متعدد السطوح شبه المنتظم

الأشكال شبه المنتظمة مجالات المثلث القائم الزاوية (pq 2), = r{p,q} r{4,3} r{5,3} r{6,3} r{7,3} ... r{ ∞ ,3} (3.4) 2 (3.5) 2 (3.6) 2 (3.7) 2 (3. ∞ ) 2 مجالات المثلث متساوي الساقين (ص 3)، = = h{6,p} h{6,4} h{6,5} h{6,6} h{6,7}... h{6, ∞ } = = = = = (4.3) 4 (5.3) 5 (6.3) 6 (7.3) 7 ( ∞.3 ) ∞ مجالات المثلث متساوي الساقين (ص 4)، = = h{8,p} h{8,3} h{8,5} h{8,6} h{8,7}... h{8, ∞ } = = = = = (4.3) 3 (4.5) 5 (4.6) 6 (4.7) 7 (4. ∞ ) ∞ مجال المثلث المختلف الأضلاع (5 4 3)، (3.5) 4 (4.5) 3 (3.4) 5 يحتوي المجسم شبه المنتظم أو التبليط على نوعين فقط من الأوجه المنتظمة، والتي تتناوب حول كل رأس. أشكال رؤوسها عبارة عن مضلعات متساوية الزوايا .

الأرقام المنتظمة وشبه المنتظمة مجالات المثلث القائم الزاوية (ص ص ٢)، = = ر{ص،ص} = {ص،٤} ١ ⁄ ٢ {3,4} 1 ⁄ 2 r{3,3} {4,4} 1 ⁄ 2 r{4,4} {5,4} 1 ⁄ 2 r{5,5} {6,4} 1 ⁄ 2 r{6,6}... { ∞ ,4} 1 ⁄ 2 r{ ∞ , ∞ } = = = = = (3.3) 2 (4.4) 2 (5.5) 2 (6.6) 2 ( ∞.∞ ) 2​​ مجالات المثلث متساوي الساقين (ص 3)، = = {ص، 6} 1 ⁄ 2 {3,6} 1 ⁄ 2 {4,6} 1 ⁄ 2 {5,6} 1 ⁄ 2 {6,6} 1 ⁄ 2 ... { ∞ ,6} 1 ⁄ 2 = = = = = (3.3) 3 (4.4) 3 (5.5) 3 (6.6) 3 ( ∞.∞ ) 3​​ مجالات المثلث متساوي الساقين (ص 4)، = = {ص، 8} 1 ⁄ 2 {3,8} 1 ⁄ 2 {4,8} 1 ⁄ 2 {5,8} 1 ⁄ 2 {6,8} 1 ⁄ 2 ... { ∞ ,8} 1 ⁄ 2 = = = = = (3.3) 4 (4.4) 4 (5.5) 4 (6.6) 4 ( ∞.∞ ) 4​​ يمكن اعتبار المجسم المنتظم أو التبليط شبه منتظم إذا كان لديه عدد زوجي من الوجوه حول كل رأس (وبالتالي يمكن أن يكون له وجوه ملونة بالتناوب).

في الهندسة ، يُعرف المجسم شبه المنتظم بأنه مجسم منتظم ذو نوعين فقط من الأوجه المنتظمة ، والتي تتناوب حول كل رأس . وهو مجسم متعدٍ على الرؤوس والحواف ، وبالتالي فهو أقرب إلى المجسمات المنتظمة من المجسمات شبه المنتظمة ، التي تقتصر على التعدي على الرؤوس فقط.

أشكالها الثنائية متعدية على الوجوه والحواف؛ ولها نوعان فقط من أشكال الرؤوس المنتظمة ، والتي تتناوب حول كل وجه . وتُعتبر أحيانًا شبه منتظمة.

