الميكانيكا الإحصائية

في الفيزياء ، تُعدّ الميكانيكا الإحصائية إطارًا رياضيًا يُطبّق الأساليب الإحصائية ونظرية الاحتمالات على تجمعات كبيرة من الكيانات المجهرية. تُعرف أحيانًا بالفيزياء الإحصائية أو الديناميكا الحرارية الإحصائية ، وتشمل تطبيقاتها العديد من المشكلات في مجالات متنوعة مثل علم الأحياء ، ^{[ 1 ]} وعلم الأعصاب ، ^{[ 2 ]} وعلوم الحاسوب ، ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} ونظرية المعلومات ^{، [ 5 ]} وعلم الاجتماع . ^{[ 6 ]} هدفها الرئيسي هو توضيح خصائص المادة بشكل إجمالي، من خلال القوانين الفيزيائية التي تحكم حركة الذرات. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

نشأت الميكانيكا الإحصائية من تطور الديناميكا الحرارية الكلاسيكية ، وهو مجال نجحت فيه في تفسير الخصائص الفيزيائية العيانية - مثل درجة الحرارة والضغط والسعة الحرارية - بدلالة معلمات مجهرية تتذبذب حول قيم متوسطة وتتميز بتوزيعات احتمالية . ^{[ 9 ]}^{: 1-4}

بينما يهتم علم الديناميكا الحرارية الكلاسيكي في المقام الأول بالتوازن الديناميكي الحراري ، فقد طُبقت الميكانيكا الإحصائية في مجال الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة لمعالجة مسائل النمذجة المجهرية لسرعة العمليات غير العكوسة التي تحركها الاختلالات. ^{[ 9 ]}^{: 3.} تشمل أمثلة هذه العمليات التفاعلات الكيميائية وتدفقات الجسيمات والحرارة. تُعد نظرية التذبذب والتبدد المعرفة الأساسية المُستمدة من تطبيق الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة لدراسة أبسط حالة غير متوازنة لتدفق تيار مستقر في نظام يتكون من العديد من الجسيمات. ^{[ 9 ]}^{: 572-573}

تاريخ

توفي لودفيج بولتزمان، الذي أمضى معظم حياته في دراسة الميكانيكا الإحصائية، منتحراً عام 1906. وواصل بول إهرنفست عمله، لكنه توفي بالطريقة نفسها عام 1933. والآن حان دورنا لدراسة الميكانيكا الإحصائية.

— ديفيد إل. جودستين، حالات المادة ^{[ 10 ]}

في عام 1738، نشر الفيزيائي والرياضي السويسري دانيال برنولي كتاب "الهيدروديناميكا" الذي وضع الأساس للنظرية الحركية للغازات . في هذا العمل، طرح برنولي الحجة التي لا تزال مستخدمة حتى يومنا هذا، وهي أن الغازات تتكون من أعداد هائلة من الجزيئات التي تتحرك في جميع الاتجاهات، وأن اصطدامها بسطح ما يُسبب ضغط الغاز الذي نشعر به، وأن ما نشعر به كحرارة ليس سوى الطاقة الحركية لحركتها. ^{[ 11 ]}

يُنسب تأسيس مجال الميكانيكا الإحصائية عموماً إلى ثلاثة فيزيائيين:

لودفيج بولتزمان ، الذي طور التفسير الأساسي للإنتروبيا من حيث مجموعة من الحالات المجهرية
جيمس كلارك ماكسويل ، الذي طور نماذج لتوزيع الاحتمالات لمثل هذه الحالات
جوزيا ويلارد جيبس ، الذي صاغ اسم الحقل في عام 1884

في عام 1859، وبعد قراءة بحثٍ لرودولف كلاوزيوس حول انتشار الجزيئات ، صاغ الفيزيائي الاسكتلندي ماكسويل توزيع ماكسويل لسرعات الجزيئات، والذي حدد نسبة الجزيئات التي تمتلك سرعة معينة ضمن نطاق محدد. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} وكان هذا أول قانون إحصائي في الفيزياء. ^{[ 14 ]} كما قدم ماكسويل أول حجة ميكانيكية مفادها أن تصادمات الجزيئات تستلزم تساوي درجات الحرارة، وبالتالي ميلًا نحو حالة التوازن. ^{[ 15 ]} وبعد خمس سنوات، في عام 1864، اطلع بولتزمان، وهو طالب شاب في فيينا، على بحث ماكسويل، وكرّس جزءًا كبيرًا من حياته لتطوير هذا الموضوع.

بدأ علم الميكانيكا الإحصائية في سبعينيات القرن التاسع عشر مع أعمال بولتزمان، التي نُشر معظمها في محاضراته حول نظرية الغازات عام ١٨٩٦. ^{[ ١٦ ]} وتشغل أوراق بولتزمان الأصلية حول التفسير الإحصائي للديناميكا الحرارية، ونظرية H ، ونظرية النقل ، والتوازن الحراري ، ومعادلة حالة الغازات، ومواضيع مشابهة، حوالي ٢٠٠٠ صفحة في وقائع أكاديمية فيينا وغيرها من الجمعيات. وقد قدّم بولتزمان مفهوم المجموعة الإحصائية المتوازنة، كما بحث لأول مرة في الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة، من خلال نظريته H.

صاغ الفيزيائي الرياضي الأمريكي جيبس مصطلح "الميكانيكا الإحصائية" في عام 1884. ^{[ 17 ]} ووفقًا لجيبس، فإن مصطلح "الإحصائي"، في سياق الميكانيكا، أي الميكانيكا الإحصائية، استخدمه ماكسويل لأول مرة في عام 1871:

"عند التعامل مع كتل المادة، وبينما لا ندرك الجزيئات الفردية، فإننا مضطرون إلى تبني ما وصفته بالطريقة الإحصائية للحساب، والتخلي عن الطريقة الديناميكية الصارمة، التي نتبع فيها كل حركة عن طريق الحساب."

— ج. كليرك ماكسويل ^{[ 18 ]}

قد يبدو مصطلح "الميكانيكا الاحتمالية" اليوم أكثر ملاءمة، لكن مصطلح "الميكانيكا الإحصائية" راسخ بقوة. ^{[ 19 ]} قبل وفاته بفترة وجيزة، نشر جيبس عام 1902 كتاب "المبادئ الأولية في الميكانيكا الإحصائية "، الذي صاغ الميكانيكا الإحصائية كمنهج عام شامل لمعالجة جميع الأنظمة الميكانيكية - سواء كانت ماكروسكوبية أو ميكروسكوبية، غازية أو غير غازية. ^{[ 20 ]} استُمدت طرق جيبس في البداية من إطار الميكانيكا الكلاسيكية . ومع ذلك، فقد كانت ذات عمومية عالية لدرجة أنها وُجد أنها تتكيف بسهولة مع ميكانيكا الكم اللاحقة ، ولا تزال تُشكل أساس الميكانيكا الإحصائية حتى يومنا هذا. ^{[ 21 ]}

المبادئ: الميكانيكا والمجموعات الموسيقية

في الفيزياء، يُدرس عادةً نوعان من الميكانيكا: الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم . ^{[ 9 ]}^{: الفصل 1.} بالنسبة لكلا النوعين من الميكانيكا، يتمثل النهج الرياضي القياسي في النظر في مفهومين:

الحالة الكاملة للنظام الميكانيكي في لحظة زمنية معينة، مُشفّرة رياضياً كنقطة طور (الميكانيكا الكلاسيكية) أو كمتجه حالة كمومية بحتة (ميكانيكا الكم). ^{[ 22 ]}^{: 1}
معادلة حركة تنقل الحالة إلى الأمام في الزمن: معادلات هاميلتون (الميكانيكا الكلاسيكية) أو معادلة شرودنغر (ميكانيكا الكم). ^{[ 23 ]}

