π x ) ] 1 - 2 خبرة ( - 2 2 π ) كوس ( 2 2 π x ) + خبرة ( - 4 2 π ) د x {\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x} { 2 π ك [ الخطيئة ( π 12 ) ] } 1 / 2 = θ 3 [ خبرة ( - 3 π ) ] = 1 + 4 3 4 خبرة ( - 3 π ) ∫ 0 ∞ خبرة ( - 3 π x 2 ) [ 1 - خبرة ( - 2 3 π ) كوس ( 2 3 π x ) ] 1 - 2 خبرة ( - 2 3 π ) كوس ( 2 3 π x ) + خبرة ( - 4 3 π ) د x {\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x} علاوة على ذلك، أمثلة ثيتاθ 3 ( 1 2 ) {\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})} θ 3 ( 1 3 ) {\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}
θ 3 ( 1 2 ) = 1 + 2 ∑ ن = 1 ∞ 1 2 ن 2 = 1 + 2 π - 1 / 2 ln ( 2 ) ∫ 0 ∞ خبرة [ - ln ( 2 ) x 2 ] { 16 - 4 كوس [ 2 ln ( 2 ) x ] } 17 - 8 كوس [ 2 ln ( 2 ) x ] د x {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x} θ 3 ( 1 2 ) = 2.128936827211877158669 ... {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=2.128936827211877158669\ldots } θ 3 ( 1 3 ) = 1 + 2 ∑ ن = 1 ∞ 1 3 ن 2 = 1 + 4 3 π - 1 / 2 ln ( 3 ) ∫ 0 ∞ خبرة [ - ln ( 3 ) x 2 ] { 81 - 9 كوس [ 2 ln ( 3 ) x ] } 82 - 18 كوس [ 2 ln ( 3 ) x ] د x {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x} θ 3 ( 1 3 ) = 1.691459681681715341348 ... {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1.691459681681715341348\ldots }
القيم الصريحة يعود الفضل في معظم هذه النتائج إلى رامانوجان. انظر دفتر ملاحظات رامانوجان المفقود ومرجعًا ذا صلة في دالة أويلر . نتائج رامانوجان المذكورة في دالة أويلر، بالإضافة إلى بعض العمليات الأولية، تعطي النتائج أدناه، لذا فهي إما موجودة في دفتر ملاحظات رامانوجان المفقود أو مستنتجة منه مباشرةً. انظر أيضًا يي (2004). [ 4 ]
φ ( q ) = ϑ ٠٠ ( 0 ؛ τ ) = θ 3 ( 0 ؛ q ) = ∑ ن = - ∞ ∞ q ن 2 {\displaystyle \quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} مع الاسمq = هـ π أنا τ ، {\displaystyle q=e^{\pi i\tau },} τ = ن - 1 ، {\displaystyle \tau =n{\sqrt {-1}},} إيتا لديديكيند η ( τ ) . {\displaystyle \eta (\tau ).} ن = 1 ، 2 ، 3 ، ... {\displaystyle n=1,2,3,\dots }
φ ( هـ - π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) = 2 η ( - 1 ) φ ( هـ - 2 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 2 2 φ ( هـ - 3 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 + 3 108 8 φ ( هـ - 4 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 8 4 4 φ ( هـ - 5 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 5 5 φ ( هـ - 6 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 12 3 8 φ ( هـ - 7 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 13 + 7 + 7 + 3 7 14 3 8 ⋅ 7 16 φ ( هـ - 8 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 + 2 + 128 8 4 φ ( هـ - 9 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 + 2 + 2 3 3 3 φ ( هـ - 10 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 64 4 + 80 4 + 81 4 + 100 4 200 4 φ ( هـ - 11 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 11 + 11 + ( 5 + 3 3 + 11 + 33 ) - 44 + 33 3 3 + ( - 5 + 3 3 - 11 + 33 ) 44 + 33 3 3 52180524 8 φ ( هـ - 12 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 + 18 4 + 24 4 2 108 8 φ ( هـ - 13 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 13 + 8 13 + ( 11 - 6 3 + 13 ) 143 + 78 3 3 + ( 11 + 6 3 + 13 ) 143 - 78 3 3 19773 4 φ ( هـ - 14 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 13 + 7 + 7 + 3 7 + 10 + 2 7 + 28 8 4 + 7 28 7 16 φ ( هـ - 15 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 7 + 3 3 + 5 + 15 + 60 4 + 1500 4 12 3 8 ⋅ 5 2 φ ( هـ - 16 π ) = φ ( هـ - 4 π ) + π 4 Γ ( 3 4 ) 1 + 2 4 128 16 φ ( هـ - 17 π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) 2 ( 1 + 17 4 ) + 17 8 5 + 17 17 + 17 17 2 φ ( هـ - 20 π ) = φ ( هـ - 5 π ) + π 4 Γ ( 3 4 ) 3 + 2 5 4 5 2 6 φ ( هـ - 36 π ) = 3 φ ( هـ - 9 π ) + 2 φ ( هـ - 4 π ) - φ ( هـ - π ) + π 4 Γ ( 3 4 ) 2 4 + 18 4 + 216 4 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}} إذا رُفع مقلوب ثابت جيلفوند إلى قوة مقلوب عدد فردي، فإن الناتج المقابل ϑ ٠٠ {\displaystyle \vartheta _{00}} ϕ {\displaystyle \phi } دالة الجيب الزائدية :
φ [ خبرة ( - 1 5 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) - 1 slh ( 1 5 2 ϖ ) slh ( 2 5 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ خبرة ( - 1 7 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) - 1 slh ( 1 7 2 ϖ ) slh ( 2 7 2 ϖ ) slh ( 3 7 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ خبرة ( - 1 9 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) - 1 slh ( 1 9 2 ϖ ) slh ( 2 9 2 ϖ ) slh ( 3 9 2 ϖ ) slh ( 4 9 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ خبرة ( - 1 11 π ) ] = π 4 Γ ( 3 4 ) - 1 slh ( 1 11 2 ϖ ) slh ( 2 11 2 ϖ ) slh ( 3 11 2 ϖ ) slh ( 4 11 2 ϖ ) slh ( 5 11 2 ϖ ) {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} مع الرسالةϖ {\displaystyle \varpi } ثابت اللمنيسكات .
