الزاوية ثنائية السطوح

الزاوية ثنائية السطوح هي الزاوية المحصورة بين مستويين متقاطعين أو نصفي مستويين . وهي زاوية مستوية تتشكل على مستوى ثالث، عمودية على خط التقاطع بين المستويين أو الحافة المشتركة بين نصفي المستويين. في الأبعاد الأعلى ، تمثل الزاوية ثنائية السطوح الزاوية المحصورة بين مستويين فائقين . في الكيمياء ، هي الزاوية التي تُقاس باتجاه عقارب الساعة بين نصفي مستويين يمران بمجموعتين من ثلاث ذرات ، تشتركان في ذرتين.

عندما يتم وصف المستويين المتقاطعين بدلالة الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلتين

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

الزاوية ثنائية السطوح،${\displaystyle \varphi }$يتم تحديد العلاقة بينهما من خلال:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

ويرضي${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2.}$يمكن ملاحظة بسهولة أن الزاوية مستقلة عن${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle d_{2}}$.

أو بدلاً من ذلك، إذا كان n A _و n B _متجهين عموديين على المستويين، فإن المرء يكون

$$$

حيث n _A  · n _B  هو حاصل الضرب القياسي للمتجهات و | n _A | | n _B | هو حاصل ضرب أطوالها. ^{[ 1 ]}

القيمة المطلقة مطلوبة في الصيغ أعلاه، حيث لا تتغير المستويات عند تغيير جميع إشارات المعاملات في معادلة واحدة، أو استبدال متجه عمودي واحد بعكسه.

مع ذلك، يمكن بل ويجب تجنب القيم المطلقة عند حساب الزاوية الثنائية بين نصفي مستويين يقعان على خط واحد. في هذه الحالة، يمكن وصف نصفي المستويين بنقطة تقاطعهما P ، وثلاثة متجهات b₀ و _{b₁ و} b₂ بحيث تنتمي P + b₀ و P + b₁ و P + b₂ على التوالي إلى خط التقاطع _{، ونصف المستوى الأول ،} ونصف المستوى الثاني. _{تُعرَّف} الزاوية الثنائية لهذين النصفين من المستويين _كما يلي :

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$،

ويرضي${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$في هذه الحالة، يؤدي تبديل نصفي المستويين إلى نفس النتيجة، وكذلك استبدالهما.${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$مع${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}.}$في الكيمياء (انظر أدناه)، نُعرّف الزاوية ثنائية السطوح بحيث يتم استبدالها${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$مع${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}}$يغير إشارة الزاوية، والتي يمكن أن تكون بين − π و π .

في بعض المجالات العلمية ، مثل فيزياء البوليمرات ، يُمكن اعتبار سلسلة من النقاط والروابط بينها. إذا كانت النقاط مُرقمة تسلسليًا وموجودة في المواضع r1 _، r2 _، r3 _، إلخ ، فإن متجهات الروابط تُعرَّف بالمعادلات u1 = r2 − _{r1 ،} و _u2 = r3 ₋ r2 ، و ui = ri _{+1 −} ri ، بشكل عام. ^{[ 2 ]} ينطبق هذا على السلاسل الحركية أو الأحماض الأمينية في بنية البروتين _{. في هذه الحالات} ، غالبًا ما _يكون الاهتمام منصبًا على أنصاف المستويات المُحددة بثلاث نقاط متتالية، والزاوية ثنائية السطوح بين نصفي مستوى متتاليين من هذه _النقاط . إذا كانت u1 _و u2 و _u3 ثلاثة متجهات روابط متتالية، فإن تقاطع أنصاف المستويات يكون موجهاً، مما يسمح بتحديد زاوية ثنائية السطوح تنتمي إلى الفترة ( ^−π , π ) . _{تُعرَّف} هذه الزاوية ثنائية السطوح بواسطة ^{[ 3} ] .

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

أو باستخدام الدالة atan2 ،

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})))،|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

لا تعتمد هذه الزاوية ثنائية السطوح على اتجاه السلسلة (ترتيب النقاط) - فعكس هذا الترتيب يتم باستبدال كل متجه بمتجهه المعاكس، وتبديل المؤشرين 1 و3. لا تُغير هاتان العمليتان جيب التمام، بل تُغيران إشارة الجيب. وبالتالي، لا تُغيران الزاوية معًا.