باستخدام هذين المفهومين، يمكن من حيث المبدأ حساب حالة النظام في أي وقت آخر، سواءً في الماضي أو المستقبل. ^{[ 9 ]}^{: 7} ومع ذلك، ثمة فجوة بين هذه القوانين وتجارب الحياة اليومية، ^{[ 22 ]}^{: 1} إذ لا نجد ضرورة (بل من غير الممكن نظريًا في ميكانيكا الكم) لمعرفة المواضع والسرعات المتزامنة لكل جزيء بدقة على المستوى المجهري أثناء إجراء عمليات على المستوى البشري (على سبيل المثال، عند إجراء تفاعل كيميائي). تسد الميكانيكا الإحصائية هذه الفجوة بين قوانين الميكانيكا والتجربة العملية للمعرفة غير الكاملة، وذلك بإضافة قدر من عدم اليقين بشأن حالة النظام. ^{[ 9 ]}^{: الفصل 1}

بينما يقتصر علم الميكانيكا التقليدي على دراسة سلوك حالة واحدة، يُقدّم علم الميكانيكا الإحصائية مفهوم المجموعة الإحصائية ، وهي عبارة عن مجموعة كبيرة من النسخ الافتراضية المستقلة للنظام في حالات مختلفة. تُمثّل المجموعة الإحصائية توزيعًا احتماليًا على جميع الحالات الممكنة للنظام. في علم الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكي، تُمثّل المجموعة توزيعًا احتماليًا على نقاط الطور (بدلًا من نقطة طور واحدة في علم الميكانيكا التقليدي)، وعادةً ما تُمثّل كتوزيع في فضاء طور ذي محاور إحداثيات قياسية . أما في علم الميكانيكا الإحصائية الكمومية، فتُمثّل المجموعة توزيعًا احتماليًا على الحالات النقية، ويمكن تلخيصها بإيجاز في مصفوفة كثافة . ^{[ 22 ]}^{: 13}

وكما هو معتاد بالنسبة للاحتمالات، يمكن تفسير المجموعة بطرق مختلفة: ^{[ 20 ]}

يمكن اعتبار مجموعة ما بمثابة تمثيل لمختلف الحالات الممكنة التي يمكن أن يكون عليها نظام واحد ( الاحتمالية المعرفية ، وهي شكل من أشكال المعرفة)، أو
يمكن فهم أعضاء المجموعة على أنها حالات الأنظمة في التجارب المتكررة على أنظمة مستقلة تم إعدادها بطريقة مماثلة ولكن غير مضبوطة تمامًا ( الاحتمالية التجريبية )، في حد عدد لا نهائي من المحاولات.

هذان المعنيان متكافئان لأغراض عديدة، وسيتم استخدامهما بشكل متبادل في هذه المقالة. ^{[ 11 ]}

بغض النظر عن تفسير الاحتمالية، فإن كل حالة في المجموعة تتطور بمرور الوقت وفقًا لمعادلة الحركة. وبالتالي، فإن المجموعة نفسها (توزيع الاحتمالية على الحالات) ^{[ 23 ]}^{: 16} تتطور أيضًا، حيث تتحرك الأنظمة الافتراضية في المجموعة عبر حالات مختلفة. يُعطى تطور المجموعة بمعادلة ليوفيل (الميكانيكا الكلاسيكية) أو معادلة فون نيومان (ميكانيكا الكم). يمكن اشتقاق هذه المعادلات بتطبيق معادلة الحركة الميكانيكية بشكل منفصل على كل نظام افتراضي موجود في المجموعة، مع الحفاظ على احتمالية كل نظام افتراضي بمرور الوقت أثناء تطوره. ^{[ 23 ]}^{: 43}^{[ 22 ]}^{: 14}

تُعدّ المجموعات التي لا تتطور بمرور الوقت فئةً خاصةً من المجموعات. تُعرف هذه المجموعات بمجموعات التوازن ، ويُطلق على حالتها اسم التوازن الإحصائي . ^{[ 9 ]}^{: الفصل 3.} يتحقق التوازن الإحصائي إذا احتوت كل حالة في المجموعة على جميع حالاتها المستقبلية والسابقة باحتمالات تُساوي احتمال وجودها في تلك الحالة. (على النقيض من ذلك، فإن التوازن الميكانيكي هو حالة توازن قوى توقفت عن التطور). يركز علم الديناميكا الحرارية الإحصائية على دراسة مجموعات التوازن للأنظمة المعزولة. أما الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة فتتناول الحالة الأكثر عمومية للمجموعات التي تتغير بمرور الوقت، و/أو مجموعات الأنظمة غير المعزولة. ^{[ 24 ]}

الديناميكا الحرارية الإحصائية

يتمثل الهدف الرئيسي للديناميكا الحرارية الإحصائية (المعروفة أيضًا باسم ميكانيكا التوازن الإحصائية) في اشتقاق الديناميكا الحرارية الكلاسيكية للمواد بدلالة خصائص جسيماتها المكونة لها والتفاعلات فيما بينها. بعبارة أخرى، توفر الديناميكا الحرارية الإحصائية صلة بين الخصائص الماكروية للمواد في حالة التوازن الديناميكي الحراري ، والسلوكيات والحركات الميكروسكوبية التي تحدث داخل المادة.

بينما تتضمن الميكانيكا الإحصائية في جوهرها الديناميكا، ينصب التركيز هنا على التوازن الإحصائي (الحالة المستقرة). لا يعني التوازن الإحصائي توقف الجسيمات عن الحركة ( التوازن الميكانيكي )، بل يعني فقط أن المجموعة لا تتطور.

الفرضية الأساسية

يُعدّ شرطًا كافيًا (وإن لم يكن ضروريًا) لتحقيق التوازن الإحصائي في نظام معزول أن يكون توزيع الاحتمالية دالةً فقط للخصائص المحفوظة (الطاقة الكلية، العدد الكلي للجسيمات، إلخ). ^{[ 20 ]} توجد العديد من مجموعات التوازن المختلفة التي يمكن دراستها، وبعضها فقط يتوافق مع الديناميكا الحرارية. ^{[ 20 ]} ثمة مسلمات إضافية ضرورية لتبرير سبب اتخاذ مجموعة التوازن لنظام معين شكلًا معينًا دون غيره.

يتمثل أحد الأساليب الشائعة في العديد من الكتب الدراسية في اعتماد فرضية الاحتمال المسبق المتساوي . ^{[ 21 ]} تنص هذه الفرضية على أن

بالنسبة لنظام معزول ذي طاقة معروفة بدقة وتركيب معروف بدقة، يمكن العثور على النظام باحتمالية متساوية في أي حالة مجهرية تتوافق مع تلك المعرفة.

لذا، فإن فرضية تساوي الاحتمالية المسبقة تُشكل دافعًا للمجموعة الميكروكانونية الموصوفة أدناه. وهناك حجج عديدة تدعم فرضية تساوي الاحتمالية المسبقة.

