انتشار إيتو

إن انتشار إيتو X هو عملية مستمرة نموذجية ، أي أنه بالنسبة لجميع تحققات الضوضاء B _t (ω) تقريبًا، فإن X _t (ω) هي دالة مستمرة لمعامل الزمن t . وبشكل أدق، هناك "نسخة مستمرة" من X ، وهي عملية مستمرة Y بحيث

${\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ لجميع }}t.}$

ويترتب على ذلك نظرية الوجود والوحدانية القياسية للحلول القوية للمعادلات التفاضلية العشوائية.

بالإضافة إلى كونها (عينة) مستمرة، فإن انتشار إيتو X يفي بالشرط الأقوى ليكون عملية مستمرة من نوع فيلر .

بالنسبة لنقطة x  ∈ R ⁿ ، دع P ^x يرمز إلى قانون X المعطى بالبيانات الأولية X ₀ = x ، ودع E ^x يرمز إلى التوقع بالنسبة إلى P ^x .   

لتكن f  : R ⁿ → R دالة قابلة للقياس بوريل ومحدودة من الأسفل ، ولنعرف، لـ t ≥ 0 ثابت، u : R ⁿ → R كما يلي:         

${\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}$

• شبه الاستمرارية السفلية : إذا كانت f شبه مستمرة من الأسفل، فإن u تكون شبه مستمرة من الأسفل.
• استمرارية فيلر: إذا كانت f محدودة ومستمرة، فإن u تكون مستمرة.

يتم تناول سلوك الدالة u أعلاه عند تغيير الوقت t بواسطة معادلة كولموغوروف العكسية، ومعادلة فوكر-بلانك، وما إلى ذلك. (انظر أدناه.)

يتمتع انتشار إيتو X بخاصية مهمة وهي كونه ماركوفيًا : إن السلوك المستقبلي لـ X ، بالنظر إلى ما حدث حتى وقت معين t ، هو نفسه كما لو أن العملية قد بدأت عند الموضع X _t في الوقت 0. تتطلب الصياغة الرياضية الدقيقة لهذه العبارة بعض الرموز الإضافية:

لنفترض أن Σ _∗ ترمز إلى الترشيح الطبيعي لـ (Ω, Σ) الناتج عن الحركة البراونية B : لـ t ≥ 0،   

${\displaystyle \Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega \$ :\ 0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{ Borel}}\right\}.}

من السهل إثبات أن X متكيف مع Σ _∗ (أي أن كل X _t قابل للقياس Σ _t )، لذا فإن الترشيح الطبيعي F _∗  = F _∗ ^X لـ (Ω، Σ) الناتج عن X له F _t ⊆ Σ _t لكل t ≥ 0.      

لتكن f  : R ⁿ → R دالة محدودة وقابلة للقياس وفقًا لبوريل. عندئذٍ، لكل t و h ≥ 0، فإن التوقع الشرطي المشروط بالجبر σ- Σ _t وتوقع العملية "المُعاد تشغيلها" من X _t يحققان خاصية ماركوف التالية :     

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].}$

في الواقع، X هي أيضًا عملية ماركوف فيما يتعلق بالترشيح F _∗ ، كما هو موضح فيما يلي:

$\displaystyle \begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}}$

تُعدّ خاصية ماركوف القوية تعميمًا لخاصية ماركوف المذكورة أعلاه، حيث يُستبدل الزمن t بزمن عشوائي مناسب τ  :  Ω  →  [0,  +∞] يُعرف بزمن التوقف . فعلى سبيل المثال، بدلًا من "إعادة تشغيل" العملية X عند الزمن t  =  1، يُمكن "إعادة تشغيلها" عندما تصل X لأول مرة إلى نقطة محددة p في R ⁿ .

