رقم هارشاد

في الرياضيات الترفيهية ، يُعرف عدد هارشاد (أو عدد نيفن ) في نظام عد معين بأنه عدد صحيح يقبل القسمة على مجموع أرقامه عند كتابته في ذلك النظام. ^{[ 1 ]} تُعرف أعداد هارشاد في النظام ذي الأساس $n أيضًا بأعداد$ $n-$ هارشاد (أو $n-$ نيفن ). ولأن كون العدد هارشاد يعتمد على النظام الذي يُكتب فيه، فقد يكون عددًا هارشاديًا عدة مرات. ^{[ 2 ]} أما ما يُسمى بأعداد ما وراء هارشاد، فهي متواليات من الأرقام من 0 إلى 9، والتي تُمثل، في أي نظام عد يستخدم جميع أرقامها، عددًا هارشاديًا في ذلك النظام. ^{[ 3 ]}

عرّف عالم الرياضيات الهندي د. ر. كابريكار أعداد هارشاد . ^[⁴^] كلمة "هارشاد" مشتقة من الكلمتين السنسكريتيتين harṣa (فرح) + da (عطاء)، أي مانح الفرح. أما مصطلح "عدد نيفن" فقد ظهر من ورقة بحثية قدمها إيفان م. نيفن في مؤتمر حول نظرية الأعداد عام 1977.

تعريف

بصورة رياضية، ليكن $X$ عددًا صحيحًا موجبًا مكونًا من $m$ رقمًا عند كتابته بالأساس $n$ ، ولتكن الأرقام هي $a_{i}$ ( $i=0,1,\ldots ,m-1$ (وهذا يترتب عليه أن $a_{i}$ يجب أن يكون إما صفرًا أو عددًا صحيحًا موجبًا يصل إلى $n-1$ . )يمكن التعبير عن $X على النحو التالي$

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

$يكون X$ عددًا هارشاد في النظام ذي الأساس $n$ إذا:

X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.

يُطلق على العدد الذي يُمثل عددًا هارشاديًا في جميع أنظمة العد اسم العدد الهارشادي الكامل ، أو العدد النيفيني الكامل . يوجد أربعة أعداد هارشادية كاملة فقط: 1 ، 2 ، 4 ، و 6 . العدد 12 هو عدد هارشادي كامل في جميع أنظمة العد باستثناء النظام الثماني .

أمثلة

العدد 18 هو عدد هارشاد في النظام العشري ، لأن مجموع الرقمين 1 و 8 هو 9، و 18 يقبل القسمة على 9.
عدد هاردي -رامانوجان (1729) هو عدد هارشاد في الأساس 10، لأنه يقبل القسمة على 19، وهو مجموع أرقامه (1729 = 19 × 91).
العدد 19 ليس عددًا هرشاديًا في النظام العشري، لأن مجموع الرقمين 1 و9 هو 10، و19 لا يقبل القسمة على 10.
في النظام العشري، كل عدد طبيعي يُمكن التعبير عنه بالصيغة 9Rⁿ _aⁿ ، _حيث يتكون العدد Rⁿ _من n نسخة من الرقم 1، _و n > 0، و aⁿ عدد صحيح موجب أقل من 10ⁿ ^ومضاعف للعدد n ، هو عدد هارشادي. (R. D'Amico، 2019). العدد 9R³a³ ₌521478 ، حيث R³ ₌ 111، _وn = 3، و a³ = 3 × 174 = 522، هو عدد هارشادي؛ في الواقع، لدينا: 521478 / (5 + 2 + 1 + 4 + 7 + 8) = 521478 / ₂₇ = 19314. ^[⁵^]
تشكل أعداد هارشاد في النظام العشري المتتالية التالية :
1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 18 ، 20 ، 21 ، 24 ، 27 ، 30 ، 36 ، 40 ، 42 ، 45 ، 48 ، 50 ، 54 ، 60 ، 63 ، 70 ، 72 ، 80 ، 81 ، 84 ، 90 ، 100 ، 102 ، 108 ، 110 ، 111 ، 112 ، 114 ، 117 ، 120 ، 126 ، 132 ، 133 ، 135 ، 140 ، 144 ، 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , ... (التسلسل A005349 في OEIS ) .
جميع الأعداد الصحيحة بين الصفر و $n$ هي أعداد $n-$ هارشاد.