فرضية الإرجودية : النظام الإرجودي هو نظام يتطور بمرور الوقت لاستكشاف جميع الحالات "المتاحة": أي جميع الحالات التي لها نفس الطاقة والتركيب. في النظام الإرجودي، تُعدّ المجموعة الميكروكانونية المجموعة الوحيدة الممكنة للتوازن ذات الطاقة الثابتة. هذا النهج محدود التطبيق، لأن معظم الأنظمة ليست إرجودية.
مبدأ اللامبالاة : في غياب أي معلومات إضافية، لا يمكننا إلا أن نخصص احتمالات متساوية لكل حالة متوافقة.
أقصى إنتروبيا للمعلومات : تنص نسخة أكثر تفصيلاً من مبدأ اللامبالاة على أن المجموعة الصحيحة هي المجموعة المتوافقة مع المعلومات المعروفة والتي تمتلك أكبر إنتروبيا جيبس ( إنتروبيا المعلومات ). ^{[ 25 ]}

كما طُرحت مسلمات أساسية أخرى للميكانيكا الإحصائية. ^{[ 11 ]}^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} على سبيل المثال، تُظهر الدراسات الحديثة أنه يمكن بناء نظرية الميكانيكا الإحصائية دون مسلمة تساوي الاحتمالات المسبقة. ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} أحد هذه النماذج يعتمد على العلاقة الديناميكية الحرارية الأساسية بالإضافة إلى مجموعة المسلمات التالية: ^{[ 26 ]}

دالة كثافة الاحتمال تتناسب مع دالة ما لمعاملات المجموعة والمتغيرات العشوائية.
يتم وصف دوال الحالة الديناميكية الحرارية بواسطة المتوسطات الإحصائية للمتغيرات العشوائية.
تتطابق الإنتروبيا كما تم تعريفها بواسطة صيغة جيبس للإنتروبيا مع الإنتروبيا كما تم تعريفها في الديناميكا الحرارية الكلاسيكية .

حيث يمكن استبدال الفرضية الثالثة بما يلي: ^{[ 27 ]}

عند درجة حرارة لا نهائية، يكون لجميع الحالات المجهرية نفس الاحتمالية.

ثلاث مجموعات ديناميكية حرارية

توجد ثلاث مجموعات توازن ذات شكل بسيط يمكن تعريفها لأي نظام معزول محصور داخل حجم محدود. ^{[ 20 ]} هذه هي المجموعات الأكثر شيوعًا في الديناميكا الحرارية الإحصائية. في الحد العياني (المُعرَّف أدناه)، تتوافق جميعها مع الديناميكا الحرارية الكلاسيكية.

مجموعة ميكروكانونية: يصف هذا النظام طاقة محددة بدقة وتركيبًا ثابتًا (عددًا دقيقًا من الجسيمات). تحتوي المجموعة الميكروكانونية باحتمالية متساوية على كل حالة ممكنة تتوافق مع تلك الطاقة والتركيب.
المجموعة الكنسية: يصف نظامًا ذا تركيب ثابت يكون في حالة توازن حراري مع خزان حراري ذي درجة حرارة محددة . تحتوي المجموعة الكنسية على حالات ذات طاقة متفاوتة ولكن بتركيب متطابق؛ وتُمنح الحالات المختلفة في المجموعة احتمالات مختلفة اعتمادًا على طاقتها الكلية.
فرقة موسيقية كبرى: يصف هذا النموذج نظامًا ذا تركيب غير ثابت (عدد جسيمات غير محدد) في حالة توازن حراري وكيميائي مع خزان ديناميكي حراري. يتميز هذا الخزان بدرجة حرارة دقيقة، وجهود كيميائية دقيقة لأنواع مختلفة من الجسيمات. تحتوي المجموعة الكبرى الكنسية على حالات ذات طاقة وعدد جسيمات متفاوتين؛ وتُمنح الحالات المختلفة في المجموعة احتمالات مختلفة تبعًا لطاقتها الكلية وعدد جسيماتها الكلي.

بالنسبة للأنظمة التي تحتوي على العديد من الجسيمات ( الحد الديناميكي الحراري )، تميل المجموعات الثلاث المذكورة أعلاه إلى إعطاء سلوك متطابق. عندئذٍ، يصبح اختيار المجموعة المستخدمة مسألة ملائمة رياضياً. ^{[ 9 ]}^{: 227.} وقد طُوِّرت نظرية جيبس حول تكافؤ المجموعات ^{[ 28 ]} إلى نظرية ظاهرة تركيز القياس ، ^{[ 29 ]} التي لها تطبيقات في العديد من مجالات العلوم، من التحليل الوظيفي إلى أساليب الذكاء الاصطناعي وتقنية البيانات الضخمة . ^{[ 30 ]}

تشمل الحالات المهمة التي لا تعطي فيها المجموعات الديناميكية الحرارية نتائج متطابقة ما يلي:

الأنظمة المجهرية.
الأنظمة الكبيرة في مرحلة انتقالية.
أنظمة كبيرة ذات تفاعلات بعيدة المدى.

في هذه الحالات، يجب اختيار المجموعة الديناميكية الحرارية الصحيحة، إذ توجد اختلافات ملحوظة بين هذه المجموعات ليس فقط في حجم التقلبات، بل أيضًا في الكميات المتوسطة مثل توزيع الجسيمات. المجموعة الصحيحة هي تلك التي تتوافق مع طريقة تحضير النظام وتوصيفه، أي المجموعة التي تعكس المعرفة المتوفرة عن ذلك النظام. ^{[ 21 ]}

المجموعات الديناميكية الحرارية ^{[ 20 ]}
	الميكروكانوني	كانونيكال	القانون الكنسي الكبير
المتغيرات الثابتة	$E,N,V$	$T,N,V$	$T,\mu ,V$
السمات المجهرية	عدد الحالات الميكروية	دالة التقسيم الكنسية	دالة التقسيم الكبير
السمات المجهرية	$W$	$Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}$	${\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}$
الوظيفة العيانية	إنتروبيا بولتزمان	طاقة هلمهولتز الحرة	إمكانات هائلة
الوظيفة العيانية	$S=k_{B}\log W$	$F=-k_{B}T\log Z$	$\Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}$

طرق الحساب

بمجرد تحديد دالة التوزيع لمجموعة من العناصر لنظام معين، يُعتبر هذا النظام "محلولاً"، إذ يمكن اشتقاق جميع المتغيرات الديناميكية الحرارية الكلية منه عبر المشتقات الجزئية. مع ذلك، يُعد حساب دالة التوزيع لمجموعة من العناصر الديناميكية الحرارية تحديًا كبيرًا في كثير من الأحيان، لأنه يتطلب إجراء عملية جمع أو تكامل على كل حالة مجهرية ممكنة للنظام. في حين أن بعض النماذج المثالية تسمح بحلول تحليلية دقيقة، فإن معظم أنظمة الأجسام المتعددة الواقعية معقدة للغاية بحيث لا يمكن معالجتها بهذه الطريقة. ونتيجة لذلك، تُستخدم تقنيات تقريبية متنوعة - مثل نظرية المجال المتوسط، وتوسعات الاضطراب، أو محاكاة مونت كارلو - لتقدير دالة التوزيع وحساب القيم المتوسطة للكميات الفيزيائية.

بالضبط

هناك بعض الحالات التي تسمح بحلول دقيقة.

بالنسبة للأنظمة المجهرية الصغيرة جدًا، يمكن حساب المجموعات مباشرة عن طريق تعداد جميع الحالات الممكنة للنظام (باستخدام القطرنة الدقيقة في ميكانيكا الكم، أو التكامل على جميع فضاء الطور في الميكانيكا الكلاسيكية).
تتألف بعض الأنظمة الكبيرة من العديد من الأنظمة المجهرية المنفصلة، ويمكن تحليل كل نظام فرعي منها بشكل مستقل. ومن الجدير بالذكر أن الغازات المثالية المكونة من جسيمات غير متفاعلة تتمتع بهذه الخاصية، مما يسمح باشتقاق دقيق لإحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، وإحصاءات فيرمي-ديراك ، وإحصاءات بوز-أينشتاين . ^{[ 21 ]}
تم حل بعض الأنظمة الكبيرة ذات التفاعلات. وباستخدام تقنيات رياضية دقيقة، تم التوصل إلى حلول دقيقة لبعض النماذج البسيطة . ^{[ 31 ]} ومن الأمثلة على ذلك فرضية بيث ، ونموذج إيزينغ ذو الشبكة المربعة في مجال صفري، ونموذج السداسي الصلب .