لاحظ أن المتطابقات المعيارية التالية صحيحة:
2 φ ( q 4 ) = φ ( q ) + 2 φ 2 ( q 2 ) - φ 2 ( q ) 3 φ ( q 9 ) = φ ( q ) + 9 φ 4 ( q 3 ) φ ( q ) - φ 3 ( q ) 3 5 φ ( q 25 ) = φ ( q 5 ) سرير أطفال ( 1 2 دالة الظل العكسي ( 2 5 φ ( q ) φ ( q 5 ) φ 2 ( q ) - φ 2 ( q 5 ) 1 + s ( q ) - s 2 ( q ) s ( q ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}} أينs ( q ) = s ( هـ π أنا τ ) = - R ( - هـ - π أنا / ( 5 τ ) ) {\displaystyle s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)} هل الكسر المستمر لروجر-رامانوجان هو :
s ( q ) = لون برونزي ( 1 2 دالة الظل العكسي ( 5 2 φ 2 ( q 5 ) φ 2 ( q ) - 1 2 ) ) سرير أطفال 2 ( 1 2 أركوت ( 5 2 φ 2 ( q 5 ) φ 2 ( q ) - 1 2 ) ) 5 = هـ - π أنا / ( 25 τ ) 1 - هـ - π أنا / ( 5 τ ) 1 + هـ - 2 π أنا / ( 5 τ ) 1 - ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}} اكتشف عالم الرياضيات بروس بيرندت قيمًا إضافية [ 5 ]
φ ( خبرة ( - 3 π ) ) = π - 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 - 2 / 3 3 13 / 8 φ ( خبرة ( - 2 3 π ) ) = π - 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 - 2 / 3 3 13 / 8 كوس ( 1 24 π ) φ ( خبرة ( - 3 3 π ) ) = π - 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 - 2 / 3 3 7 / 8 ( 2 3 + 1 ) φ ( خبرة ( - 4 3 π ) ) = π - 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 - 5 / 3 3 13 / 8 ( 1 + كوس ( 1 12 π ) ) φ ( خبرة ( - 5 3 π ) ) = π - 1 Γ ( 4 3 ) 3 / 2 2 - 2 / 3 3 5 / 8 الخطيئة ( 1 5 π ) ( 2 5 100 3 + 2 5 10 3 + 3 5 5 + 1 ) {\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}
قيم إضافية يمكن تمثيل العديد من قيم دالة ثيتا [ 6 ]
φ ( خبرة ( - 2 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) - 1 / 2 2 7 / 8 φ ( خبرة ( - 2 2 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) - 1 / 2 2 1 / 8 ( 1 + 2 - 1 ) φ ( خبرة ( - 3 2 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) - 1 / 2 2 3 / 8 3 - 1 / 2 ( 3 + 1 ) لون برونزي ( 5 24 π ) φ ( خبرة ( - 4 2 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) - 1 / 2 2 - 1 / 8 ( 1 + 2 2 - 2 4 ) φ ( خبرة ( - 5 2 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 9 8 ) Γ ( 5 4 ) - 1 / 2 1 15 2 3 / 8 × × [ 5 3 10 + 2 5 ( 5 + 2 + 3 3 3 + 5 + 2 - 3 3 3 ) - ( 2 - 2 ) 25 - 10 5 ] φ ( خبرة ( - 6 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 5 24 ) Γ ( 5 12 ) - 1 / 2 2 - 13 / 24 3 - 1 / 8 الخطيئة ( 5 12 π ) φ ( خبرة ( - 1 2 6 π ) ) = π - 1 / 2 Γ ( 5 24 ) Γ ( 5 12 ) - 1 / 2 2 5 / 24 3 - 1 / 8 الخطيئة ( 5 24 π ) {\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}
نظريات قوة الاسم
نظريات القوة المباشرة لتحويل الاسم [ 7 ]
θ 2 ( q 2 ) = 1 2 2 [ θ 3 ( q ) 2 - θ 4 ( q ) 2 ] {\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}} θ 3 ( q 2 ) = 1 2 2 [ θ 3 ( q ) 2 + θ 4 ( q ) 2 ] {\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}} θ 4 ( q 2 ) = θ 4 ( q ) θ 3 ( q ) {\displaystyle \theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}} تُشكَّل مربعات الدوال الثلاث ذات القيمة الصفرية لـ θ، والتي تكون دالة مربعها هي الدالة الداخلية، على نمط ثلاثيات فيثاغورس وفقًا لهوية جاكوبي . علاوة على ذلك، فإن هذه التحويلات صحيحة.
θ 3 ( q 4 ) = 1 2 θ 3 ( q ) + 1 2 θ 4 ( q ) {\displaystyle \theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)} يمكن استخدام هذه الصيغ لحساب قيم ثيتا لمكعب الاسم:
27 θ 3 ( q 3 ) 8 - 18 θ 3 ( q 3 ) 4 θ 3 ( q ) 4 - θ 3 ( q ) 8 = 8 θ 3 ( q 3 ) 2 θ 3 ( q ) 2 [ 2 θ 4 ( q ) 4 - θ 3 ( q ) 4 ] {\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]} 27 θ 4 ( q 3 ) 8 - 18 θ 4 ( q 3 ) 4 θ 4 ( q ) 4 - θ 4 ( q ) 8 = 8 θ 4 ( q 3 ) 2 θ 4 ( q ) 2 [ 2 θ 3 ( q ) 4 - θ 4 ( q ) 4 ] {\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]} ويمكن استخدام الصيغ التالية لحساب قيم ثيتا للقوة الخامسة للاسم:
[ θ 3 ( q ) 2 - θ 3 ( q 5 ) 2 ] [ 5 θ 3 ( q 5 ) 2 - θ 3 ( q ) 2 ] 5 = 256 θ 3 ( q 5 ) 2 θ 3 ( q ) 2 θ 4 ( q ) 4 [ θ 3 ( q ) 4 - θ 4 ( q ) 4 ] {\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]} [ θ 4 ( q 5 ) 2 - θ 4 ( q ) 2 ] [ 5 θ 4 ( q 5 ) 2 - θ 4 ( q ) 2 ] 5 = 256 θ 4 ( q 5 ) 2 θ 4 ( q ) 2 θ 3 ( q ) 4 [ θ 3 ( q ) 4 - θ 4 ( q ) 4 ] {\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}
يتم الحصول على صيغ قيم دالة نولويرت ثيتا من الجذر التكعيبي للمساحة الإهليلجية عن طريق مقارنة الحلين الحقيقيين للمعادلات الرباعية المقابلة:
[ θ 3 ( q 1 / 3 ) 2 θ 3 ( q ) 2 - 3 θ 3 ( q 3 ) 2 θ 3 ( q ) 2 ] 2 = 4 - 4 [ 2 θ 2 ( q ) 2 θ 4 ( q ) 2 θ 3 ( q ) 4 ] 2 / 3 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}} [ 3 θ 4 ( q 3 ) 2 θ 4 ( q ) 2 - θ 4 ( q 1 / 3 ) 2 θ 4 ( q ) 2 ] 2 = 4 + 4 [ 2 θ 2 ( q ) 2 θ 3 ( q ) 2 θ 4 ( q ) 4 ] 2 / 3 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}
النظريات المعتمدة على المعامل بالإضافة إلى معامل القطع الناقص، يمكن عرض الصيغ التالية:
هذه هي صيغ مربع النطاق الإهليلجي:
θ 4 [ q ( ك ) ] = θ 4 [ q ( ك ) 2 ] 1 - ك 2 8 {\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}} θ 4 [ q ( ك ) 2 ] = θ 3 [ q ( ك ) ] 1 - ك 2 8 {\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}} θ 3 [ q ( ك ) 2 ] = θ 3 [ q ( ك ) ] كوس [ 1 2 دالة الجيب العكسية ( ك ) ] {\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]} وهذه صيغة فعالة لمكعب الإقليم:
θ 4 ⟨ q { لون برونزي [ 1 2 دالة الظل العكسي ( ت 3 ) ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { لون برونزي [ 1 2 دالة الظل العكسي ( ت 3 ) ] } ⟩ 3 - 1 / 2 ( 2 ت 4 - ت 2 + 1 - ت 2 + 2 + ت 2 + 1 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}} لجميع القيم الحقيقيةت ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} }
وسنقدم مثالين لهذه الصيغة:
مثال حسابي أولي مع القيمةت = 1 {\displaystyle t=1}
θ 4 ⟨ q { لون برونزي [ 1 2 دالة الظل العكسي ( 1 ) ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { لون برونزي [ 1 2 دالة الظل العكسي ( 1 ) ] } ⟩ 3 - 1 / 2 ( 3 + 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}
θ 4 [ خبرة ( - 3 2 π ) ] = θ 4 [ خبرة ( - 2 π ) ] 3 - 1 / 2 ( 3 + 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}
مثال حسابي ثانٍ مع القيمةت = Φ - 2 {\displaystyle t=\Phi ^{-2}}
θ 4 ⟨ q { لون برونزي [ 1 2 دالة الظل العكسي ( Φ - 6 ) ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { لون برونزي [ 1 2 دالة الظل العكسي ( Φ - 6 ) ] } ⟩ 3 - 1 / 2 ( 2 Φ - 8 - Φ - 4 + 1 - Φ - 4 + 2 + Φ - 4 + 1 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
θ 4 [ خبرة ( - 3 10 π ) ] = θ 4 [ خبرة ( - 10 π ) ] 3 - 1 / 2 ( 2 Φ - 8 - Φ - 4 + 1 - Φ - 4 + 2 + Φ - 4 + 1 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
الثابتΦ {\displaystyle \Phi } النسبة الذهبية Φ = 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}
بعض الهويات المتسلسلة
المجاميع مع دالة ثيتا في النتيجة المجموع اللانهائي [ 8 ] [ 9 ] أعداد فيبوناتشي ذات المؤشرات الفردية له المتطابقة التالية:
∑ ن = 1 ∞ 1 F 2 ن - 1 = 5 2 ∑ ن = 1 ∞ 2 ( Φ - 2 ) ن - 1 / 2 1 + ( Φ - 2 ) 2 ن - 1 = 5 4 ∑ أ = - ∞ ∞ 2 ( Φ - 2 ) أ - 1 / 2 1 + ( Φ - 2 ) 2 أ - 1 = {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=} = 5 4 θ 2 ( Φ - 2 ) 2 = 5 8 [ θ 3 ( Φ - 1 ) 2 - θ 4 ( Φ - 1 ) 2 ] {\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}} من خلال عدم استخدام تعبير دالة ثيتا، يمكن صياغة المتطابقة التالية بين مجموعين:
∑ ن = 1 ∞ 1 F 2 ن - 1 = 5 4 [ ∑ ن = 1 ∞ 2 Φ - ( 2 ن - 1 ) 2 / 2 ] 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}} ∑ ن = 1 ∞ 1 F 2 ن - 1 = 1.82451515740692456814215840626732817332 ... {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots } وفي هذه الحالة أيضاًΦ = 1 2 ( 5 + 1 ) {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)} النسبة الذهبية هي رقم مرة أخرى؟
مجموع لانهائي لمقلوب مربعات أعداد فيبوناتشي:
∑ ن = 1 ∞ 1 F ن 2 = 5 24 [ 2 θ 2 ( Φ - 2 ) 4 - θ 3 ( Φ - 2 ) 4 + 1 ] = 5 24 [ θ 3 ( Φ - 2 ) 4 - 2 θ 4 ( Φ - 2 ) 4 + 1 ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}} مجموع لانهائي لمقلوبات أعداد بيل ذات المؤشرات الفردية:
∑ ن = 1 ∞ 1 P 2 ن - 1 = 1 2 θ 2 [ ( 2 - 1 ) 2 ] 2 = 1 2 2 [ θ 3 ( 2 - 1 ) 2 - θ 4 ( 2 - 1 ) 2 ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}
المجاميع التي تحتوي على دالة ثيتا في الحد الإجمالي وقد أثبت إستفان ميزو المتطابقتين التاليتين للمتسلسلة : [ 10 ]
θ 4 2 ( q ) = أنا q 1 4 ∑ ك = - ∞ ∞ q 2 ك 2 - ك θ 1 ( 2 ك - 1 2 أنا ln q ، q ) ، θ 4 2 ( q ) = ∑ ك = - ∞ ∞ q 2 ك 2 θ 4 ( ك ln q أنا ، q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}} تنطبق هذه العلاقات على جميع قيم q التي تتراوح بين 0 و1 . وبتحديد قيم q ، نحصل على المجاميع التالية الخالية من المعاملات.
π هـ π 2 ⋅ 1 Γ 2 ( 3 4 ) = أنا ∑ ك = - ∞ ∞ هـ π ( ك - 2 ك 2 ) θ 1 ( أنا π 2 ( 2 ك - 1 ) ، هـ - π ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)} π 2 ⋅ 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ ك = - ∞ ∞ θ 4 ( أنا ك π ، هـ - π ) هـ 2 π ك 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}
أصفار دوال جاكوبي ثيتا جميع أصفار دوال جاكوبي ثيتا هي أصفار بسيطة ويتم تحديدها كما يلي:
ϑ ( z ؛ τ ) = ϑ ٠٠ ( z ؛ τ ) = 0 ⟺ z = م + ن τ + 1 2 + τ 2 ϑ 11 ( z ؛ τ ) = 0 ⟺ z = م + ن τ ϑ 10 ( z ؛ τ ) = 0 ⟺ z = م + ن τ + 1 2 ϑ 01 ( z ؛ τ ) = 0 ⟺ z = م + ن τ + τ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}} حيث m و n عددان صحيحان اختياريان.
العلاقة بدالة زيتا لريمان العلاقة
ϑ ( 0 ؛ - 1 τ ) = ( - أنا τ ) 1 2 ϑ ( 0 ؛ τ ) {\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )} استخدم ريمان هذه الطريقة لإثبات المعادلة الوظيفية لدالة زيتا لريمان ، وذلك عن طريق تحويل ميلين.
Γ ( s 2 ) π - s 2 ζ ( s ) = 1 2 ∫ 0 ∞ ( ϑ ( 0 ؛ أنا ت ) - 1 ) ت s 2 د ت ت {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}} ويمكن إثبات ثبات هذه الدالة عند استبدال s بـ 1 − s . ويُعطى التكامل المقابل لـ z ≠ 0بدالة زيتا لهورويتز .
العلاقة بدالة غاما q ترتبط دالة ثيتا الرابعة - وبالتالي الدوال الأخرى أيضًا - ارتباطًا وثيقًا بدالة جاكسون q -gamma من خلال العلاقة [ 11 ].