لا يوجد سوى نوعين من المجسمات شبه المنتظمة المحدبة : المكعب الثماني الأوجه والمجسم العشري الاثني عشري الأوجه . وقد أطلق عليهما كيبلر اسميهما ، وذلك لإدراكهما أن أوجههما هي جميع أوجه المكعب والثماني الأوجه (مع اختلاف اتجاهها) في الحالة الأولى، وأوجه المجسم العشري الاثني عشري الأوجه في الحالة الثانية.

يمكن إعطاء هذه الأشكال التي تمثل زوجًا من شكل منتظم وثنائيه رمز شلافلي عمودي${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$أو r{p,q} ، للدلالة على أن أوجهها هي جميع أوجه كل من المجسم المنتظم {p,q} والمجسم المنتظم الثنائي {q,p} (مع اختلاف اتجاهها) . سيكون للمجسم شبه المنتظم الذي يحمل هذا الرمز تكوين رؤوس p.qpq (أو (pq) ² ).

وبشكل عام، يمكن أن يكون للشكل شبه المنتظم تكوين رأس (pq) ^r ، يمثل r (2 أو أكثر) من تسلسلات الوجوه حول الرأس.

يمكن أن تكون تبليطات المستوى شبه منتظمة، وتحديدًا التبليط الثلاثي السداسي ، بتكوين رؤوس (3.6) ^{2. توجد} تبليطات شبه منتظمة أخرى على المستوى الزائدي، مثل التبليط الثلاثي السباعي ، (3.7) ^2. أو بشكل أعم: (pq) ² ، حيث 1/p + 1/q < 1/2 .

يمكن اعتبار المجسمات المنتظمة والتبليطات ذات العدد الزوجي من الأوجه عند كل رأس شبه منتظمة، وذلك بتمييز الأوجه من نفس الرتبة عن طريق تمثيلها بشكل مختلف، مثل تلوينها بالتناوب (دون تحديد أي اتجاه للسطح). ويمكن اعتبار الشكل المنتظم ذو رمز شلافلي {p,q} شبه منتظم، بتكوين رأس (pp) ^q/2 ، إذا كان q عددًا زوجيًا.

أمثلة:

يمكن اعتبار الشكل الثماني المنتظم ، الذي يرمز إليه Schläfli بـ {3,4} و 4 عدد زوجي، شبه منتظم كشكل رباعي الأوجه (مجموعتان من 4 مثلثات من الشكل الرباعي الأوجه )، مع تكوين الرأس (3.3) ^4/2 = (3 _a .3 _b ) ² ، مع تناوب لونين للوجوه المثلثية.

يمكن اعتبار التبليط المربع ، مع تكوين الرؤوس 4 ⁴ و 4 زوجي، شبه منتظم، مع تكوين الرؤوس (4.4) ^4/2 = (4 _أ .4 _ب ) ² ، ملونًا مثل رقعة الشطرنج .

يمكن اعتبار التبليط المثلثي ، مع تكوين الرؤوس 3 ⁶ و 6 زوجية، شبه منتظم، مع تكوين الرؤوس (3.3) ^6/2 = (3 _a .3 _b ) ³ ، بالتناوب بين لونين من الوجوه المثلثية.

تُنشأ المجسمات المنتظمة ( p | 2q ) وشبه المنتظمة ( 2 | pq ) من خلال بناء Wythoff حيث تكون نقطة المولد عند إحدى زوايا المجال الأساسي الثلاث. وهذا يُحدد ضلعًا واحدًا داخل المجال الأساسي.