كما في السابق، لتكن f  : R ⁿ → R دالة محدودة وقابلة للقياس وفقًا لبوريل. ولتكن τ زمن توقف بالنسبة للترشيح Σ _∗ حيث τ < +∞ شبه مؤكد . عندئذٍ، لكل h ≥ 0،       

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.}$

Associated to each Itô diffusion, there is a second-order partial differential operator known as the generator of the diffusion. The generator is very useful in many applications and encodes a great deal of information about the process X. Formally, the infinitesimal generator of an Itô diffusion X is the operator A, which is defined to act on suitable functions f : Rⁿ → R by

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.}$

The set of all functions f for which this limit exists at a point x is denoted D_A(x), while D_A denotes the set of all f for which the limit exists for all x ∈ Rⁿ. One can show that any compactly-supportedC² (twice differentiable with continuous second derivative) function f lies in D_A and that

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x),}$

or, in terms of the gradient and scalar and Frobeniusinner products,

${\displaystyle Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).}$

The generator A for standard n-dimensional Brownian motion B, which satisfies the stochastic differential equation dX_t = dB_t, is given by

${\displaystyle Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x)}$,

i.e., A = Δ/2, where Δ denotes the Laplace operator.

The generator is used in the formulation of Kolmogorov's backward equation. Intuitively, this equation tells us how the expected value of any suitably smooth statistic of X evolves in time: it must solve a certain partial differential equation in which time t and the initial position x are the independent variables. More precisely, if f ∈ C²(Rⁿ; R) has compact support and u : [0, +∞) × Rⁿ → R is defined by

${\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}$

then u(t, x) is differentiable with respect to t, u(t, ·) ∈ D_A for all t, and u satisfies the following partial differential equation, known as Kolmogorov's backward equation:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

The Fokker–Planck equation (also known as Kolmogorov's forward equation) is in some sense the "adjoint" to the backward equation, and tells us how the probability density functions of X_t evolve with time t. Let ρ(t, ·) be the density of X_t with respect to Lebesgue measure on Rⁿ, i.e., for any Borel-measurable set S ⊆ Rⁿ,

${\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\,\mathrm {d} x.}$

Let A^∗ denote the Hermitian adjoint of A (with respect to the L²inner product). Then, given that the initial position X₀ has a prescribed density ρ₀, ρ(t, x) is differentiable with respect to t, ρ(t, ·) ∈ D_A* for all t, and ρ satisfies the following partial differential equation, known as the Fokker–Planck equation:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

The Feynman–Kac formula is a useful generalization of Kolmogorov's backward equation. Again, f is in C²(Rⁿ; R) and has compact support, and q : Rⁿ → R is taken to be a continuous function that is bounded below. Define a function v : [0, +∞) × Rⁿ → R by

${\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].}$

The Feynman–Kac formula states that v satisfies the partial differential equation

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

علاوة على ذلك، إذا كانت w  :  [0,  +∞)  × R ⁿ → R هي C ¹ في الزمن، C ² في المكان، محدودة على K × R ⁿ لجميع K المدمجة ، وتفي بالمعادلة التفاضلية الجزئية المذكورة أعلاه، فإن w يجب أن تكون v كما هو محدد أعلاه.     

معادلة كولموغوروف العكسية هي الحالة الخاصة لصيغة فاينمان-كاك التي يكون فيها q ( x )  =  0 لجميع x  ∈ R ⁿ . 

المؤثر المميز لانتشار إيتو X هو مؤثر تفاضلي جزئي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمولد، ولكنه أكثر عمومية إلى حد ما. وهو أكثر ملاءمة لبعض المسائل، على سبيل المثال في حل مسألة ديريشليه .

العامل المميز${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يُعرَّف X لانتشار إيتو بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},}$

حيث تشكل المجموعات U متتالية من المجموعات المفتوحة U _k التي تتناقص إلى النقطة x بالمعنى التالي:

${\displaystyle U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ and }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},}$

و

${\displaystyle \tau _{U}=\inf\{t\geq 0\$ :\ X_{t}\not \in U\}}

هو وقت الخروج الأول من U لـ X.${\displaystyle D_{\mathcal {A}}}$يرمز إلى مجموعة جميع الدوال f التي توجد لها هذه النهاية لجميع x  ∈ R ⁿ وجميع المتتاليات { U _k }. إذا كان E ^x [τ _U ] = +∞ لجميع المجموعات المفتوحة U التي تحتوي على x ، فعرّف   

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=0.}$

يرتبط المؤثر المميز والمولد المتناهي الصغر ارتباطًا وثيقًا، بل ويتفقان في فئة كبيرة من الدوال. ويمكن إثبات ذلك.