( Γ q 2 ( x ) Γ q 2 ( 1 - x ) ) - 1 = q 2 x ( 1 - x ) ( q - 2 ؛ q - 2 ) ∞ 3 ( q 2 - 1 ) θ 4 ( 1 2 أنا ( 1 - 2 x ) سجل q ، 1 q ) . {\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}
العلاقة بوظيفة إيتا ديديكيند لتكن η ( τ )إيتا ديديكيند ، ولتكن وسيطة دالة ثيتا هي الاسم q = e πiτ
θ 2 ( q ) = ϑ 10 ( 0 ؛ τ ) = 2 η 2 ( 2 τ ) η ( τ ) ، θ 3 ( q ) = ϑ ٠٠ ( 0 ؛ τ ) = η 5 ( τ ) η 2 ( 1 2 τ ) η 2 ( 2 τ ) = η 2 ( 1 2 ( τ + 1 ) ) η ( τ + 1 ) ، θ 4 ( q ) = ϑ 01 ( 0 ؛ τ ) = η 2 ( 1 2 τ ) η ( τ ) ، {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}} و،
θ 2 ( q ) θ 3 ( q ) θ 4 ( q ) = 2 η 3 ( τ ) . {\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).} انظر أيضًا إلى الدوال المعيارية لويبر .
معامل القطع الناقص معامل القطع الناقص هو
ك ( τ ) = ϑ 10 ( 0 ؛ τ ) 2 ϑ ٠٠ ( 0 ؛ τ ) 2 {\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}} ومعامل القطع الناقص التكميلي هو
ك ′ ( τ ) = ϑ 01 ( 0 ؛ τ ) 2 ϑ ٠٠ ( 0 ؛ τ ) 2 {\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}
مشتقات دوال ثيتا هذان تعريفان متطابقان للتكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني:
هـ ( ك ) = ∫ 0 π / 2 1 - ك 2 الخطيئة ( φ ) 2 د φ {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}d\varphi } هـ ( ك ) = π 2 ∑ أ = 0 ∞ [ ( 2 أ ) ! ] 2 ( 1 - 2 أ ) 16 أ ( أ ! ) 4 ك 2 أ {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}} مشتقات دوال ثيتا نولويرت لها متسلسلات ماكلورين التالية:
θ 2 ′ ( x ) = د د x θ 2 ( x ) = 1 2 x - 3 / 4 + ∑ ن = 1 ∞ 1 2 ( 2 ن + 1 ) 2 x ( 2 ن - 1 ) ( 2 ن + 3 ) / 4 {\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}} θ 3 ′ ( x ) = د د x θ 3 ( x ) = 2 + ∑ ن = 1 ∞ 2 ( ن + 1 ) 2 x ن ( ن + 2 ) {\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}} θ 4 ′ ( x ) = د د x θ 4 ( x ) = - 2 + ∑ ن = 1 ∞ 2 ( ن + 1 ) 2 ( - 1 ) ن + 1 x ن ( ن + 2 ) {\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}} مشتقات دوال ثيتا ذات القيمة الصفرية [ 12 ]
θ 2 ′ ( x ) = د د x θ 2 ( x ) = 1 2 π x θ 2 ( x ) θ 3 ( x ) 2 هـ [ θ 2 ( x ) 2 θ 3 ( x ) 2 ] {\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}} θ 3 ′ ( x ) = د د x θ 3 ( x ) = θ 3 ( x ) [ θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] { 1 2 π x هـ [ θ 3 ( x ) 2 - θ 4 ( x ) 2 θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] - θ 4 ( x ) 2 4 x } {\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}} θ 4 ′ ( x ) = د د x θ 4 ( x ) = θ 4 ( x ) [ θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] { 1 2 π x هـ [ θ 3 ( x ) 2 - θ 4 ( x ) 2 θ 3 ( x ) 2 + θ 4 ( x ) 2 ] - θ 3 ( x ) 2 4 x } {\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}} الصيغتان الأخيرتان المذكورتان صالحتان لجميع الأعداد الحقيقية في فترة تعريف الأعداد الحقيقية:- 1 < x < 1 ∩ x ∈ R {\displaystyle -1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }
وترتبط هاتان الدالتان المشتقتان من نوع ثيتا، واللتان تم تسميتهما مؤخراً، ببعضهما البعض على النحو التالي:
ϑ 4 ( x ) [ د د x ϑ 3 ( x ) ] - ϑ 3 ( x ) [ د د x θ 4 ( x ) ] = 1 4 x θ 3 ( x ) θ 4 ( x ) [ θ 3 ( x ) 4 - θ 4 ( x ) 4 ] {\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}} إن مشتقات نواتج القسمة من اثنتين من دوال ثيتا الثلاث المذكورة هنا لها دائمًا علاقة نسبية بتلك الدوال الثلاث:
د د x θ 2 ( x ) θ 3 ( x ) = θ 2 ( x ) θ 4 ( x ) 4 4 x θ 3 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}} د د x θ 2 ( x ) θ 4 ( x ) = θ 2 ( x ) θ 3 ( x ) 4 4 x θ 4 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}} د د x θ 3 ( x ) θ 4 ( x ) = θ 3 ( x ) 5 - θ 3 ( x ) θ 4 ( x ) 4 4 x θ 4 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}} للاطلاع على اشتقاق هذه الصيغ، انظر المقالتين Nome (الرياضيات) ودالة لامدا المعيارية !
تكاملات دوال ثيتا بالنسبة لدوال ثيتا، تكون هذه التكاملات [ 13 ]
∫ 0 1 θ 2 ( x ) د x = ∑ ك = - ∞ ∞ 4 ( 2 ك + 1 ) 2 + 4 = π tanh ( π ) ≈ 3.129881 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881} ∫ 0 1 θ 3 ( x ) د x = ∑ ك = - ∞ ∞ 1 ك 2 + 1 = π ملابس ( π ) ≈ 3.153348 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348} ∫ 0 1 θ 4 ( x ) د x = ∑ ك = - ∞ ∞ ( - 1 ) ك ك 2 + 1 = π سي إس سي إتش ( π ) ≈ 0.272029 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029} تستند النتائج النهائية المعروضة الآن إلى صيغ مجموع كوشي العامة.
حل لمعادلة الحرارة دالة جاكوبي ثيتا هي الحل الأساسي لمعادلة الحرارة أحادية البعد مع شروط حدودية دورية مكانيًا . [ 14 ] z = x τ = it t عدد حقيقي وموجب، يمكننا كتابة
ϑ ( x ؛ أنا ت ) = 1 + 2 ∑ ن = 1 ∞ خبرة ( - π ن 2 ت ) كوس ( 2 π ن x ) {\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)} وهو ما يحل معادلة الحرارة
∂ ∂ ت ϑ ( x ؛ أنا ت ) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ ( x ؛ أنا ت ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).} هذا الحل لدالة ثيتا دوري بمقدار 1 في x ، وعندما t → 0دالة دلتا الدورية ، أو مشط ديراك ، بمعنى التوزيعات
ليم ت → 0 ϑ ( x ؛ أنا ت ) = ∑ ن = - ∞ ∞ دلتا ( x - ن ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)} يمكن الحصول على الحلول العامة لمسألة القيمة الأولية الدورية المكانية لمعادلة الحرارة عن طريق دمج البيانات الأولية عند t = 0
العلاقة بمجموعة هايزنبرغ دالة جاكوبي ثيتا ثابتة تحت تأثير زمرة فرعية منفصلة من زمرة هايزنبرغ . وقد عُرضت هذه الخاصية في المقالة المتعلقة بتمثيل ثيتا لزمرة هايزنبرغ.