مونت كارلو

على الرغم من إمكانية حل بعض مسائل الفيزياء الإحصائية تحليليًا باستخدام التقريبات والتوسعات، فإن معظم الأبحاث الحالية تستغل القدرة الحاسوبية الهائلة للحواسيب الحديثة لمحاكاة الحلول أو تقريبها. ومن الأساليب الشائعة في حل المسائل الإحصائية استخدام محاكاة مونت كارلو لفهم خصائص الأنظمة المعقدة . وتُعدّ طرق مونت كارلو مهمة في الفيزياء الحاسوبية والكيمياء الفيزيائية والمجالات ذات الصلة، ولها تطبيقات متنوعة تشمل الفيزياء الطبية ، حيث تُستخدم لنمذجة انتقال الإشعاع في حسابات قياس جرعات الإشعاع. ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}

تعتمد طريقة مونت كارلو على فحص عدد قليل من الحالات الممكنة للنظام، حيث تُختار هذه الحالات عشوائيًا (مع مراعاة وزنها). وطالما أن هذه الحالات تُشكّل عينة تمثيلية لمجموعة حالات النظام بأكملها، يتم الحصول على دالة مميزة تقريبية. ومع زيادة عدد العينات العشوائية المُدرجة، تنخفض الأخطاء إلى مستوى منخفض للغاية.

خوارزمية متروبوليس -هاستينغز هي طريقة مونت كارلو كلاسيكية تم استخدامها في البداية لأخذ عينات من المجموعة الكنسية.
تُستخدم طريقة مونت كارلو للتكامل المساري أيضًا لأخذ عينات من المجموعة الكنسية.

آخر

بالنسبة للغازات غير المثالية المخففة، تستخدم طرق مثل توسيع المجموعة نظرية الاضطراب لإدراج تأثير التفاعلات الضعيفة، مما يؤدي إلى توسيع فيريال . ^{[ 35 ]}
بالنسبة للسوائل الكثيفة، يعتمد نهج تقريبي آخر على دوال التوزيع المختزلة، وخاصة دالة التوزيع الشعاعي . ^{[ 35 ]}
يمكن استخدام محاكاة الديناميكا الجزيئية الحاسوبية لحساب متوسطات المجموعات الميكروكانونية في الأنظمة الإرجودية. وبإضافة اتصال بحمام حراري عشوائي، يمكنها أيضًا نمذجة الظروف الكانونية والكانونية الكبرى.
قد تكون الطرق المختلطة التي تتضمن نتائج الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة (انظر أدناه) مفيدة.

الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة

تتضمن العديد من الظواهر الفيزيائية عمليات شبه ديناميكية حرارية خارجة عن حالة التوازن، على سبيل المثال:

انتقال الحرارة عن طريق الحركات الداخلية في المادة ، مدفوعةً بعدم توازن درجة الحرارة.
التيارات الكهربائية التي تحملها حركة الشحنات في موصل ، مدفوعة بعدم توازن الجهد،
التفاعلات الكيميائية التلقائية التي تحركها انخفاضات في الطاقة الحرة،
الاحتكاك ، التبديد ، التفكك الكمي ،
الأنظمة التي يتم ضخها بواسطة قوى خارجية ( الضخ الضوئي ، وما إلى ذلك)،
والعمليات غير القابلة للانعكاس بشكل عام.

تحدث جميع هذه العمليات بمرور الوقت بمعدلات مميزة، وهذه المعدلات مهمة في الهندسة. يهتم مجال الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة بفهم هذه العمليات غير المتوازنة على المستوى المجهري. (لا يمكن استخدام الديناميكا الحرارية الإحصائية لحساب النتيجة النهائية إلا بعد إزالة الاختلالات الخارجية وعودة المجموعة إلى حالة التوازن).

من حيث المبدأ، يمكن أن تكون الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة دقيقة رياضيًا: إذ تتطور مجموعات الأنظمة المعزولة بمرور الوقت وفقًا لمعادلات حتمية مثل معادلة ليوفيل أو مكافئها الكمي، معادلة فون نيومان . وتنتج هذه المعادلات عن تطبيق معادلات الحركة الميكانيكية بشكل مستقل على كل حالة في المجموعة. وترث معادلات تطور المجموعة هذه الكثير من تعقيد الحركة الميكانيكية الأساسية، ولذا يصعب الحصول على حلول دقيقة. علاوة على ذلك، فإن معادلات تطور المجموعة قابلة للانعكاس تمامًا ولا تُفقد المعلومات ( يُحفظ إنتروبيا جيبس للمجموعة ). ولإحراز تقدم في نمذجة العمليات غير القابلة للانعكاس، من الضروري مراعاة عوامل إضافية إلى جانب الاحتمالية والميكانيكا القابلة للانعكاس.

لذا، تُعدّ ميكانيكا اللا توازن مجالًا نشطًا للبحث النظري، إذ لا يزال نطاق صلاحية هذه الافتراضات الإضافية قيد الاستكشاف. وسيتم وصف بعض المناهج في الأقسام الفرعية التالية.

الأساليب العشوائية

يتمثل أحد مناهج الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة في دمج السلوك العشوائي في النظام. يُفقد السلوك العشوائي المعلومات الموجودة في المجموعة. ورغم أن هذا غير دقيق من الناحية التقنية (باستثناء الحالات الافتراضية التي تتضمن ثقوبًا سوداء ، لا يمكن لنظام ما أن يتسبب في فقدان المعلومات بحد ذاته)، تُضاف العشوائية لتعكس تحول المعلومات المهمة بمرور الوقت إلى ارتباطات دقيقة داخل النظام، أو إلى ارتباطات بين النظام والبيئة المحيطة. تظهر هذه الارتباطات كتأثيرات فوضوية أو شبه عشوائية على المتغيرات محل الاهتمام. وباستبدال هذه الارتباطات بالعشوائية الحقيقية، يمكن تبسيط الحسابات بشكل كبير.

معادلة بولتزمان للنقل : ظهر شكل مبكر من الميكانيكا العشوائية حتى قبل صياغة مصطلح "الميكانيكا الإحصائية"، وذلك في دراسات النظرية الحركية . وقد أثبت جيمس كلارك ماكسويل أن التصادمات الجزيئية تؤدي إلى حركة فوضوية ظاهريًا داخل الغاز. ثم بيّن لودفيج بولتزمان أنه بافتراض هذه الفوضى الجزيئية كعملية عشوائية كاملة، فإن حركة الجسيمات في الغاز تتبع معادلة بولتزمان البسيطة للنقل ، والتي تعيد الغاز بسرعة إلى حالة التوازن (انظر نظرية H ). تُعد معادلة بولتزمان للنقل والأساليب ذات الصلة أدوات مهمة في الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة نظرًا لبساطتها الشديدة. تعمل هذه التقريبات بشكل جيد في الأنظمة التي تختلط فيها المعلومات "المهمة" فورًا (بعد تصادم واحد فقط) لتشكل ارتباطات دقيقة، مما يحدّ من استخدامها في الغازات المخففة. لقد وُجد أن معادلة بولتزمان للنقل مفيدة للغاية في محاكاة نقل الإلكترونات في أشباه الموصلات ذات التطعيم الخفيف (في الترانزستورات )، حيث تُشابه الإلكترونات في الواقع الغاز المتخلخل. ومن التقنيات الكمومية ذات الصلة تقريب الطور العشوائي .
تسلسل BBGKY : في السوائل والغازات الكثيفة، لا يصح تجاهل الارتباطات بين الجسيمات بعد تصادم واحد. يوفر تسلسل BBGKY (تسلسل بوغوليوبوف-بورن-غرين-كيركوود-إيفون) طريقةً لاشتقاق معادلات من نوع بولتزمان، كما يوسع نطاقها ليشمل الارتباطات بعد عدة تصادمات، متجاوزًا حالة الغازات المخففة.
صيغة كيلديش (المعروفة أيضًا باسم دوال غرين غير المتوازنة NEGF): تُقدم صيغة كيلديش منهجًا كميًا لإدراج الديناميكيات العشوائية. ويُستخدم هذا المنهج غالبًا فيحسابات النقل الكمي الإلكتروني.
معادلة ليوفيل العشوائية .