ملكيات

بالنظر إلى اختبار قابلية القسمة على 9، قد يميل المرء إلى تعميم أن جميع الأعداد التي تقبل القسمة على 9 هي أعداد هارشادية. ولكن لتحديد ما إذا كان العدد $n هارشاديًا أم$ $لا$ ، يجب جمع أرقامه مرة واحدة فقط، وأن يكون $n$ قابلاً للقسمة على هذا المجموع؛ وإلا، فهو ليس عددًا هارشاديًا. على سبيل المثال، 99 ليس عددًا هارشاديًا، لأن 9 + 9 = 18، و99 لا يقبل القسمة على 18.

سيكون العدد الأساسي (وكذلك قواه) دائمًا عددًا هرشاديًا في أساسه الخاص، لأنه سيتم تمثيله على أنه "10" و 1 + 0 = 1.

جميع الأعداد التي يكون مجموع أرقامها في النظام الأساسي b يقسم b −1 هي أعداد harhad في النظام الأساسي b .

لكي يكون العدد الأولي عددًا غير متجانس، يجب أن يكون أصغر من أو يساوي العدد الأساسي، وإلا فإن مجموع أرقام العدد الأولي سيكون أكبر من 1، ولكنه أصغر من العدد الأولي، ولن يكون قابلاً للقسمة. على سبيل المثال: العدد 11 ليس عددًا غير متجانس في النظام العشري لأن مجموع أرقامه "11" هو 1 + 1 = 2، والعدد 11 لا يقبل القسمة على 2؛ بينما في النظام الاثني عشري، يمكن تمثيل العدد 11 بالرمز " B "، ومجموع أرقامه هو أيضًا B. وبما أن B يقبل القسمة على نفسه، فهو عدد غير متجانس في النظام الاثني عشري.

كل عدد مكون من رقم واحد في نظام عدٍّ معين يكون عددًا غير مقسم في ذلك النظام. وذلك لأن مجموع أرقام العدد يساوي العدد نفسه، وكل عدد، بغض النظر عن نظام العد أو أرقامه، يقبل القسمة على نفسه.

على الرغم من أن سلسلة المضروب تبدأ بأعداد هارشاد في النظام العشري، إلا أن ليس كل المضروب أعداد هارشاد. 432! هو أول مضروب ليس كذلك. (مجموع أرقام 432! هو 3897 = 3² ^× 433 في النظام العشري، وبالتالي لا يقبل القسمة على 432!).

أصغر قيمة $لـ k$ بحيث $k\cdot n$ هو رقم هارشاد

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1، ... (التسلسل A144261 في OEIS ) .

أصغر قيمة $لـ k$ بحيث $k\cdot n$ ليس رقمًا هارشاديًا

11، 7، 5، 4، 3، 11، 2، 2، 11، 13، 1، 8، 1، 1، 1، 1، 161، 1، 8، 5، 1، 1، 4، 1، 1، 7، 1، 1، 13، 1، 1، 1، 1، 1، 83، 1، 1، 1، 4، 1، 4، 1، 1، 11، 1، 1، 2، 1، 5، 1، 1، 1، 537، 1، 1، 1، 1، 1، 83، 1، 1، 3، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 5، 1، 68، 1، 1، 1، 1، 1 1، 1، 2، ... (التسلسل A144262 في OEIS ) .

قواعد أخرى

أعداد هارشاد في النظام الاثني عشري هي:

١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨، ٩، أ ، ب ، ١٠، ١ أ ، ٢٠، ٢٩، ٣٠، ٣٨، ٤٠، ٤٧، ٥٠، ٥٦، ٦٠، ٦٥، ٧٠، ٧٤، ٨٠، ٨٣، ٩٠، ٩٢، أ ٠، أ ١، ب ٠، ١٠٠، ١٠ أ ، ١١٠، ١١٥، ١١٩، ١٢٠، ١٢٢، ١٢٨، ١٣٠، ١٣٤، ١٣٧، ١٤٦، ١٥٠، ١٥٣، ١٥٥، ١٦٤، ١٧٢، ١٧٣، ١٨٢، ١٩١، ١ أ ٠، ١ ب ٠، ١ ب أ ، ٢٠٠، ...

حيث يمثل A عشرة ويمثل B أحد عشر.