التعميمات إذا كانت F دالة تربيعية موجبة التحديد في n متغيرًا، فإن دالة ثيتا المرتبطة بـ F هي
θ F ( z ) = ∑ م ∈ Z ن هـ - π z F ( م ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{-\pi zF(m)}} مع امتداد المجموع على شبكة الأعداد الصحيحةZ ن {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} دالة شكل نمطي بوزن n / 2 ( النمطية . في متسلسلة فورييه،
θ ^ F ( z ) = ∑ ك = 0 ∞ R F ( ك ) هـ 2 π أنا ك z ، {\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},} تُسمى الأرقام R F ( k ) أرقام التمثيل من الشكل.
سلسلة ثيتا لشخصية ديريشليه بالنسبة إلى χ حرف Dirichlet البدائي modulo q و ν = 1 − χ (−1) / 2
θ χ ( z ) = 1 2 ∑ ن = - ∞ ∞ χ ( ن ) ن ν هـ 2 أنا π ن 2 z {\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}} هو شكل معياري ذو وزن 1 / 2 + ν 4 q 2
χ ( د ) ( - 1 د ) ν ، {\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },} وهذا يعني [ 15 ]
θ χ ( أ z + ب ج z + د ) = χ ( د ) ( - 1 د ) ν ( θ 1 ( أ z + ب ج z + د ) θ 1 ( z ) ) 1 + 2 ν θ χ ( z ) {\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)} حينما
أ ، ب ، ج ، د ∈ Z 4 ، أ د - ب ج = 1 ، ج ≡ 0 تعديل 4 q 2 . {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}
دالة ريمان ثيتا يترك
ح ن = { F ∈ م ( ن ، ج ) | F = F تي ، أنا F > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}} لتكن مجموعة المصفوفات المربعة المتناظرة التي يكون الجزء التخيلي منها موجباً تماماً .ح ن {\displaystyle \mathbb {H} _{n}} نصف الفضاء العلوي لسيجل، وهو النظير متعدد الأبعاد لنصف المستوى العلوي . أما النظير ذو البعد n للمجموعة النمطية فهو المجموعة التبادلية. Sp ( 2 ن ، Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )} n = 1Sp ( 2 ، Z ) = SL ( 2 ، Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )} n لمجموعات التطابق الفرعية بواسطة
كير { Sp ( 2 ن ، Z ) → Sp ( 2 ن ، Z / ك Z ) } . {\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.} ثم، بالنظر إلىτ ∈ ح ن {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} :
θ ( z ، τ ) = ∑ م ∈ Z ن خبرة ( 2 π أنا ( 1 2 م تي τ م + م تي z ) ) . {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).} هنا،z ∈ ج ن {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} n ، ويشير الرمز T العلوي إلى منقوله . وبالتالي، فإن دالة جاكوبي ثيتا هي حالة خاصة، حيث n = 1τ ∈ ح {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ح {\displaystyle \mathbb {H} } النصف العلوي من المستوى . أحد التطبيقات الرئيسية لدالة ريمان ثيتا هو أنها تسمح بإعطاء صيغ صريحة للدوال الميرومورفية على أسطح ريمان المدمجة ، بالإضافة إلى كائنات مساعدة أخرى تظهر بشكل بارز في نظرية الدوال الخاصة بها، وذلك باعتبار τ مصفوفة الدورة بالنسبة إلى أساس قانوني لمجموعة التماثل الأولى الخاصة بها .
تتقارب دالة ريمان ثيتا تقاربًا مطلقًا ومنتظمًا على المجموعات الجزئية المدمجة منج ن × ح ن {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}
المعادلة الوظيفية هي
θ ( z + أ + τ ب ، τ ) = خبرة ( 2 π أنا ( - ب تي z - 1 2 ب تي τ ب ) ) θ ( z ، τ ) {\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )} وهذا ينطبق على جميع المتجهاتأ ، ب ∈ Z ن {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} z ∈ ج ن {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} τ ∈ ح ن {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}
اشتقاق قيم ثيتا
هوية دالة بيتا لأويلر فيما يلي، سيتم استخلاص ثلاث قيم مهمة لدالة ثيتا كأمثلة:
هكذا يتم تعريف دالة بيتا لأويلر في شكلها المختزل:
β ( x ) = Γ ( x ) 2 Γ ( 2 x ) {\displaystyle \beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}} بشكل عام، لجميع الأعداد الطبيعيةن ∈ شمال {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
4 - 1 / ( ن + 2 ) ن + 2 csc ( π ن + 2 ) β [ ن 2 ( ن + 2 ) ] = ∫ 0 ∞ 1 x ن + 2 + 1 د x {\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}
التكاملات الإهليلجية النموذجية فيما يلي بعض القيم المفردة التكاملية الإهليلجية [ 16 ]
وللدالة التالية مشتقة أصلية إهليلجية كما يلي:
1 x 8 + 1 = {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}=} = د د x 1 4 ثانية ( π 8 ) F { 2 دالة الظل العكسي [ 2 كوس ( π / 8 ) x x 4 + 2 x 2 + 1 - x 2 + 1 ] ؛ 2 2 4 الخطيئة ( π 8 ) } + 1 4 ثانية ( π 8 ) F { دالة الجيب العكسية [ 2 كوس ( π / 8 ) x x 2 + 1 ] ؛ لون برونزي ( π 8 ) } {\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}} بالنسبة للقيمةن = 6 {\displaystyle n=6}
1 8 2 4 csc ( π 8 ) β ( 3 8 ) = ∫ 0 ∞ 1 x 8 + 1 د x = {\displaystyle {\frac {1}{8{\sqrt[{4}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}\,\mathrm {d} x=} = ⟨ 1 4 ثانية ( π 8 ) F { 2 دالة الظل العكسي [ 2 كوس ( π / 8 ) x x 4 + 2 x 2 + 1 - x 2 + 1 ] ؛ 2 2 4 الخطيئة ( π 8 ) } + 1 4 ثانية ( π 8 ) F { دالة الجيب العكسية [ 2 كوس ( π / 8 ) x x 2 + 1 ] ؛ لون برونزي ( π 8 ) } ⟩ x = 0 x = ∞ = {\displaystyle ={\biggl \langle }{\color {blue}{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}{\biggr \rangle }_{x=0}^{x=\infty }=} = 1 4 ثانية ( π 8 ) F [ π ؛ 2 2 4 الخطيئة ( π 8 ) ] = 1 2 ثانية ( π 8 ) ك ( 2 2 - 2 ) = 2 الخطيئة ( π 8 ) ك ( 2 - 1 ) {\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\bigl [}\pi ;2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {1}{2}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2}}-1)} وتنتج هذه النتيجة من سلسلة المعادلات تلك:
ك ( 2 - 1 ) = 1 8 2 4 ( 2 + 1 ) β ( 3 8 ) {\displaystyle {\color {ForestGreen}K({\sqrt {2}}-1)={\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)\,\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}}}
دمج الهويات التكاملية مع الاسم تتضمن دالة الاسم الإهليلجي هذه القيم المهمة:
q ( 1 2 2 ) = خبرة ( - π ) {\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )} q [ 1 4 ( 6 - 2 ) ] = خبرة ( - 3 π ) {\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )} q ( 2 - 1 ) = خبرة ( - 2 π ) {\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )} للاطلاع على برهان صحة قيم الأسماء هذه، انظر مقالة الأسماء (الرياضيات) !