طرق شبه التوازن

يتناول نوع آخر مهم من نماذج الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة الأنظمة التي تتعرض لاضطرابات طفيفة جدًا عن حالة التوازن. مع هذه الاضطرابات الصغيرة جدًا، يمكن تحليل الاستجابة باستخدام نظرية الاستجابة الخطية . ومن النتائج اللافتة، كما هو مُصاغ في نظرية التذبذب والتبدد ، أن استجابة النظام عندما يكون قريبًا من حالة التوازن ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتقلبات التي تحدث عندما يكون النظام في حالة توازن تام. بمعنى آخر، فإن النظام الذي ينحرف قليلًا عن حالة التوازن - سواءً كان ذلك بفعل قوى خارجية أو تقلبات - يعود تدريجيًا إلى حالة التوازن بنفس الطريقة، لأن النظام لا يستطيع التمييز بين حالتي الانحراف أو "معرفة" كيف أصبح منحرفًا عن حالة التوازن. ^{[ 35 ]}^{: 664}

يُتيح هذا مسارًا غير مباشر للحصول على قيم مثل الموصلية الأومية والموصلية الحرارية من خلال استخلاص النتائج من ميكانيكا الإحصاء في حالة الاتزان. ولأن ميكانيكا الإحصاء في حالة الاتزان مُعرَّفة رياضيًا تعريفًا دقيقًا، وفي بعض الحالات أكثر ملاءمةً للحسابات، فإن الربط بين التذبذب والتبدد يُمكن أن يكون اختصارًا مناسبًا للحسابات في ميكانيكا الإحصاء شبه المتوازنة.

تتضمن بعض الأدوات النظرية المستخدمة لإجراء هذا الربط ما يلي:

الأساليب الهجينة

يستخدم نهج متقدم مزيجًا من الأساليب العشوائية ونظرية الاستجابة الخطية . على سبيل المثال، يتمثل أحد أساليب حساب تأثيرات التماسك الكمي ( التمركز الضعيف ، وتقلبات الموصلية ) في موصلية نظام إلكتروني في استخدام علاقات غرين-كوبو، مع تضمين التلاشي العشوائي الناتج عن التفاعلات بين الإلكترونات المختلفة باستخدام طريقة كيلديش. ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

التطبيقات

يمكن استخدام منهجية المجموعات لتحليل الأنظمة الميكانيكية العامة التي تتسم بعدم اليقين في معرفة حالة النظام. كما تُستخدم المجموعات في:

انتشار عدم اليقين بمرور الوقت، ^{[ 20 ]}
تحليل الانحدار للمدارات الجاذبية ،
التنبؤ الجماعي بالطقس،
ديناميكيات الشبكات العصبية ،
الألعاب ذات الإمكانات العقلانية المحدودة في نظرية الألعاب والاقتصاد غير المتوازن .

يُفسر علم الفيزياء الإحصائية ويصف كميًا ظواهر مثل الموصلية الفائقة ، والميوعة الفائقة ، والاضطراب ، والظواهر الجماعية في المواد الصلبة والبلازما ، والخصائص البنيوية للسوائل . وهو أساس الفيزياء الفلكية الحديثة ونظرية فيريال . في فيزياء الحالة الصلبة، يُساعد علم الفيزياء الإحصائية في دراسة البلورات السائلة ، والتحولات الطورية ، والظواهر الحرجة . وتعتمد العديد من الدراسات التجريبية للمادة كليًا على الوصف الإحصائي للنظام، بما في ذلك تشتت النيوترونات الباردة ، والأشعة السينية ، والضوء المرئي ، وغيرها. كما يلعب علم الفيزياء الإحصائية دورًا في علوم المواد، والفيزياء النووية، والفيزياء الفلكية، والكيمياء، وعلم الأحياء، والطب (مثل دراسة انتشار الأمراض المعدية).

يمكن توسيع نطاق التقنيات التحليلية والحسابية المستمدة من الفيزياء الإحصائية للأنظمة غير المنتظمة لتشمل المشكلات واسعة النطاق، بما في ذلك التعلم الآلي، على سبيل المثال لتحليل فضاء الأوزان للشبكات العصبية العميقة . ^{[ 38 ]} وبالتالي، تجد الفيزياء الإحصائية تطبيقات في مجال التشخيص الطبي . ^{[ 39 ]}

ميكانيكا الإحصاء الكمي

الميكانيكا الإحصائية الكمومية هي تطبيق الميكانيكا الإحصائية على الأنظمة الكمومية . في الميكانيكا الكمومية، يُوصف التوزيع الإحصائي (توزيع الاحتمالات على الحالات الكمومية الممكنة) بواسطة مؤثر الكثافة S ، وهو مؤثر غير سالب، ذاتي الترافق ، من فئة الأثر ، أثره يساوي 1 على فضاء هيلبرت H الذي يصف النظام الكمومي. يمكن إثبات ذلك باستخدام العديد من الصيغ الرياضية للميكانيكا الكمومية ، ومنها المنطق الكمومي .