أصغر قيمة $لـ k$ بحيث $k\cdot n$ العدد هارشاد هو عدد أساسه 12 (مكتوب بالأساس 10):

1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 12، 6، 4، 3، 10، 2، 11، 3، 4، 1، 7، 1، 12، 6، 4، 3، 11، 2، 11، 3، 1، 5، 9، 1، 12، 11، 4، 3، 11، 2، 11، 1، 4، 4، 11، 1، 16، 6، 4، 3، 11، 2، 1، 3، 11، 11، 11، 1، 12، 11، 5، 7، 9، 1، 7، 3، 3، 9، 11، 1، ...

أصغر قيمة $لـ k$ بحيث $k\cdot n$ ليس عددًا من نوع هارشاد ذي أساس 12، بل هو عدد مكتوب بالأساس 10:

١٣، ٧، ٥، ٤، ٣، ٣، ٢، ٢، ٢، ٢، ١٣، ١٦، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١٥٧، ١، ٨، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١٣، ١، ١، ٦، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١٥٧، ١، ١، ١، ٤، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ١، ٥، ١، ١، ١، ١، ٤، ١، ١، ١، ١، ١، ١٨٨٥، ١، ١، ١، ١، ١، ٣، ...

على غرار النظام العشري، لا تُعدّ جميع المضروب أعدادًا ذات أرقام غير مقسمة في النظام الاثني عشري. فبعد 7! (الذي يساوي 5040 = 2^ B 00 في النظام الاثني عشري، ومجموع أرقامه 13 في النظام الاثني عشري، و13 لا يقسم 7!)، يأتي 1276! كمثال آخر لا يقسم 7! (مجموع أرقام 1276! يساوي 14201 = 11 × 1291 في النظام الاثني عشري، وبالتالي لا يقسم 1276!).

أرقام هارشاد المتتالية

أقصى عدد من أرقام هارشاد المتتالية

أثبت كوبر وكينيدي في عام 1993 أنه لا يوجد 21 عددًا صحيحًا متتاليًا كلها أعداد هارشاد في الأساس 10. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} كما قاموا بإنشاء عدد لا نهائي من 20 مجموعة من الأعداد الصحيحة المتتالية التي هي جميعها أعداد هارشاد 10، وأصغرها يتجاوز ^{1044363342786} .

قام إتش جي غروندمان ( 1994 ) بتوسيع نتيجة كوبر وكينيدي لإثبات وجود 2b عدد متتالي من أعداد هارشاد المتتالية من النوع b ، ولكن ليس 2b + 1 عدد متتالي من أعداد هارشاد المتتالية من النوع b لأي أساس b . ^[⁷^]^[⁸^] وقد تم تعزيز هذه النتيجة لإثبات وجود عدد لا نهائي من سلاسل أعداد هارشاد المتتالية من النوع b، والتي يبلغ عددها 2b ، لقيم b = 2 أو 3 بواسطة تي كاي ( 1996 ) ^[⁷^] ، ولأي قيمة لـ b بواسطة براد ويلسون في عام 1997. ^[⁹^]

في النظام الثنائي ، يوجد عدد لا نهائي من سلاسل الأرقام المكونة من أربعة أرقام متتالية، وفي النظام الثلاثي يوجد عدد لا نهائي من سلاسل الأرقام المكونة من ستة أرقام.

بشكل عام، تتراوح هذه المتتاليات القصوى من N · b ^k − b إلى N · b ^k + ( b − 1)، حيث b هو الأساس، و k قوة كبيرة نسبيًا، و N ثابت. وبمعرفة متتالية مختارة بعناية، يمكننا تحويلها إلى متتالية أكبر كما يلي:

إدخال الأصفار في N لن يغير تسلسل المجاميع الرقمية (تمامًا كما أن 21 و201 و2001 كلها أعداد 10-harshad).
إذا أضفنا n من الأصفار بعد الرقم الأول، α (بقيمة αbi ⁾ ، فإننا نزيد قيمة N بمقدار $\alpha b^{i}\left(b^{n}-1\right)$ .
إذا استطعنا ضمان أن يكون b ⁿ − 1 قابلاً للقسمة على جميع مجاميع الأرقام في المتتالية، فسيتم الحفاظ على قابلية القسمة على تلك المجاميع.
إذا تم اختيار التسلسل الأولي بحيث تكون مجاميع الأرقام أولية نسبياً مع b ، فيمكننا حل b ⁿ = 1 modulo جميع تلك المجاميع.
إذا لم يكن الأمر كذلك، ولكن الجزء من مجموع كل رقم غير أولي نسبيًا مع b يقسم αb ⁱ ، فإن قابلية القسمة لا تزال محفوظة.
(غير مثبت) تم اختيار التسلسل الأولي على هذا النحو.