بناءً على هذه المتطابقات التكاملية والتعريفات والمتطابقات المذكورة أعلاه لدوال ثيتا في نفس قسم هذه المقالة، سيتم الآن تحديد قيم ثيتا الصفرية النموذجية:
θ 3 [ q ( ك ) ] = 2 π - 1 ك ( ك ) {\displaystyle \theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}
θ 3 [ خبرة ( - π ) ] = θ 3 [ q ( 1 2 2 ) ] = 2 π - 1 ك ( 1 2 2 ) = 2 - 1 / 2 π - 1 / 2 β ( 1 4 ) 1 / 2 = 2 - 1 / 4 π 4 Γ ( 3 4 ) - 1 {\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}} θ 3 [ خبرة ( - 3 π ) ] = θ 3 { q [ 1 4 ( 6 - 2 ) ] } = 2 π - 1 ك [ 1 4 ( 6 - 2 ) ] = 2 - 1 / 6 3 - 1 / 8 π - 1 / 2 β ( 1 3 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}} θ 3 [ خبرة ( - 2 π ) ] = θ 3 [ q ( 2 - 1 ) ] = 2 π - 1 ك ( 2 - 1 ) = 2 - 1 / 8 كوس ( 1 8 π ) π - 1 / 2 β ( 3 8 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}} θ 4 [ q ( ك ) ] = 1 - ك 2 4 2 π - 1 ك ( ك ) {\displaystyle \theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}
θ 4 [ خبرة ( - 2 π ) ] = θ 4 [ q ( 2 - 1 ) ] = 2 2 - 2 4 2 π - 1 ك ( 2 - 1 ) = 2 - 1 / 4 كوس ( 1 8 π ) 1 / 2 π - 1 / 2 β ( 3 8 ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}
متواليات التقسيم ومنتجات بوخامر
تسلسل أرقام الأقسام المنتظم تسلسل التقسيم المنتظمP ( ن ) {\displaystyle P(n)} لعدد صحيح موجب ن {\displaystyle n} ن = 1 {\displaystyle n=1} ن = 5 {\displaystyle n=5} P {\displaystyle P}
أمثلة على قيم P(n) وتقسيمات الأعداد المرتبطة بها ن P(n) دفع التقسيمات 0 1 () قسم فارغ / مجموع فارغ 1 1 (1) 2 2 (1+1)، (2) 3 3 (1+1+1)، (1+2)، (3) 4 5 (1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4) 5 7 (1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
يمكن تمثيل الدالة المولدة لتسلسل أرقام التقسيم المنتظم عبر جداء بوخامر بالطريقة التالية:
∑ ك = 0 ∞ P ( ك ) x ك = 1 ( x ؛ x ) ∞ = θ 3 ( x ) - 1 / 6 θ 4 ( x ) - 2 / 3 [ θ 3 ( x ) 4 - θ 4 ( x ) 4 16 x ] - 1 / 24 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}} يتم وصف عملية جمع حاصل ضرب بوخامر المذكور الآن بواسطة نظرية الأعداد الخماسية على النحو التالي:
( x ؛ x ) ∞ = 1 + ∑ ن = 1 ∞ [ - x Fn ( 2 ن - 1 ) - x كر ( 2 ن - 1 ) + x Fn ( 2 ن ) + x كر ( 2 ن ) ] {\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}} تنطبق التعريفات الأساسية التالية على الأعداد الخماسية وأرقام المنازل الورقية:
Fn ( z ) = 1 2 z ( 3 z - 1 ) {\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)} كر ( z ) = 1 2 z ( 3 z + 1 ) {\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)} كتطبيق إضافي [ 17 ] أويلر :
( x ؛ x ) 3 = ∏ ن = 1 ∞ ( 1 - x ن ) 3 = ∑ م = 0 ∞ ( - 1 ) م ( 2 م + 1 ) x م ( م + 1 ) / 2 {\displaystyle (x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}}
تسلسل أرقام التقسيم الصارم وتسلسل التقسيم الصارمسؤال ( ن ) {\displaystyle Q(n)} ن {\displaystyle n} [ 18 ] [ 19 ]
أمثلة على قيم Q(n) وتقسيمات الأعداد المرتبطة بها ن Q(n) تقسيمات الأعداد بدون مجموعات متكررة تقسيمات الأعداد التي تحتوي على أعداد فردية فقط 0 1 () قسم فارغ / مجموع فارغ () قسم فارغ / مجموع فارغ 1 1 (1) (1) 2 1 (2) (1+1) 3 2 (1+2)، (3) (1+1+1)، (3) 4 2 (1+3)، (4) (1+1+1+1), (1+3) 5 3 (2+3)، (1+4)، (5) (1+1+1+1+1), (1+1+3), (5) 6 4 (1+2+3)، (2+4)، (1+5)، (6) (1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5) 7 5 (1+2+4)، (3+4)، (2+5)، (1+6)، (7) (1+1+1+1+1+1+1)، (1+1+1+1+3)، (1+3+3)، (1+1+5)، (7) 8 6 (1+3+4)، (1+2+5)، (3+5)، (2+6)، (1+7)، (8) (1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+ 5), (3+5), (1+7)
يمكن تمثيل الدالة المولدة لتسلسل أرقام التقسيم الصارم باستخدام جداء بوخامر:
∑ ك = 0 ∞ سؤال ( ك ) x ك = 1 ( x ؛ x 2 ) ∞ = θ 3 ( x ) 1 / 6 θ 4 ( x ) - 1 / 3 [ θ 3 ( x ) 4 - θ 4 ( x ) 4 16 x ] 1 / 24 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}
تسلسل أرقام التقسيم الزائد سلسلة ماكلورين لمقلوب الدالة ϑ 01 متسلسلة التقسيم كمعاملات ذات إشارة موجبة: [ 20 ]
1 θ 4 ( x ) = ∏ ن = 1 ∞ 1 + x ن 1 - x ن = ∑ ك = 0 ∞ P ¯ ( ك ) x ك {\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}} 1 θ 4 ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + 14 x 4 + 24 x 5 + 40 x 6 + 64 x 7 + 100 x 8 + 154 x 9 + 232 x 10 + ... {\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots } إذا، بالنسبة لعدد معينك {\displaystyle k} [ 21 ] ك {\displaystyle k} P ¯ ( ك ) {\displaystyle {\overline {P}}(k)}
المثال الأول:
P ¯ ( 4 ) = 14 {\displaystyle {\overline {P}}(4)=14} توجد هذه الاحتمالات الـ 14 لعلامات التقسيم للمجموع 4:
(4), ( 4 ), (3+1), (3+1), ( 3 +1) , ( 3 + 1 ), (2+2), ( 2 +2), (2+1+1), ( 2 +1+1), (2+ 1 +1), ( 2 + 1 +1), (1+1+1+1), ( 1 +1+1+1)
مثال ثانٍ:
P ¯ ( 5 ) = 24 {\displaystyle {\overline {P}}(5)=24} توجد هذه الاحتمالات الـ 24 لعلامات التقسيم للمجموع 5:
(5)، ( 5 )، (4+1)، ( 4 + 1 ) ، ( 4 + 1 )، (4+1)، ( 3 +2)، (3+ 2 )، ( 3 + 2 )، (3+2)، ( 3 +1+1)، (3+ 1 + 1 )، (3 + 1 +1)، (2 + 2+1)، (2+2+ 1 )، ( 2 +2+ 1 ). (2+1+1+1), ( 2 +1+1+1), (2+ 1 +1+1), ( 2 + 1 +1+1+1), (1+1+1+1+1), ( 1 +1+1+1+1)
للمزيد من القراءة فاركاس، هيرشل م. (2008). "دوال ثيتا في التحليل المركب ونظرية الأعداد". في : ألادي، كريشناسوامي (محرر). دراسات في نظرية الأعداد . تطورات في الرياضيات. المجلد 17. سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 57-87 . ISBN 978-0-387-78509-7 . Zbl 1206.11055 . شونبيرج ، برونو (1974). "التاسع. سلسلة ثيتا". وظائف وحدات الاهليلجيه . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 203. سبرينغر-فيرلاغ . ص 203 – 226. ISBN 978-3-540-06382-7 .أكرمان ، مايكل (1 فبراير 1979). “حول وظائف توليد بعض سلسلة آيزنشتاين”. الرياضيات أنالن . 244 (1): 75-81 . دوى : 10.1007/BF01420339 . S2CID 120045753 . هاري راوخ مع هيرشل م. فاركاس: دوال ثيتا مع تطبيقات على أسطح ريمان، ويليامز وويلكنز، بالتيمور، ماريلاند 1974، رقم ISBN 0-683-07196-3 .
تشارلز هيرميت: حول حل المعادلة من الدرجة الخامسة للحسابات الحالية، CR Acad. الخيال العلمي. باريس، رقم. 11 مارس 1858.
روابط خارجية تتضمن هذه المقالة مواد من التمثيلات التكاملية لوظائف جاكوبي ثيتا على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .
فئات :
دوال ثيتا الدوال الإهليلجية أسطح ريمان الدوال التحليلية عدة متغيرات معقدة التصنيفات المخفية:
مقالات ذات وصف موجز يتطابق الوصف المختصر مع بيانات ويكي الصفحات التي تستخدم تنسيقًا قديمًا لعلامات الرياضيات أخطاء CS1: تاريخ ISBN مقالات ويكيبيديا التي تتضمن نصًا من PlanetMath 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee051ca15813825e13589298c0efd02e3f68e0cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau) }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\رباعية &\فارثيتا θ_{11}(z/τ;-1/τ) = -iαθ(z;τ).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38521d263e968c6643113cb856744c3d8417638)