يعرّف كوكسيتر متعدد السطوح شبه المنتظم بأنه متعدد السطوح الذي له رمز Wythoff على شكل p | qr ، ويكون منتظمًا إذا كان q=2 أو q=r. ^{[ 1 ]}

يُعد مخطط كوكسيتر -دينكين تمثيلاً رمزياً آخر يُظهر العلاقة شبه المنتظمة بين الشكلين المنتظمين المزدوجين:

رمز شلافلي		مخطط كوكسيتر	رمز Wythoff
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p,q}		q | 2 p
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	{q,p}		ص | 2 ق
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	r{p,q}	أو	2 | pq

يوجد نوعان من متعددات السطوح شبه المنتظمة المحدبة المنتظمة :

1. المكعب الثماني الأوجه${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$، تكوين الرؤوس (3.4) ² ، مخطط كوكسيتر-دينكين
2. المجسم العشري الوجوه${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$، تكوين الرؤوس (3.5) ² ، مخطط كوكسيتر-دينكين

بالإضافة إلى ذلك، فإن الشكل الثماني الأوجه ، وهو منتظم أيضاً ،${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$يمكن اعتبار الشكل ذي التكوين الرأسي (3.3) ² شبه منتظم إذا تم تلوين الأوجه المتناوبة بألوان مختلفة. يُعرف في هذه الحالة أحيانًا باسم رباعي الأوجه . أما المجسمات المنتظمة المحدبة المتبقية، فلها عدد فردي من الأوجه عند كل رأس، لذا لا يمكن تلوينها بطريقة تحافظ على خاصية التعدي على الحواف. وله مخطط كوكسيتر-دينكين.

يشكل كل من هذه الأشكال النواة المشتركة لزوج ثنائي من المجسمات المنتظمة . ويعطي اسما اثنين منها دلائل على الزوج الثنائي المرتبط بهما: المكعب على التوالي.${\displaystyle \cap }$ثماني السطوح ، وعشروني السطوح${\displaystyle \cap }$المجسم ذو الاثني عشر وجهًا . يُعدّ المجسم الثماني الأوجه النواة المشتركة لزوج ثنائي من رباعيات الأوجه (مركب يُعرف باسم النجمة الثمانية الأضلاع )؛ وعند اشتقاقه بهذه الطريقة، يُطلق على المجسم الثماني الأوجه أحيانًا اسم رباعي الأوجه ، أو رباعي الأوجه.${\displaystyle \cap }$رباعي الأوجه .

عادي	منتظم	نواة مشتركة شبه منتظمة	شكل الرأس
رباعي الأوجه {3,3} 3 | 2 3	رباعي الأوجه {3,3} 3 | 2 3	رباعي الأوجه r{3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
مكعب {4،3} 3 | 2 4	ثماني السطوح {3،4} 4 | 2 3	مكعب ثماني الأوجه r{3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
مجسم ذو اثني عشر وجهًا {5,3} 3 | 2 5	مجسم عشروني الوجوه {3,5} 5 | 2 3	مجسم ذو عشرين وجهًا r{3,5} 2 | 3 5	3.5.3.5

يمكن إنشاء كل من هذه الأشكال متعددة السطوح شبه المنتظمة عن طريق عملية تصحيح على أي من الأصل المنتظم، مما يؤدي إلى اقتطاع الرؤوس بالكامل، حتى يتم تقليل كل حافة أصلية إلى نقطة المنتصف الخاصة بها.

تبليط شبه منتظم

يستمر هذا التسلسل على شكل تبليط ثلاثي سداسي ، شكل الرأس (3.6) ² - تبليط شبه منتظم يعتمد على التبليط المثلثي والتبليط السداسي .

عادي	منتظم	تركيبة شبه منتظمة	شكل الرأس
تبليط سداسي {6,3} 6 | 2 3	التبليط المثلثي {3،6} 3 | 2 6	تبليط ثلاثي سداسي r{6,3} 2 | 3 6	(3.6) 2

نمط رقعة الشطرنج هو تلوين شبه منتظم لتبليط المربع ، شكل الرأس (4.4) ² :

عادي	منتظم	تركيبة شبه منتظمة	شكل الرأس
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r{4,4} 2 | 4 4	(4.4) 2

يمكن أيضًا اعتبار التبليط المثلثي شبه منتظم، مع ثلاث مجموعات من المثلثات المتناوبة عند كل رأس، (3.3) ³ :

h{6,3} 3 | 3 3 =

في المستوى الزائدي، يستمر هذا التسلسل إلى أبعد من ذلك، على سبيل المثال التبليط الثلاثي السباعي ، شكل الرأس (3.7) ² - تبليط شبه منتظم يعتمد على التبليط المثلثي من الرتبة 7 والتبليط السباعي .