${\displaystyle D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}}$

وذلك

${\displaystyle Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ for all }}f\in D_{A}.}$

على وجه الخصوص، يتفق المولد والمؤثر المميز لجميع الدوال f ^{من الفئة} C2 ، وفي هذه الحالة

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

^أعلاه ، حُسب مولد (وبالتالي المؤثر المميز) الحركة البراونية على Rⁿ ليكون ⁠ 1/2 ⁠ Δ، حيث Δ يرمز إلى مؤثر لابلاس. يُفيد المؤثر المميز في تعريف الحركة البراونية على مشعب ريماني ذي m بُعد ( M , g ) : تُعرَّف الحركة البراونية على M بأنها انتشار على M يكون مؤثره المميز ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$في الإحداثيات المحلية xᵢ _، حيث 1  ≤ i ≤ m _، يُعطى بالعلاقة 1/2 ΔLB ، حيث _ΔLB هو مؤثر لابلاس-بيلترامي المُعطى في الإحداثيات المحلية بالعلاقة التالية :   

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

حيث [ g ^ij ]  =  [ g _ij ] ⁻¹ بمعنى معكوس المصفوفة المربعة .

يسهل حساب المقياس الثابت نسبيًا عندما تكون العملية X عبارة عن تدفق تدرج عشوائي من الشكل التالي:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

حيث يلعب β  >  0 دور درجة الحرارة العكسية ، وΨ  : R ⁿ → R هو جهد قياسي يحقق شروطًا مناسبة للنعومة والنمو. في هذه الحالة، تمتلك معادلة فوكر-بلانك حلاً ثابتًا وحيدًا ρ _∞ (أي أن X له مقياس ثابت وحيد μ _∞ بكثافة ρ _∞ )، ويُعطى هذا الحل بواسطة توزيع جيبس .   

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),}$

حيث تُعطى دالة التقسيم Z بواسطة

${\displaystyle Z=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.}$

علاوة على ذلك، فإن الكثافة ρ∞ _تحقق مبدأً تباينيًا : فهي تُقلل دالة الطاقة الحرة F المعطاة على جميع كثافات الاحتمال ρ على Rⁿ ^.

${\displaystyle F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}$

أين

${\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}$

يلعب دور دالة الطاقة، و

${\displaystyle S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x}$

هي معكوس دالة إنتروبيا جيبس-بولتزمان. حتى عندما لا يكون الجهد Ψ منتظمًا بما يكفي لتعريف دالة التوزيع Z ومقياس جيبس _​​μ∞ ، تظل الطاقة الحرة F [ρ( t ,  ·)] ذات معنى لكل زمن t  ≥  0، بشرط أن تكون الشروط الابتدائية F [ρ(0,  ·)]  < +∞. في الواقع،  دالة الطاقة الحرة F هي دالة ليابونوف لمعادلة فوكر-بلانك: يجب أن تتناقص F [ρ( t ,  ·)] مع ازدياد t . بالتالي ، F هي دالة H لديناميكيات X.

لنفترض عملية أورنستين-أولينبيك X على R ⁿ التي تحقق المعادلة التفاضلية العشوائية

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

حيث m  ∈ R ⁿ و β، κ > 0 ثوابت معطاة. في هذه الحالة، يُعطى الجهد Ψ بالعلاقة التالية:   

${\displaystyle \Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},}$

وبالتالي فإن المقياس الثابت لـ X هو مقياس غاوسي بكثافة ρ _∞ معطاة بواسطة

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right)}$.