فهرس مواضيع الميكانيكا الإحصائية

الفيزياء

نظرية الترشيح

انظر أيضاً

مراجع

↑ تيشندورف، أندرو إي.؛ فاينبرغ، أندرو ب. (يوليو 2021). "الميكانيكا الإحصائية تلتقي بعلم الأحياء أحادي الخلية" . مجلة نيتشر ريفيوز جينيتكس . 22 (7): 459-476 . doi : 10.1038/s41576-021-00341-z . PMC 10152720. PMID 33875884 .
↑ أدفاني، مادهو؛ لاهيري، سوبهانيل؛ جانجولي، سوريا (12 مارس 2013). "الميكانيكا الإحصائية للأنظمة العصبية المعقدة والبيانات عالية الأبعاد". مجلة الميكانيكا الإحصائية: النظرية والتجربة . 2013 (3) P03014. arXiv : 1301.7115 . Bibcode : 2013JSMTE..03..014A . doi : 10.1088/1742-5468/2013/03/P03014 .
↑ هوانغ، هايبينغ (2021). الميكانيكا الإحصائية للشبكات العصبية . doi : 10.1007/978-981-16-7570-6 . ISBN 978-981-16-7569-0.
↑ بيرغر، آدم ل.؛ بيترا، فينسنت ج. ديلا؛ بيترا، ستيفن أ. ديلا (مارس 1996). "نهج أقصى إنتروبيا لمعالجة اللغة الطبيعية" (ملف PDF) . اللغويات الحاسوبية . 22 (1): 39-71 . INIST 3283782 .
↑ جاينز، إي تي (15 مايو 1957). "نظرية المعلومات والميكانيكا الإحصائية". مجلة Physical Review . 106 (4): 620-630 . Bibcode : 1957PhRv..106..620J . doi : 10.1103/PhysRev.106.620 .
↑ دورلاف، ستيفن ن. (14 سبتمبر 1999). "كيف يمكن للميكانيكا الإحصائية أن تُسهم في العلوم الاجتماعية؟" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 96 (19): 10582-10584 . Bibcode : 1999PNAS...9610582D . doi : 10.1073/pnas.96.19.10582 . PMC 33748. PMID 10485867 .
↑ هوانغ، كيرسون (21 سبتمبر 2009). مقدمة في الفيزياء الإحصائية ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. ص 15. ISBN 978-1-4200-7902-9.
^ جيرمانو، ر. (2022). Física Estatística do Equilibrio: um curso introdutório (باللغة البرتغالية). ريو دي جانيرو: Ciência Moderna. ص. 156. ردمك 978-65-5842-144-3.
1 2 3 4 5 6 7 8 ريف، فريدريك (1965). أساسيات الفيزياء الإحصائية والحرارية . ماكجرو هيل. ص 651. ISBN 978-0-07-051800-1.
↑ "هل هذه مقدمة حقيقية لكتاب مدرسي في العلوم؟" 9 يونيو 2021.
1 2 3 أوفينك، جوس (مارس 2006). خلاصة أسس الفيزياء الإحصائية الكلاسيكية (نسخة أولية).
↑ ماكسويل، جيه سي (1860) "رسوم توضيحية للنظرية الديناميكية للغازات. الجزء الأول. حول حركات واصطدامات الكرات المرنة تمامًا،" المجلة الفلسفية ، السلسلة الرابعة، 19 : 19-32.
↑ ماكسويل، جيه سي (1860) "توضيحات لنظرية الديناميكا للغازات. الجزء الثاني. حول عملية انتشار نوعين أو أكثر من الجسيمات المتحركة فيما بينها،" المجلة الفلسفية ، السلسلة الرابعة، 20 : 21-37.
↑ ماهون، باسل (2003). الرجل الذي غيّر كل شيء - حياة جيمس كليرك ماكسويل . هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-0-470-86171-4. OCLC 52358254 .
↑ جينيس، بالاز (2017). "ماكسويل والتوزيع الطبيعي: قصة ملونة عن الاحتمالية والاستقلال والميل نحو التوازن". دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . 57 : 53-65 . arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57...53G . doi : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 .
↑ إيبيلينغ، فيرنر؛ سوكولوف، إيغور م. (2005). الديناميكا الحرارية الإحصائية والنظرية العشوائية للأنظمة غير المتوازنة . سلسلة التقدم في الميكانيكا الإحصائية. المجلد 8. Bibcode : 2005stst.book.....E . doi : 10.1142/2012 . ISBN 978-981-02-1382-4.
↑ جيبس، جيه دبليو (1885). حول الصيغة الأساسية للميكانيكا الإحصائية، مع تطبيقات في علم الفلك والديناميكا الحرارية . OCLC 702360353 .
↑ جيمس كلارك ماكسويل، نظرية الحرارة (لندن، إنجلترا: لونجمانز، جرين، وشركاه، 1871)، ص 309
↑ مايانتس، لازار (1984). لغز الاحتمالات والفيزياء . سبرينغر. ص 174. ISBN 978-90-277-1674-3.
1 2 3 4 5 6 7 جيبس، جوزيا ويلارد (1902). المبادئ الأولية في الميكانيكا الإحصائية . نيويورك: تشارلز سكريبنر وأولاده.
1 2 3 4 تولمان، ريتشارد تشيس (1979). مبادئ الميكانيكا الإحصائية . شركة كورير. ISBN 978-0-486-63896-6.
1 2 3 4 هوانغ، كيرسون (2009). مقدمة في الفيزياء الإحصائية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون: مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-4200-7902-9.
1 2 3 تولمان، ريتشارد تشيس (1979). مبادئ الميكانيكا الإحصائية . مينولا، نيويورك: شركة كورير. ISBN 978-0-486-63896-6.
↑ إيبيلينغ، فيرنر؛ سوكولوف، إيغور م. (2005). الديناميكا الحرارية الإحصائية والنظرية العشوائية للأنظمة غير المتوازنة . سلسلة التقدم في الميكانيكا الإحصائية. المجلد 8. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-1382-4.
↑ جاينز، إي. (1957). "نظرية المعلومات والميكانيكا الإحصائية". مجلة Physical Review . 106 (4): 620–630 . Bibcode : 1957PhRv..106..620J . doi : 10.1103/PhysRev.106.620 .
1 2 3 غاو، شيانغ؛ غاليكيو، إميليو؛ رويتبرغ، أدريان إي. (21 يوليو 2019). "توزيع بولتزمان المعمم هو التوزيع الوحيد الذي تتساوى فيه إنتروبيا غيبس-شانون مع الإنتروبيا الديناميكية الحرارية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 151 (3): 034113. arXiv : 1903.02121 . Bibcode : 2019JChPh.151c4113G . doi : 10.1063/1.5111333 . PMID 31325924 .
1 2 3 غاو، شيانغ (مارس 2022). "رياضيات نظرية المجموعة" . نتائج في الفيزياء . 34 105230. arXiv : 2006.00485 . Bibcode : 2022ResPh..3405230G . doi : 10.1016/j.rinp.2022.105230 . S2CID 221978379 .
↑ توشيت، هوغو (2015). "تكافؤ وعدم تكافؤ المجموعات: المستويات الديناميكية الحرارية، والحالة الكلية، والقياس". مجلة الفيزياء الإحصائية . 159 (5): 987-1016 . arXiv : 1403.6608 . Bibcode : 2015JSP...159..987T . doi : 10.1007/s10955-015-1212-2 . S2CID 118534661 .
↑ ليدو، ميشيل (2005). ظاهرة تركيز القياس (ملف PDF) . دراسات وبحوث رياضية. المجلد 89. doi : 10.1090/surv/089 . ISBN 978-0-8218-3792-4.
↑ غوربان، أ.ن.؛ تيوكين، إ.ي. (28 أبريل 2018). "نعمة الأبعاد: الأسس الرياضية للفيزياء الإحصائية للبيانات" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 376 ( 2118) 20170237. arXiv : 1801.03421 . Bibcode : 2018RSPTA.37670237G . doi : 10.1098/rsta.2017.0237 . PMC 5869543. PMID 29555807 .
↑ باكستر، رودني ج. (1982). نماذج محلولة بدقة في الميكانيكا الإحصائية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-083180-7.
↑ جيا، شون؛ زيغينهاين، بيتر؛ جيانغ، ستيف ب (2014). "الحوسبة عالية الأداء القائمة على وحدة معالجة الرسومات للعلاج الإشعاعي" . الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (4): R151– R182 . Bibcode : 2014PMB....59R.151J . doi : 10.1088/0031-9155/59/4/R151 . PMC 4003902. PMID 24486639 .
↑ هيل، ر؛ هيلي، ب؛ هولواي، ل؛ كونشيتش، ز؛ ثويتس، د؛ بالدوك، س (مارس 2014). "تطورات في قياس جرعات حزم الأشعة السينية ذات الجهد العالي". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (6): R183– R231 . Bibcode : 2014PMB....59R.183H . doi : 10.1088/0031-9155/59/6/R183 . PMID 24584183. S2CID 18082594 .
↑ روجرز، د. و. أ. (2006). "خمسون عامًا من محاكاة مونت كارلو للفيزياء الطبية". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 51 (13): R287– R301 . Bibcode : 2006PMB....51R.287R . doi : 10.1088/0031-9155/51/13/R17 . PMID 16790908. S2CID 12066026 .
1 2 3 باليسكو، رادو (1975). الميكانيكا الإحصائية في حالة الاتزان وعدم الاتزان . وايلي. ISBN 978-0-471-04600-4.
↑ ألتشولر، ب. ل.؛ أرونوف، أ. ج.؛ خميلنيتسكي، د. إ. (30 ديسمبر 1982). "تأثيرات تصادمات الإلكترون-إلكترون ذات نقل الطاقة المنخفض على التموضع الكمي". مجلة الفيزياء ج: فيزياء الحالة الصلبة . 15 (36): 7367-7386 . رمز Bibcode : 1982JPhC...15.7367A . doi : 10.1088/0022-3719/15/36/018 .
↑ ألينر، آي إل؛ بلانتر، يا إم. (28 فبراير 2002). "زمن التشتت غير المرن لتقلبات الموصلية" . مجلة Physical Review B. 65 ( 11) 115317. arXiv : cond-mat/0105436 . Bibcode : 2002PhRvB..65k5317A . doi : 10.1103/PhysRevB.65.115317 .
↑ رامزانبور، أبو الفضل؛ بيم، أندرو ل.؛ تشين، جوناثان هـ.؛ مشاغي، علي رضا (19 نوفمبر 2020). " الفيزياء الإحصائية للتشخيص الطبي: خوارزميات التعلم والاستدلال والتحسين" . التشخيص . 10 (11): 972. doi : 10.3390/diagnostics10110972 . PMC 7699346. PMID 33228143 .
↑ مشاغي، علي رضا؛ رمضان بور، أبو الفضل (16 مارس 2018). "الفيزياء الإحصائية للتشخيص الطبي: دراسة نموذج احتمالي". مجلة Physical Review E. 97 ( 3) 032118. arXiv : 1803.10019 . Bibcode : 2018PhRvE..97c2118M . doi : 10.1103/PhysRevE.97.032118 . PMID 29776109 .