عادي	منتظم	تركيبة شبه منتظمة	شكل الرأس
التبليط السباعي {7,3} 7 | 2 3	التبليط المثلثي {3,7} 3 | 2 7	التبليط ثلاثي الأضلاع r{3,7} 2 | 3 7	(3.7) 2

يصنف كوكسيتر، إتش إس إم وآخرون (1954) أيضًا بعض المجسمات النجمية متعددة الأوجه ، التي لها نفس الخصائص، على أنها شبه منتظمة.

يعتمد اثنان منها على أزواج ثنائية من أجسام كيبلر-بوانسو المنتظمة ، بنفس الطريقة المتبعة في الأمثلة المحدبة:

المجسم العشري الأوجه العظيم${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}}$والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}}$:

عادي	منتظم	نواة مشتركة شبه منتظمة	شكل الرأس
مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهًا { 5 / 2 ,3} 3 | 2 5/2	المجسم العشري الوجوه العظيم { 3، 5/2 } 5/2 | 2 3	مجسم عشروني الوجوه عظيم r{3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2	3. 5 / 2 .3. 5 / 2
مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا { 5 / 2 ,5} 5 | 2 5/2	المجسم ذو الاثني عشر وجهًا كبيرًا {5، 5/2 } 5/2 | 2 5	مجسم ذو اثني عشر وجهًا r{5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2	5. 5 / 2 .5. 5 / 2

أما التسعة الأخرى فهي أنصاف السطوح ، وهي أشكال متعددة الأوجه من السطوح شبه المنتظمة المذكورة سابقًا، والمشتقة من تقويم السطوح المنتظمة. وتشمل هذه السطوح وجوهًا استوائية تمر عبر مركز السطوح.

شبه منتظم (مصحح)	رباعي الأوجه	مكعب ثماني الأوجه	عشروني عشري الوجوه	مجسم عشريني الوجوه عظيم	مجسم ذو اثني عشر وجهًا
شبه منتظم (متعدد السطوح نصفي)	رباعي نصف سداسي الأوجه 3 / 2 3 | 2	ثماني الأوجه نصف ثمانية الأوجه 3 / 2 3 | 3	مجسم صغير ذو عشرين وجهًا ونصف اثني عشر وجهًا 3 / 2 3 | 5	مجسم عشريني نصف اثني عشري كبير 3 / 2 3 | 5 / 3	مجسم صغير  ذو اثني عشر وجهًا ونصف عشريني 5 / 3 5 / 2 | 3
شكل الرأس	3.4. 3 / 2 .4	3.6. 3 / 2 .6	3.10. 3 / 2 .10	3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3	5 / 2 .6. 5 / 3 .6
شبه منتظم (متعدد السطوح نصفي)		مكعب نصف ثماني الأوجه 4 / 3 4 | 3	مجسم صغير  ذو اثني عشر وجهًا ونصف اثني عشر وجهًا 5 / 4 5 | 5	مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا 5/3 5/2 | 5/3​​	مجسم ذو اثني عشر وجهًا ونصف  عشريني الوجوه 5 / 4 5 | 3
شكل الرأس		4.6. 4 / 3 .6	5.10. 5 / 4 .10	5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3	5.6. 5 / 4 .6

وأخيرًا، هناك ثلاثة أشكال ثنائية الأضلاع ، جميعها عبارة عن أوجه للمجسم الاثني عشري المنتظم، وتحتوي أشكال رؤوسها على ثلاثة تناوبات لنوعي الوجه:

صورة	شكل متعدد الأوجه، رمز ويثوف، مخطط كوكسيتر	شكل الرأس
	مجسم ثنائي الأضلاع ذو اثني عشر وجهًا 3 | 5/3 5 أو	(5.5/3) 3
	مجسم ثنائي الأضلاع صغير ذو عشرين وجهًا 3 | 5/2 3 أو	(3.5/2) 3
	مجسم عشريني عشري كبير ثنائي التناظر 3/2 | 3 5 أو	((3.5) 3 )/2

في المستوى الإقليدي، يستمر تسلسل أنصاف السطوح مع التبليطات النجمية الأربعة التالية، حيث تظهر الأضلاع غير المنتظمة على شكل المضلعات الاستوائية المذكورة سابقًا:

بلاط أصلي مصحح	مخطط الحواف	صلب	تكوين الرؤوس	ويثوف	مجموعة التناظر
تبليط مربع			4. ∞ .4/3. ∞ 4. ∞ .-4. ∞	4/3 4 | ∞	p4m
تبليط مثلثي			(3. ∞ .3. ∞ .3. ∞ )/2	3/2 | 3 ∞	ص6م
التبليط ثلاثي الأضلاع			6. ∞ .6/5. ∞ 6. ∞ .-6. ∞	6/5 6 | ∞
			∞ .3. ∞ .3/2 ∞ .3. ∞ .-3	3/2 3 | ∞

يرى بعض المختصين أنه بما أن الأجسام الثنائية للأجسام شبه المنتظمة تشترك في نفس التناظرات، فينبغي تسمية هذه الأجسام الثنائية بالأجسام شبه المنتظمة أيضًا. لكن هذا المصطلح ليس شائعًا. هذه الأجسام الثنائية متعدية على حوافها ووجوهها (ولكن ليس على رؤوسها)؛ وهي الأجسام الكاتالونية المتعدية على الحواف . أما الأجسام المحدبة فهي، بالترتيب المذكور أعلاه:

1. المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا ، بنوعين من الرؤوس المتناوبة، و8 بثلاثة أوجه معينية، و6 بأربعة أوجه معينية.
2. المجسم المعيني ثلاثي الأوجه ، بنوعين من الرؤوس المتناوبة، 20 بثلاثة أوجه معينية، و12 بخمسة أوجه معينية.

بالإضافة إلى ذلك، من خلال الازدواجية مع ثماني السطوح، يمكن جعل المكعب ، الذي عادة ما يكون منتظمًا ، شبه منتظم إذا تم إعطاء الرؤوس البديلة ألوانًا مختلفة.

تكون تكوينات وجوههم على شكل V3.n.3.n، ومخطط كوكسيتر-دينكين

مكعب V(3.3) 2	المعين ذو الاثني عشر وجهًا V(3.4) 2	مجسم ثلاثي الأضلاع معيني V(3.5) 2	تبليط المعين V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2

تتميز هذه الأشكال الثنائية شبه المنتظمة الثلاثة أيضًا بوجود وجوه معينية .

يستمر هذا النمط ذو الأوجه المعينية على شكل V(3.6) ² ، وهو نمط التبليط المعيني .

في الأبعاد الأعلى، عرّف كوكسيتر متعدد السطوح شبه المنتظم أو قرص العسل بأنه ذو أوجه منتظمة وأشكال رؤوس شبه منتظمة. ويترتب على ذلك أن جميع أشكال الرؤوس متطابقة، وأن هناك نوعين من الأوجه يتناوبان. ^{[ 2 ]}

في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، يمكن اعتبار الخلية المنتظمة ذات الـ 16 خلية شبه منتظمة على شكل مكعب رباعي الأوجه متناوب ، h{4,3,3}، مخططات كوكسيتر : = ، يتكون من خلايا رباعية الأوجه متناوبة . شكل رأسها هو رباعي الأوجه شبه المنتظم (ثماني الأوجه ذو تناظر رباعي الأوجه) .