![\begin{aligned}\vartheta_{00}(w,q)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta_{01}(w,q)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta_{10}(w,q)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac{1}{2}}}q^{\left(n+{\frac{1}{2}}} \begin{aligned} \right)^{2} \quad & \vartheta_{11}(w,q) &= i \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n} \left(w^{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}}q^{\left(n+\frac{1}{2}} \right)^{2}}. \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbc490b1dd786cc2ef221b6b0834661d3f41ac3)
![\begin{aligned}\vartheta_{01}(z\mid q)&=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta_{10}(z\mid q)&=2q^{\frac{1}{4}}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta_{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2f486ca65bf1df31851e9591220ff601cf6fb0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty}^{i+\infty}e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _ {10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau}\int _{i-\infty}^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{محاذاة}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd32c29ab16bda39187ec29c1169e8019bcb54af)
![{\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e26186736a2e273adfa2732fea7ee65263231d4)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _ {0}^ {\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942b823ba5f2a5d89016b6493ca9cc3b187cb86f)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc3a6cd1621989208f56af90722f5230eecf7b6)
![{\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d462b60e5965c30acaf2837ae9770eb3a3560f5)
![\begin{displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80285f837f55ecc6e8a2d0b82edd47eb6a50467b)
![\begin{displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b778736b39bddab58af391077803cffab7928c6c)
![\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,η(√-1)\\φ(e⁻²π)=√(4π)/Γ(3/4)/√(2 + √2)/2\\φ(e⁻³π)=√(4π)/Γ(3/4)/√(1 + √3)/√(8)/10⁸)\\φ(e⁻⁴π)=√( \begin{frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\frac{2+\sqrt[4]8}{4}\\\varphi \left(e^{-5\pi}\right)&=\frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{5}}{5}}\\\varphi \left(e^{-6\pi}\right)&=\frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\frac{\sqrt \begin{varphi} \left(e^{-7\pi}\right) = \frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\frac{\sqrt{\sqrt{13+\sqrt{7}}}}+\sqrt{7+3\sqrt{7}}}}}{\sqrt[8]14^{3}} \cdot\sqrt[16]7}}} \end{varphi} \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac \begin{frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\frac{\sqrt{\sqrt[4]64+\sqrt[4]80+\sqrt[4]81+\sqrt[4]100}{\sqrt[4]200}}{\varphi \left(e^{-11\pi}\right)&=\frac{\sqrt[4]\pi}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\frac{\sqrt{11+\sqrt{11}+(5+3\sqrt{3}+\sqrt{1 ... {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt{2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06e5700e306ee31cbf5d9565847590b4d4b966a)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087f2996a1cad31a875a6346e7b52be98453668f)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01f0cb2fd209abfbb1ac4c204c509f2b3f47b74)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51aea624bd4ccfed27077389532d4b07efda771e)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\اسم المشغل {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839f652515fbc383f7fa265b6541beaa7582c59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a018fbcd1409ba1ebb0c85d8178fb163fa3ba0)
![\begin{aligned}s(q)&=\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&=\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{محاذاة}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de23ddbf5b96a5a2470d73ba10f05153d2a7e37d)
![\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi \begin{signature} ... {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913e0c2a4e7f8efd215821d4423789caf3cc7382)
![\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac \begin{array}} \left(\exp(-\frac{1}{2}}{\sqrt{6}\pi)\right)\right) = \begin{array}} \left(\exp(-\frac{1}{2}}{\sqrt{6}\pi)\right) \left(\exp(-\frac{1}{2}}{\sqrt{6}\pi)\right) = \begin{array}} \left(\frac{5}{24}\right) \begin{array}} \left(\exp(-\frac{1}{2}}{\sqrt{6}\pi)\right) \end{array}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f37f7d59609f062b1826b22a23db9ff7a12a95)
![{\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fdbf249a5c77891ea7be62a7abdb74bfca9c20)
![{\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab78a4868b53c96cb965bc889ba12f8e4fd5bd44)
![{\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8b22b2491acbf41acf156847592744fe5efda4)
![{\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db22a825f23c8747194677df1ba5b9cd6776c58)
![{\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21698abd5cd7e4f2b57023ecd5dd70b3fd545ffb)
![{\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc5563a31bcb890a22ebb282ad224297a82b287)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41eb7bba4644993c0994d693977d751526d68a1)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d0741127e031b7079dffa001160094eb9b03c9)
![{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122911c8d5591255a99de086a6643e60e8496af8)
![{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bef51d2716d70a8054cd882a9c6a98aa234b16)
![{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd8befdabb6ac82b6c4fff8f0a5bb89a1a5ac55)
![{\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968499610c12ca2700607ba9048ff01e2f8fe303)
![{\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1f9826acfe6b0205eb7dec745ce83aae7e6d01)
![{\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6fd08483ead704a199a261edcf54d483835ad9)
![{\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87e7c0cdbc5280e1ca49f87d77c2924e364d6c6)