للمزيد من القراءة

ريف، ف. (2009). أساسيات الفيزياء الإحصائية والحرارية . دار نشر ويڤلاند. رقم ISBN 978-1-4786-1005-2.
مولر-كيرستن، هارالد جيه دبليو. (2013). أساسيات الفيزياء الإحصائية (ملف PDF) . doi : 10.1142/8709 . ISBN 978-981-4449-53-3.
كادانوف، ليو ب. "الفيزياء الإحصائية وموارد أخرى" . مؤرشف من الأصل في 12 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه في 18 يونيو 2023 .
كادانوف، ليو ب. (2000). الفيزياء الإحصائية: السكون، والديناميكا، وإعادة التطبيع . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-3764-6.
فلام، ديتر (1998). "تاريخ وتوقعات الفيزياء الإحصائية". arXiv : physics/9803005 .

روابط خارجية

مقالة بعنوان "فلسفة الميكانيكا الإحصائية" بقلم لورانس سكلار لموسوعة ستانفورد للفلسفة .
سكلوغويكي - الديناميكا الحرارية، والميكانيكا الإحصائية، والمحاكاة الحاسوبية للمواد. يركز سكلوغويكي بشكل خاص على السوائل والمواد المكثفة اللينة.
الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية، بقلم ريتشارد فيتزباتريك
كوهين، دورون (2011). "ملاحظات المحاضرات في الميكانيكا الإحصائية والمقاييس المتوسطة". arXiv : 1107.0568 [ quant-ph ].
فيديوهات لسلسلة محاضرات في الميكانيكا الإحصائية على موقع يوتيوب يقدمها ليونارد ساسكيند .
Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics) , 2008. هذا الموقع على ويكي معطل؛ انظر هذه المقالة في أرشيف الويب بتاريخ 28 أبريل 2012 .

[1] تيشندورف، أندرو إي.؛ فاينبرغ، أندرو ب. (يوليو 2021). "الميكانيكا الإحصائية تلتقي بعلم الأحياء أحادي الخلية" . مجلة نيتشر ريفيوز جينيتكس . 22 (7): 459-476 . doi : 10.1038/s41576-021-00341-z . PMC 10152720. PMID 33875884 .

[2] أدفاني، مادهو؛ لاهيري، سوبهانيل؛ جانجولي، سوريا (12 مارس 2013). "الميكانيكا الإحصائية للأنظمة العصبية المعقدة والبيانات عالية الأبعاد". مجلة الميكانيكا الإحصائية: النظرية والتجربة . 2013 (3) P03014. arXiv : 1301.7115 . Bibcode : 2013JSMTE..03..014A . doi : 10.1088/1742-5468/2013/03/P03014 .

[3] هوانغ، هايبينغ (2021). الميكانيكا الإحصائية للشبكات العصبية . doi : 10.1007/978-981-16-7570-6 . ISBN 978-981-16-7569-0.

[4] بيرغر، آدم ل.؛ بيترا، فينسنت ج. ديلا؛ بيترا، ستيفن أ. ديلا (مارس 1996). "نهج أقصى إنتروبيا لمعالجة اللغة الطبيعية" (ملف PDF) . اللغويات الحاسوبية . 22 (1): 39-71 . INIST 3283782 .

[5] جاينز، إي تي (15 مايو 1957). "نظرية المعلومات والميكانيكا الإحصائية". مجلة Physical Review . 106 (4): 620-630 . Bibcode : 1957PhRv..106..620J . doi : 10.1103/PhysRev.106.620 .

[6] دورلاف، ستيفن ن. (14 سبتمبر 1999). "كيف يمكن للميكانيكا الإحصائية أن تُسهم في العلوم الاجتماعية؟" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 96 (19): 10582-10584 . Bibcode : 1999PNAS...9610582D . doi : 10.1073/pnas.96.19.10582 . PMC 33748. PMID 10485867 .

[Huang-2009-7] هوانغ، كيرسون (21 سبتمبر 2009). مقدمة في الفيزياء الإحصائية ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. ص 15. ISBN 978-1-4200-7902-9.

[8] جيرمانو، ر. (2022). Física Estatística do Equilibrio: um curso introdutório (باللغة البرتغالية). ريو دي جانيرو: Ciência Moderna. ص. 156. ردمك 978-65-5842-144-3.

[Reif-9] 1 2 3 4 5 6 7 8 ريف، فريدريك (1965). أساسيات الفيزياء الإحصائية والحرارية . ماكجرو هيل. ص 651. ISBN 978-0-07-051800-1.

[10] "هل هذه مقدمة حقيقية لكتاب مدرسي في العلوم؟" 9 يونيو 2021.

[Uffink-11] 1 2 3 أوفينك، جوس (مارس 2006). خلاصة أسس الفيزياء الإحصائية الكلاسيكية (نسخة أولية).

[12] ماكسويل، جيه سي (1860) "رسوم توضيحية للنظرية الديناميكية للغازات. الجزء الأول. حول حركات واصطدامات الكرات المرنة تمامًا،" المجلة الفلسفية ، السلسلة الرابعة، 19 : 19-32.

[13] ماكسويل، جيه سي (1860) "توضيحات لنظرية الديناميكا للغازات. الجزء الثاني. حول عملية انتشار نوعين أو أكثر من الجسيمات المتحركة فيما بينها،" المجلة الفلسفية ، السلسلة الرابعة، 20 : 21-37.

[14] ماهون، باسل (2003). الرجل الذي غيّر كل شيء - حياة جيمس كليرك ماكسويل . هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-0-470-86171-4. OCLC 52358254 .