الصيغة الأبسط لنفس الزاوية ثنائية السطوح هي التالية (يرد البرهان أدناه)

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _ {2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

أو ما يعادل ذلك،

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

يمكن استنتاج ذلك من الصيغ السابقة باستخدام صيغة الضرب الرباعي للمتجهات ، وحقيقة أن الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا إذا كان يحتوي على نفس المتجه مرتين:

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

بالنظر إلى تعريف الضرب الاتجاهي ، فهذا يعني أن${\displaystyle \varphi }$هي الزاوية في اتجاه عقارب الساعة للذرة الرابعة مقارنةً بالذرة الأولى، عند النظر لأسفل المحور من الذرة الثانية إلى الثالثة. الحالات الخاصة (أو الحالات المعتادة) هي${\displaystyle \varphi =\pi }$،${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$و${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$، والتي تسمى التشكيلات العابرة ، والتشكيلات الملتوية ⁺ ، والتشكيلات الملتوية ^- .

أسماء التكوينات وفقًا للزاوية ثنائية السطوح	متزامن البيوتان العادي في التكوين الملتوي (-60 درجة) إسقاط نيومان	حامل منشار صناعي من البيوتان العادي

زاوية الالتواء ، الموجودة في الكيمياء الفراغية ، هي مثال خاص على الزاوية ثنائية السطوح التي تصف العلاقة الهندسية بين جزأين من جزيء مرتبطين برابطة كيميائية . ^{[ 4 ] [ 5 ]} كل مجموعة من ثلاث ذرات غير متوازية في جزيء تُحدد نصف مستوى. وكما ذُكر سابقًا، عندما يتقاطع نصفا مستوى (أي مجموعة من أربع ذرات مرتبطة بروابط متتالية)، تكون الزاوية بينهما زاوية ثنائية السطوح. تُستخدم الزوايا ثنائية السطوح لتحديد التشكيل الجزيئي . ^{[ 6 ]} تُسمى الترتيبات الفراغية التي تُقابل زوايا بين 0° و ±90° بـ syn (s)، وتلك التي تُقابل زوايا بين ±90° و 180° بـ anti (a). وبالمثل، فإن الترتيبات التي تتوافق مع الزوايا بين 30 درجة و 150 درجة أو بين -30 درجة و -150 درجة تسمى مائلة (c) وتلك التي تقع بين 0 درجة و ±30 درجة أو ±150 درجة و 180 درجة تسمى محيطية مستوية (p).

يمكن دمج نوعي المصطلحات لتحديد أربعة نطاقات للزاوية: من 0° إلى ±30° متماثلة السطح (sp)؛ من 30° إلى 90° ومن -30° إلى -90° متماثلة الميل (sc)؛ من 90° إلى 150° ومن -90° إلى -150° مضادة الميل (ac)؛ من ±150° إلى 180° مضادة السطح (ap). يُعرف التكوين المتماثل السطح أيضًا بالتكوين المتزامن أو المقابل ؛ والمضاد السطحي بالمضاد أو المتحول ؛ والمتماثل بالملتوئ أو الملتوي .

على سبيل المثال، في حالة البيوتان العادي ، يمكن تحديد مستويين بدلالة ذرتي الكربون المركزيتين وإحدى ذرتي كربون مجموعة الميثيل. يُعدّ التشكيل المتزامن (syn) الموضح أعلاه، بزاوية ثنائية السطوح تبلغ 60 درجة، أقل استقرارًا من التشكيل المضاد (anti ) بزاوية ثنائية السطوح تبلغ 180 درجة.

للاستخدام الجزيئي الكبير، يوصى باستخدام الرموز T و C و G ⁺ و G ⁻ و A ⁺ و A ^{− (ap و sp و +sc و −sc و +ac و −ac على التوالي).}

البروتينات

مخطط راماشاندران (المعروف أيضًا باسم مخطط راماشاندران أو مخطط [ φ ، ψ ])، الذي تم تطويره في الأصل عام 1963 بواسطة جي إن راماشاندران ، سي راماكريشنان، وفي ساسيسيكاران، ^{[ 7 ]} هو طريقة لتصور المناطق المسموح بها من الناحية الطاقية لزوايا ثنائية السطوح للعمود الفقري ψ مقابل φ لبقايا الأحماض الأمينية في بنية البروتين .