![{\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4601790cf31b8e82943713c410b532e4d75980)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece5e6b2598db08419e115b84fa8dc058e3980b8)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cc179f3c7fab7e4f664ea3a9ad3bed2c751a65)
![{\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0b0e95b8b6fd152fc74a01c0f7fbab2b9a6555)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0608e409cfd0018afa26a9e4561bc8ce04b7c964)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d9399dd8871346e454374d0965a18caba1db5c)
![{\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24c901354972a0b0861ecf1304c11b74666f25b)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc07d14cd349f46b4f18689ce8fc44277e67902)
![{\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76245ff2f6bee7a43882f3f4ebbcad691b406a96)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05e65a1d4c792ec63055ed7d1d9a08f7faf285e)
![$ ]}= {\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7f301cb452442a43e1fcd9c91ea78bc820ef9)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a2e2b5ff5d3f65182b77f5be772944bc4d6ea2)
![\begin{aligned}\theta_{4}^{2}(q)&=iq^{\frac{1}{4}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^{2k^{2}-k}\theta_{1}\left({\frac{2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta_{4}^{2}(q)&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^{2k^{2}}\theta_{4}\left({\frac{k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428f8073ad45e4e54778db88a3dbb2f5b0ab1f30)
![\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdb60358dddb241ffda786440efa91cc0844ca9)
![{\displaystyle {\begin{align}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _ {4}(ف)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2358dd2d333a2740823f158700af932d247a2c7e)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e8c4e1616502c6de3e16bb661c1372b93c0fd)
![\begin{displaystyle \theta_2'(x)=\frac{d}{dx}\,\theta_2(x)=\frac{1}{2\pix}\theta_2(x)\theta_3(x)^2E\biggl[}{\frac{\theta_2(x)^2}{\theta_3(x)^2}}{\biggr]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a311084c05bdae1b514737c2f0108933b9f8bae)
![\begin{displaystyle \theta_3'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\,\theta_3(x)=\theta_3(x){\bigl[}\theta_3(x)^2+\theta_4(x)^2}{\bigr]}{\biggl\{}{\frac{1}{2\pix}}E{\biggl[}{\frac{\theta_3(x)^2-\theta_4(x)^2}{\theta_3(x)^2+\theta_4(x)^2}}{\biggr]}-{\frac{\theta_4(x)^2}{4\,x}}{\biggr\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104d1b3737a0be4eda8a3a1e245186de9134a6e9)
![\begin{displaystyle \theta_4'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\,\theta_4(x)=\theta_4(x){\bigl[}\theta_3(x)^2+\theta_4(x)^2}{\bigr]}{\biggl\{}{\frac{1}{2\pix}}E{\biggl[}{\frac{\theta_3(x)^2-\theta_4(x)^2}{\theta_3(x)^2+\theta_4(x)^2}}{\biggr]}-{\frac{\theta_3(x)^2}{4\,x}}{\biggr\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5be9c018c56615a9085df89d3db2ca5d7d26b5)
![// _ {4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88237a98911175d2efc60c4d21094300a862abd)
![{\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48152e52c3eb9c14398e29907e759b53900153c6)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{2}}F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c42e35cf46076ad7140865bd7327f051d0af90)
![\beta \beta \int_{0}^{\infty} \frac{1}{4{\sqrt{2}}} \csc(}{\frac{\pi}{4}}{\bigr)} \beta \beta \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}} \dx = \{\frac{1}{2}} F[2\arctan(x);\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} \biggr] \biggr \} \{x=0}^{x=\infty} = \frac{1}{2} ...](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce35084cada7d06712bd0cf775c1560f9a43ab7e)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{6}+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3186259fdf61a7ebb632f3d02d679cae524c35f7)
![\beta \beta \int_0^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{x^6+1}}}\,\mathrm{d} x=\biggl \{\frac{1}{6}}{\sqrt{4}}\arctan\biggl(}{\frac{\sqrt{4}}\,x}{\sqrt{x^2+1}}}{\biggr};\frac{1}{4}}(\sqrt{x^2+1}} {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeaa28cc9c443e551ccbc434cd63421302cae2b)
![{\displaystyle ={\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\bigl [}2\arctan({\sqrt[{4}]{3}});{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {2}{9}}{\sqrt[{4}]{27}}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{3}}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55b9913617b5871c7a524c0eeec8168828a1c5a)
![{\displaystyle {\color {ForestGreen}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffa258bf7309994a5d54ae0f95d4614975d1ec2)
![{\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9418c896b8d195e1c5bce8b760e71d95bd9cf29e)
![{\displaystyle ={\biggl \langle }{\color {blue}{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}{\biggr \rangle }_{x=0}^{x=\infty }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab622f4004af8bce9bb3de38a20ecb4d4219a21)
![{\displaystyle {\color {ForestGreen}K({\sqrt {2}}-1)={\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)\,\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177a0e98ca0233f21a20d37c9dd285369ecf1cda)
![{\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d8a66693d1cd78fa0422519e6a5f523cfa1f69)
![{\displaystyle \theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5de1ea9f13775acb606c8cb4c2c8268c77ad546)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac) {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3b3090803e98069d65099cffee88f085fb58b6)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2456d11eb2e069e9d2eac7d2cc91561418429672)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e6d7302b7c5a86bd706212afbf5c0dddc4be6d)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18cb501a0e5521687946e420015ea2bfb8e9367)
![{\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c0cdf2fb31e0ad42c1c55d8562d70da28f2203)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45936d0522b1f639420fa97f49e237424fa4a51)
![{\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab59cb2fcf2f3ddc6f1e10561a526de51f516f3)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf3d08f52a11ebbc9e5b9289d4f784f60f103d7)
![{\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed01dd893d339d67b7cffd351479d11bd83f819)