وبالتالي فإن تسلسلنا الأولي ينتج عنه مجموعة لا نهائية من الحلول.

أولى جولات الأرقام العشرة المتتالية من نوع هارشاد $n$

أصغر الأعداد الطبيعية التي تبدأ بسلاسل من $n عدد متتالي$ بالضبط من أعداد 10-harhad (أي أصغر $x$ بحيث $x,x+1,\cdots ,x+n-1$ هي أرقام هارشاد ولكن $x-1$ و $x+n$ (ليست) هي كما يلي (التسلسل A060159 في OEIS ) :

$ن$	1	2	3	4	5
$x$	12	20	110	510	131 052
$ن$	6	7	8	9	10
$x$	12751220	10000095	2 162 049 150	124 324 220	1
$ن$	11	12	13	14	15
$x$	920 067 411 130 599	43 494 229 746 440 272 890	121 003 242 000 074 550 107 423 034 × 10 ²⁰ − 10	420 142 032 871 116 091 607 294 × 10 ⁴⁰ − 4	مجهول
$ن$	16	17	18	19	20
$x$	50 757 686 696 033 684 694 106 416 498 959 861 492 × 10 ²⁸⁰ − 9	14 107 593 985 876 801 556 467 795 907 102 490 773 681 × 10 ²⁸⁰ − 10	مجهول	مجهول	مجهول

بحسب القسم السابق، لا يوجد مثل هذا $x$ لـ $n>20.$

تقدير كثافة أعداد هارشاد

إذا سمحنا $N(x)$ يشير إلى عدد أرقام هارشاد $\leq x$ ثم لأي قيمة معينة $\varepsilon >0,$

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

كما أوضح جان ماري دي كونينك ونيكولا دويون؛ ^{[ 10 ]} علاوة على ذلك، أثبت دي كونينك ودويون وكاتاي ^{[ 11 ]} أن

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},

أين $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ و $o(1)$ يستخدم المصطلح ترميز Big O.

مجموع أعداد هارشاد

كل عدد طبيعي لا يتجاوز مليارًا هو إما عدد هارشاد أو مجموع عددين هارشاد. وبناءً على فرضية تقنية تتعلق بأصفار دوال زيتا ديديكيند معينة ، أثبت سانا وجود عدد صحيح موجب. $k$ بحيث يكون كل عدد طبيعي هو مجموع على الأكثر $k$ أعداد هارشاد، أي أن مجموعة أعداد هارشاد هي أساس جمعي . ^{[ 12 ]}

عدد الطرق التي يمكن بها كتابة كل عدد طبيعي 1، 2، 3، ... كمجموع عددين من أعداد هارشاد هو:

٠، ١، ١، ٢، ٢، ٣، ٣، ٤، ٤، ٥، ٥، ٥، ٥، ٥، ٥، ٤، ٤، ٣، ٣، ٣، ٣، ٣، ٣، ٤، ٣، ٤، ٤، ٤، ٤، ٥، ٤، ٥، ٤، ٤، ٤، ٣، ٢، ٤، ٣، ٣، ٤، ٣، ٣، ٥، ٣، ٤، ٥، ٤، ٤، ٧، ٤، ٥، ٦، ٥، ٣، ٧، ٤، ٤، ٦، ٤، ٢، ٧، ٣، ٤، ٥، ٤، ٣، ٧، ٣، ٤، ٥، ٤، ٣، ٨، ٣، ٤، ٦، ٣، ٣، ٦، ٢، ٥، ٦، ٥، 3، 8، 4، 4، 6، ... (التسلسل A337853 في OEIS ) .

أصغر عدد يمكن كتابته بـ 1، 2، 3، ... طريقة بالضبط كمجموع عددين من أعداد هارشاد هو:

2، 4، 6، 8، 10، 51، 48، 72، 108، 126، 90، 138، 144، 120، 198، 162، 210، 216، 315، 240، 234، 306، 252، 372، 270، 546، 360، 342، 444، 414، 468، 420، 642، 450، 522، 540، 924، 612، 600، 666، 630، 888، 930، 756، 840، 882، 936، 972، 1098، 1215، 1026 1212، 1080، ... (التسلسل A337854 في OEIS ) .