[15] جينيس، بالاز (2017). "ماكسويل والتوزيع الطبيعي: قصة ملونة عن الاحتمالية والاستقلال والميل نحو التوازن". دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . 57 : 53-65 . arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57...53G . doi : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 .

[16] إيبيلينغ، فيرنر؛ سوكولوف، إيغور م. (2005). الديناميكا الحرارية الإحصائية والنظرية العشوائية للأنظمة غير المتوازنة . سلسلة التقدم في الميكانيكا الإحصائية. المجلد 8. Bibcode : 2005stst.book.....E . doi : 10.1142/2012 . ISBN 978-981-02-1382-4.

[17] جيبس، جيه دبليو (1885). حول الصيغة الأساسية للميكانيكا الإحصائية، مع تطبيقات في علم الفلك والديناميكا الحرارية . OCLC 702360353 .

[18] جيمس كلارك ماكسويل، نظرية الحرارة (لندن، إنجلترا: لونجمانز، جرين، وشركاه، 1871)، ص 309

[19] مايانتس، لازار (1984). لغز الاحتمالات والفيزياء . سبرينغر. ص 174. ISBN 978-90-277-1674-3.

[gibbs-20] 1 2 3 4 5 6 7 جيبس، جوزيا ويلارد (1902). المبادئ الأولية في الميكانيكا الإحصائية . نيويورك: تشارلز سكريبنر وأولاده.

[tolman-21] 1 2 3 4 تولمان، ريتشارد تشيس (1979). مبادئ الميكانيكا الإحصائية . شركة كورير. ISBN 978-0-486-63896-6.

[Huang2009-22] 1 2 3 4 هوانغ، كيرسون (2009). مقدمة في الفيزياء الإحصائية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون: مطبعة سي آر سي. ISBN 978-1-4200-7902-9.

[Tolman-23] 1 2 3 تولمان، ريتشارد تشيس (1979). مبادئ الميكانيكا الإحصائية . مينولا، نيويورك: شركة كورير. ISBN 978-0-486-63896-6.

[EbelingSokolov-24] إيبيلينغ، فيرنر؛ سوكولوف، إيغور م. (2005). الديناميكا الحرارية الإحصائية والنظرية العشوائية للأنظمة غير المتوازنة . سلسلة التقدم في الميكانيكا الإحصائية. المجلد 8. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-1382-4.

[25] جاينز، إي. (1957). "نظرية المعلومات والميكانيكا الإحصائية". مجلة Physical Review . 106 (4): 620–630 . Bibcode : 1957PhRv..106..620J . doi : 10.1103/PhysRev.106.620 .

[Gao2019-26] 1 2 3 غاو، شيانغ؛ غاليكيو، إميليو؛ رويتبرغ، أدريان إي. (21 يوليو 2019). "توزيع بولتزمان المعمم هو التوزيع الوحيد الذي تتساوى فيه إنتروبيا غيبس-شانون مع الإنتروبيا الديناميكية الحرارية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 151 (3): 034113. arXiv : 1903.02121 . Bibcode : 2019JChPh.151c4113G . doi : 10.1063/1.5111333 . PMID 31325924 .

[Gao2022-27] 1 2 3 غاو، شيانغ (مارس 2022). "رياضيات نظرية المجموعة" . نتائج في الفيزياء . 34 105230. arXiv : 2006.00485 . Bibcode : 2022ResPh..3405230G . doi : 10.1016/j.rinp.2022.105230 . S2CID 221978379 .

[28] توشيت، هوغو (2015). "تكافؤ وعدم تكافؤ المجموعات: المستويات الديناميكية الحرارية، والحالة الكلية، والقياس". مجلة الفيزياء الإحصائية . 159 (5): 987-1016 . arXiv : 1403.6608 . Bibcode : 2015JSP...159..987T . doi : 10.1007/s10955-015-1212-2 . S2CID 118534661 .

[29] ليدو، ميشيل (2005). ظاهرة تركيز القياس (ملف PDF) . دراسات وبحوث رياضية. المجلد 89. doi : 10.1090/surv/089 . ISBN 978-0-8218-3792-4.

[30] غوربان، أ.ن.؛ تيوكين، إ.ي. (28 أبريل 2018). "نعمة الأبعاد: الأسس الرياضية للفيزياء الإحصائية للبيانات" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 376 ( 2118) 20170237. arXiv : 1801.03421 . Bibcode : 2018RSPTA.37670237G . doi : 10.1098/rsta.2017.0237 . PMC 5869543. PMID 29555807 .

[31] باكستر، رودني ج. (1982). نماذج محلولة بدقة في الميكانيكا الإحصائية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-083180-7.

[32] جيا، شون؛ زيغينهاين، بيتر؛ جيانغ، ستيف ب (2014). "الحوسبة عالية الأداء القائمة على وحدة معالجة الرسومات للعلاج الإشعاعي" . الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (4): R151– R182 . Bibcode : 2014PMB....59R.151J . doi : 10.1088/0031-9155/59/4/R151 . PMC 4003902. PMID 24486639 .

[33] هيل، ر؛ هيلي، ب؛ هولواي، ل؛ كونشيتش، ز؛ ثويتس، د؛ بالدوك، س (مارس 2014). "تطورات في قياس جرعات حزم الأشعة السينية ذات الجهد العالي". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (6): R183– R231 . Bibcode : 2014PMB....59R.183H . doi : 10.1088/0031-9155/59/6/R183 . PMID 24584183. S2CID 18082594 .

[34] روجرز، د. و. أ. (2006). "خمسون عامًا من محاكاة مونت كارلو للفيزياء الطبية". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 51 (13): R287– R301 . Bibcode : 2006PMB....51R.287R . doi : 10.1088/0031-9155/51/13/R17 . PMID 16790908. S2CID 12066026 .

[balescu-35] 1 2 3 باليسكو، رادو (1975). الميكانيكا الإحصائية في حالة الاتزان وعدم الاتزان . وايلي. ISBN 978-0-471-04600-4.

[36] ألتشولر، ب. ل.؛ أرونوف، أ. ج.؛ خميلنيتسكي، د. إ. (30 ديسمبر 1982). "تأثيرات تصادمات الإلكترون-إلكترون ذات نقل الطاقة المنخفض على التموضع الكمي". مجلة الفيزياء ج: فيزياء الحالة الصلبة . 15 (36): 7367-7386 . رمز Bibcode : 1982JPhC...15.7367A . doi : 10.1088/0022-3719/15/36/018 .

[37] ألينر، آي إل؛ بلانتر، يا إم. (28 فبراير 2002). "زمن التشتت غير المرن لتقلبات الموصلية" . مجلة Physical Review B. 65 ( 11) 115317. arXiv : cond-mat/0105436 . Bibcode : 2002PhRvB..65k5317A . doi : 10.1103/PhysRevB.65.115317 .

[38] رامزانبور، أبو الفضل؛ بيم، أندرو ل.؛ تشين، جوناثان هـ.؛ مشاغي، علي رضا (19 نوفمبر 2020). " الفيزياء الإحصائية للتشخيص الطبي: خوارزميات التعلم والاستدلال والتحسين" . التشخيص . 10 (11): 972. doi : 10.3390/diagnostics10110972 . PMC 7699346. PMID 33228143 .

[39] مشاغي، علي رضا؛ رمضان بور، أبو الفضل (16 مارس 2018). "الفيزياء الإحصائية للتشخيص الطبي: دراسة نموذج احتمالي". مجلة Physical Review E. 97 ( 3) 032118. arXiv : 1803.10019 . Bibcode : 2018PhRvE..97c2118M . doi : 10.1103/PhysRevE.97.032118 . PMID 29776109 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

، [ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ ١٦ ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]