في سلسلة البروتين ، يتم تحديد ثلاث زوايا ثنائية السطوح:

• ω (أوميغا) هي الزاوية في السلسلة C ^α − C' − N − C ^α ،
• φ (فاي) هي الزاوية في السلسلة C' − N − C ^α − C'
• ψ (psi) هي الزاوية في السلسلة N − C ^α − C' − N (يطلق عليها راماشاندران اسم φ′ )

يوضح الشكل الموجود على اليمين موقع كل زاوية من هذه الزوايا (لكنه لا يُظهر بشكل صحيح الطريقة التي يتم تعريفها بها). ^{[ 8 ]}

تُقيّد استواء الرابطة الببتيدية عادةً زاوية ω لتكون 180° (الحالة النموذجية للرابطة العابرة ) أو 0° (الحالة النادرة للرابطة المقابلة). تبلغ المسافة بين ذرات الكربون ألفا في المتصاوغين العابر والمقابل حوالي 3.8 ^و 2.9 أنغستروم على التوالي . غالبية الروابط الببتيدية في البروتينات هي روابط عابرة ، على الرغم من أن الرابطة الببتيدية مع نيتروجين البرولين تتميز بانتشار أكبر للرابطة المقابلة مقارنةً بأزواج الأحماض الأمينية الأخرى. ^{[ 9 ]} 

تُرمز زوايا ثنائي السطوح للسلسلة الجانبية بالرمز _χn ( χ- n ). ^{[ 10 ]} تميل هذه الزوايا إلى التجمع بالقرب من 180° و60° و-60°، وتُسمى هذه التكوينات ^: trans و gauche- و gauche ⁺ . يتأثر استقرار بعض زوايا ثنائي السطوح للسلسلة الجانبية بالقيمتين φ و ψ . ^{[ 11 ]} على سبيل المثال، توجد تفاعلات فراغية مباشرة بين ذرة الكربون γ للسلسلة الجانبية في متماثل gauche ⁺ وذرة النيتروجين في العمود الفقري للحمض الأميني التالي عندما تكون ψ قريبة من -60°. ^{[ 12 ]} ويتضح ذلك من التوزيعات الإحصائية في مكتبات المتماثلات المعتمدة على العمود الفقري .

وقد تم تعريف الزوايا ثنائية السطوح أيضًا بواسطة الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (IUPAC) لجزيئات أخرى، مثل الأحماض النووية ( DNA و RNA ) وللسكريات المتعددة .

لكل مجسم متعدد السطوح زاوية ثنائية عند كل حافة تصف العلاقة بين الوجهين المشتركين في تلك الحافة. ​​تُقاس هذه الزاوية الثنائية، والتي تُسمى أيضًا زاوية الوجه ، كزاوية داخلية بالنسبة للمجسم. زاوية 0° تعني أن متجهات الوجه العمودية متعاكسة وأن الأوجه متداخلة، مما يدل على أنه جزء من مجسم متعدد السطوح منحل . زاوية 180° تعني أن الأوجه متوازية، كما في التبليط . توجد زاوية أكبر من 180° على الأجزاء المقعرة من المجسم.

جميع الزوايا ثنائية السطوح في المجسمات متعددة السطوح المتساوية المحور و/أو متساوية السطوح لها نفس القيمة. ويشمل ذلك المجسمات الأفلاطونية الخمسة، والمجسمات الكاتالونية الثلاثة عشر ، ومجسمات كبلر-بوانسو الأربعة، ومجسمي شبه منتظمين محدبين ، وعائلتي المجسمات ثنائية الهرم وشبه المنحرف اللانهائيتين .

بالنظر إلى 3 أوجه متعددة السطوح تلتقي عند رأس مشترك P ولها حواف AP و BP و CP، فإن جيب تمام الزاوية ثنائية السطوح بين الأوجه التي تحتوي على APC و BPC هو: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

يمكن استنتاج ذلك من قانون الجيب التمام الكروي ، ولكن يمكن إيجاده أيضاً بوسائل أخرى. ^{[ 14 ]}

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد m ، الزاوية ثنائية السطوح${\displaystyle \varphi }$بين المستويين الفائقين المحددين بالمعادلات $${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {x} =c_{A}}$$$${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\cdot \mathbf {x} =c_{B}}$$ بالنسبة للمتجهات n _A و n _B و x ∈ R ^m والثوابت c _A و c _B ، تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,.}$$

• أتروبيزومر

• الزاوية ثنائية السطوح في النجارة على موقع Tips.FM
• يقدم تحليل المجسمات المنتظمة الخمسة اشتقاقًا خطوة بخطوة لهذه القيم الدقيقة.