الشكل الوحيد شبه المنتظم لقرص العسل في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هو قرص العسل المكعب المتناوب ، h{4,3,4}، مخططات كوكسيتر: = ، ويتكون من خلايا رباعية الأوجه وثمانية الأوجه بالتناوب . شكل رأسه هو المكعب الثماني الأوجه شبه المنتظم . ^{[ 2 ]}

في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد، يُعدّ قرص العسل شبه المنتظم قرص العسل المكعب المتناوب من الرتبة 5 ، h{4,3,5}، مخططات كوكسيتر: = ، ويتكون من خلايا رباعية الأوجه وعشرونية الأوجه بالتناوب . شكل رأسه هو شكل عشريني اثنا عشري الأوجه شبه المنتظم . ^{[ 3 ]} أما قرص العسل المكعب شبه المضغوط المتناوب من الرتبة 6 ، h{4,3,6}، فيتكون من خلايا تبليط رباعية الأوجه وسداسية الأضلاع بالتناوب، وشكل رأسه هو تبليط ثلاثي سداسي الأضلاع شبه منتظم .

متعدد الألوان شبه المنتظم وخلايا النحل: h{4,p,q}
فضاء	محدود	أفين	صغير الحجم	شبه مضغوط
رمز شلافلي	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{5 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{6 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 4}\right\}}$
مخطط كوكسيتر	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
صورة
شكل الرأس r{p,3}

يمكن تقسيم التناظر المنتظم للخلايا متعددة الألوان أو خلايا النحل من الشكل {p,3,4} إلى نصفين ، مما ينتج عنه خلايا {p,3} متناوبة الألوان. تشمل هذه الحالات خلية النحل المكعبة الإقليدية { 4,3,4 } ذات الخلايا المكعبة ، والخلايا الزائدية المدمجة {5,3,4} ذات الخلايا الاثني عشرية ، والخلايا شبه المدمجة {6,3,4} ذات الخلايا السداسية اللانهائية . تحتوي هذه الخلايا على أربع خلايا حول كل حافة، تتناوب بلونين. أشكال رؤوسها هي رباعيات وجوه شبه منتظمة .

خلايا النحل المنتظمة وشبه المنتظمة: {p,3,4} و {p,3 1,1 }
فضاء	Euclidean 4-space	Euclidean 3-space	Hyperbolic 3-space
Name	{3,3,4}{3,31,1} = ${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	{4,3,4}{4,31,1} = ${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 3}\right\}}$	{5,3,4}{5,31,1} = ${\displaystyle \left\{5,{3 \atop 3}\right\}}$	{6,3,4}{6,31,1} = ${\displaystyle \left\{6,{3 \atop 3}\right\}}$
Coxeterdiagram	=	=	=	=
Image
Cells{p,3}

Similarly regular hyperbolic honeycombs of the form {p,3,6} or can have their symmetry cut in half as into quasiregular form , creating alternately colored {p,3} cells. They have six cells around each edge, alternating in 2 colors. Their vertex figures are quasiregular triangular tilings, .

Hyperbolic uniform honeycombs: {p,3,6} and {p,3^[3]}

• v
• t
• e

Form	Paracompact				Noncompact
Name	{3,3,6}{3,3[3]}	{4,3,6}{4,3[3]}	{5,3,6}{5,3[3]}	{6,3,6}{6,3[3]}	{7,3,6}{7,3[3]}	{8,3,6}{8,3[3]}	... {∞,3,6}{∞,3[3]}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

• Chiral polytope
• Rectification (geometry)

• Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).
• Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 2.3 Quasi-Regular Polyhedra. (p. 17), Quasi-regular honeycombs p.69

• وايسستين ، إريك دبليو. “متعدد السطوح شبه منتظم” . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد السطوح المنتظم" . عالم الرياضيات .المجسمات شبه المنتظمة: (pq) ^r
• جورج هارت، متعددات السطوح شبه المنتظمة