الأعداد النيفينمورفية

العدد النيفينمورفي أو العدد الهشارشادمورفي لأساس عددي معين هو عدد صحيح $t$ بحيث يوجد عدد هارشاد $N$ مجموع أرقامه هو t $،$ و $t$ ، مكتوبًا في ذلك الأساس، ينهي $N$ المكتوب في نفس الأساس.

على سبيل المثال، 18 هو عدد نيفنمورفي للأساس 10:

16218 هو رقم هارشاد العدد 16218 مجموع أرقامه 18 18 ينتهي 16218

حدد ساندرو بوسكارو أنه بالنسبة للأساس 10، فإن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد نيفنمورفية باستثناء 11. [ ^{13 ] في} الواقع، بالنسبة لعدد زوجي n > 1، فإن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة باستثناء n + 1 هي أعداد نيفنمورفية للأساس n ، وبالنسبة لعدد فردي n > 1، فإن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد نيفنمورفية للأساس n . على سبيل المثال، الأعداد النيفنمورفية في الأساس 12 هي (المتتالية A011760 في OEIS ) (جميع الأعداد الصحيحة الموجبة باستثناء 13).

أصغر عدد مجموع أرقامه n في النظام العشري وينتهي بـ n مكتوبًا في النظام العشري هو: (0 إذا لم يكن هناك عدد كهذا)

1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 910، 0، 912، 11713، 6314، 915، 3616، 15317، 918، 17119، 9920، 18921، 9922، 82823، 19824، 9925، 46826، 18927، 18928، 78329، 99930، 585931، 388832، 1098933، 198934، 289835، 99936، 99937، 478838، 198939، 1999840، 2988941، 2979942، 2979943، 999944، 999945، 4698946، 4779947، 2998848، 2998849، 9999950، ... (التسلسل A187924 في OEIS )

أرقام هارشاد متعددة

يُعرّف بلوم (2005) العدد الهارشادي المتعدد بأنه عدد هارشادي ينتج عنه عدد هارشادي آخر عند قسمته على مجموع أرقامه. ^{[ 14 ]} ويذكر أن 6804 هو "MHN-4" استنادًا إلى أن

{\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}

(ليس MHN-5 لأن $1/1=1$ (لكن 1 ليس رقماً آخر من أرقام هارشاد)

ثمّ بيّن أن العدد 2016502858579884466176 هو MHN-12. والعدد الأصغر منه، وهو 10080000000000 = 1008 × 10^ ¹⁰ ، هو أيضاً MHN-12. وبشكل عام، فإن 1008 × 10 ^ ⁿ هو MHN-( n +2).

مراجع

↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر)، "المتتالية A005349 (أعداد نيفن (أو هارشاد، أو هارشاد): أعداد تقبل القسمة على مجموع أرقامها.)" ، الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة ، مؤسسة OEIS(يشمل فقط الأرقام العشرية ذات الأساس 10).
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A080221 (حيث n هو Harshad (قابل للقسمة على مجموع أرقامه) في أساسات من 1 إلى n)." . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A080459 (أعداد هارشاد العابرة: أعداد أساسها 10 تمثل أعداد هارشاد الموجبة في كل أساس تظهر فيه)." . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ DR Kaprekar, Multidigital Numbers , Scripta Mathematica 21 (1955), 27.
↑ روزاريو داميكو، طريقة لتوليد أعداد هارشاد، في مجلة الاقتصاد الرياضي والتمويل، المجلد 5، العدد 1، يونيو 2019، ص 19-26.
↑ كوبر، كورتيس؛ كينيدي، روبرت إي. (1993)، "حول أعداد نيفن المتتالية" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 31 (2): 146-151 ، doi : 10.1080/00150517.1993.12429304 ، ISSN 0015-0517 ، Zbl 0776.11003
1 2 3 ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص. 382 . رقم ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .
↑ غروندمان، إتش جي (1994)، "متواليات من أعداد ن -نيفن المتتالية" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 32 (2): 174-175 ، doi : 10.1080/00150517.1994.12429245 ، ISSN 0015-0517 ، Zbl 0796.11002
↑ ويلسون، براد (1997)، "بناء 2^ n عدد متتالي من n -Niven" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 35 (2): 122-128 ، doi : 10.1080/00150517.1997.12429006 ، ISSN 0015-0517
↑ دي كونينك، جان ماري؛ دويون، نيكولاس (نوفمبر 2003)، "حول عدد أعداد نيفن حتى x "، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 41 (5): 431-440 ، doi : 10.1080/00150517.2003.12428555 .
^ دي كونينك، جان ماري. دويون، نيكولاس؛ Kátai، I. (2003)، “في وظيفة العد لأرقام Niven”، Acta Arithmetica ، 106 (3): 265–275 ، بيب كود : 2003AcAri.106..265D ، دوى : 10.4064 / aa106-3-5 .
↑ سانا، كارلو (مارس 2021)، "القواعد الجمعية وأعداد نيفن"، نشرة الجمعية الرياضية الأسترالية ، 104 (3): 373-380 ، arXiv : 2101.07593 ، doi : 10.1017/S0004972721000186 ، S2CID 231639019 .
↑ بوسكارو، ساندرو (1996-1997)، "الأعداد الصحيحة النيفينمورفية"، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 28 ( 3): 201-205.
↑ بلوم، إي. (2005)، "أعداد هارشاد"، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 34 (2): 128.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد هارشاد" . عالم الرياضيات .