بشكل تقريبي، بالنسبة لقيم t الكبيرة ، فإن X _t يتبع التوزيع الطبيعي تقريبًا بمتوسط ​​m وتباين (βκ) ⁻¹ . يمكن تفسير صيغة التباين كما يلي: القيم الكبيرة لـ κ تعني أن بئر الجهد Ψ له جوانب شديدة الانحدار، لذا من غير المرجح أن يتحرك X _t بعيدًا عن الحد الأدنى لـ Ψ عند m ؛ وبالمثل، فإن القيم الكبيرة لـ β تعني أن النظام بارد نسبيًا مع ضوضاء قليلة، لذا، مرة أخرى، من غير المرجح أن يتحرك X _t بعيدًا عن m .

في كثير من الحالات، يكفي معرفة متى سيغادر انتشار إيتو X مجموعة قابلة للقياس H  ⊆ R ⁿ لأول مرة . أي أن المرء يرغب في دراسة وقت الخروج الأول. 

${\displaystyle \tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.}$

لكن في بعض الأحيان، يرغب المرء أيضًا في معرفة توزيع النقاط التي يخرج عندها X من المجموعة. على سبيل المثال، الحركة البراونية الكلاسيكية B على خط الأعداد الحقيقية التي تبدأ من 0 تخرج من _الفترة ( −1,  1) عند −1 باحتمال 1/2 وعند 1 باحتمال 1/2 ، لذا فإن Bτ ( −1 _{, 1)} موزعة بشكل منتظم على المجموعة {−1, 1}.  

بشكل عام، إذا كانت G مضمنة بشكل مضغوط داخل R ⁿ ، فإن المقياس التوافقي (أو توزيع الاصطدام ) لـ X على حدود ∂ G لـ G هو المقياس μ _G ^x المعرف بواسطة

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]}$

لـ x  ∈ G و F ⊆ ∂ G .   

بالعودة إلى المثال السابق للحركة البراونية، يمكن للمرء أن يوضح أنه إذا كانت B حركة براونية في R ⁿ تبدأ عند x  ∈ R ⁿ و D ⊂ R ⁿ هي كرة مفتوحة مركزها x ، فإن المقياس التوافقي لـ B على ∂ D يكون ثابتًا تحت جميع دورانات D حول x ويتطابق مع مقياس السطح المعياري على ∂ D.   

يحقق المقياس التوافقي خاصية قيمة متوسطة مثيرة للاهتمام : إذا كانت f  : R ⁿ → R أي دالة محدودة وقابلة للقياس بوريل، و φ معطاة بواسطة   

${\displaystyle \varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],}$

ثم، بالنسبة لجميع مجموعات بوريل G  ⊂⊂ H وجميع x ∈ G ،   

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).}$

تُعد خاصية القيمة المتوسطة مفيدة للغاية في حل المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام العمليات العشوائية .

ليكن A مؤثرًا تفاضليًا جزئيًا على مجال D  ⊆ Rⁿ ^، وليكن X انتشار إيتو مع A كمولد له. بشكل بديهي، فإن مقياس غرين لمجموعة بوريل H هو متوسط ​​المدة الزمنية التي يبقى فيها X في H قبل أن يغادر المجال D. أي أن مقياس غرين لـ X بالنسبة إلى D عند x ، ويرمز له بـ G ( x , ·)، يُعرَّف لمجموعات بوريل H ⊆ Rⁿ كما يلي ^:    

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

أو بالنسبة للدوال المحدودة والمتصلة f  : D → R بواسطة   

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

يُستمد اسم "المقياس الأخضر" من حقيقة أنه إذا كانت X حركة براونية، فإن

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

حيث G ( x , y ) هي دالة غرين للمؤثر 1 / 2 Δ على المجال D. 

لنفترض أن E ^x [τ _D ]  <  +∞ لجميع x  ∈ D. عندئذٍ، تتحقق صيغة غرين لجميع f ∈ C ² ( R ⁿ ; R ) ذات الدعم المضغوط:    

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

على وجه الخصوص، إذا كان نطاق الدالة f مضمنًا بشكل مضغوط في D ،

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$