[1] سلون، ن. ج. أ. (محرر)، "المتتالية A005349 (أعداد نيفن (أو هارشاد، أو هارشاد): أعداد تقبل القسمة على مجموع أرقامها.)" ، الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة ، مؤسسة OEIS(يشمل فقط الأرقام العشرية ذات الأساس 10).

[2] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A080221 (حيث n هو Harshad (قابل للقسمة على مجموع أرقامه) في أساسات من 1 إلى n)." . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[3] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A080459 (أعداد هارشاد العابرة: أعداد أساسها 10 تمثل أعداد هارشاد الموجبة في كل أساس تظهر فيه)." . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[4] DR Kaprekar, Multidigital Numbers , Scripta Mathematica 21 (1955), 27.

[5] روزاريو داميكو، طريقة لتوليد أعداد هارشاد، في مجلة الاقتصاد الرياضي والتمويل، المجلد 5، العدد 1، يونيو 2019، ص 19-26.

[6] كوبر، كورتيس؛ كينيدي، روبرت إي. (1993)، "حول أعداد نيفن المتتالية" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 31 (2): 146-151 ، doi : 10.1080/00150517.1993.12429304 ، ISSN 0015-0517 ، Zbl 0776.11003

[HBII382-7] 1 2 3 ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص. 382 . رقم ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .

[8] غروندمان، إتش جي (1994)، "متواليات من أعداد ن -نيفن المتتالية" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 32 (2): 174-175 ، doi : 10.1080/00150517.1994.12429245 ، ISSN 0015-0517 ، Zbl 0796.11002

[9] ويلسون، براد (1997)، "بناء 2^ n عدد متتالي من n -Niven" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 35 (2): 122-128 ، doi : 10.1080/00150517.1997.12429006 ، ISSN 0015-0517

[10] دي كونينك، جان ماري؛ دويون، نيكولاس (نوفمبر 2003)، "حول عدد أعداد نيفن حتى x "، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 41 (5): 431-440 ، doi : 10.1080/00150517.2003.12428555 .

[11] دي كونينك، جان ماري. دويون، نيكولاس؛ Kátai، I. (2003)، “في وظيفة العد لأرقام Niven”، Acta Arithmetica ، 106 (3): 265–275 ، بيب كود : 2003AcAri.106..265D ، دوى : 10.4064 / aa106-3-5 .

[12] سانا، كارلو (مارس 2021)، "القواعد الجمعية وأعداد نيفن"، نشرة الجمعية الرياضية الأسترالية ، 104 (3): 373-380 ، arXiv : 2101.07593 ، doi : 10.1017/S0004972721000186 ، S2CID 231639019 .

[13] بوسكارو، ساندرو (1996-1997)، "الأعداد الصحيحة النيفينمورفية"، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 28 ( 3): 201-205.

[14] بلوم، إي. (2005)، "أعداد هارشاد"، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 34 (2): 128.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

13 ] في

[ 14 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