دالة بيتا ديريشليه

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة
دالة بيتا ديريشليه

في الرياضيات ، تُعد دالة بيتا ديريشليه (المعروفة أيضًا بدالة بيتا كاتالان ) دالة خاصة ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة زيتا ريمان . وهي دالة L خاصة بدالة ديريشليه ، وهي دالة L للخاصية المتناوبة للدورة الرابعة.

تعريف

تُعرَّف دالة بيتا لـ Dirichlet على النحو التالي:

β(s)=∑ن=0∞(-1)ن(2ن+1)s،{\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}

أو، على نحو مماثل،

β(s)=1Γ(s)∫0∞xs-1هـ-x1+هـ-2xدx.{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}

في كل حالة، يُفترض أن Re( s )  >  0.

بدلاً من ذلك، فإن التعريف التالي، من حيث دالة زيتا هورويتز ، يكون صالحًا في المستوى المركب s بأكمله : [ 1 ]

β(s)=4-s(ζ(s،14)-ζ(s،34)).{\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}

تعريف مكافئ آخر، من حيث مفهوم ليرش المتعالي ، هو:

β(s)=2-sΦ(-1،s،12)،{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}

وهو أمر ينطبق مرة أخرى على جميع القيم المركبة لـ s .

يمكن أيضًا كتابة دالة بيتا لـ Dirichlet بدلالة دالة متعددة اللوغاريتمات :

β(s)=أنا2(ليs(-أنا)-ليs(أنا)).{\displaystyle \beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).}

كما يمكن صياغة تمثيل متسلسلة دالة بيتا ديريشليه بدلالة دالة بوليغاما

β(s)=12s∑ن=0∞(-1)ن(ن+12)s=1(-4)s(s-1)![ψ(s-1)(14)-ψ(s-1)(34)]\beta(s) = \frac{1}{2^{s}} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{\left(n + \frac{1}{2}}\right)^{s}}} = \frac{1}{(-4)^{s}(s-1)!} \left[\psi^{(s-1)}\left(\frac{1}{4}}\right) - \psi^{(s-1)}\left(\frac{3}{4}}\right)\right] \

لكن هذه الصيغة صالحة فقط عند قيم الأعداد الصحيحة الموجبة لـs{\displaystyle s}.

صيغة منتج أويلر

وهو أيضاً أبسط مثال على سلسلة غير مرتبطة بشكل مباشر بـζ(s){\displaystyle \zeta (s)}والتي يمكن أيضًا تحليلها كعامل أويلر ، مما يؤدي إلى فكرة خاصية ديريشلي التي تحدد المجموعة الدقيقة لسلاسل ديريشلي التي لها تحليل على الأعداد الأولية .

على الأقل بالنسبة لـ Re( s )  ≥  1:

β(s)=∏ص≡1 مoد 411-ص-s∏ص≡3 مoد 411+ص-s{\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}

حيث p ≡ 1 mod 4 هي الأعداد الأولية من الشكل 4n + 1 ( 5 ، 13، 17، ...) و p ≡ 3 mod 4 هي الأعداد الأولية من الشكل 4n + 3 ( 3، 7، 11، ...). ويمكن كتابة ذلك باختصار على النحو التالي:

β(s)=∏ص>2ص برايم11-(-1)ص-12ص-s.{\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.}

المعادلة الوظيفية

تُمدد المعادلة الوظيفية دالة بيتا إلى الجانب الأيسر من المستوى المركب Re( s ) ≤ 0. وهي معطاة بـ

β(1-s)=(π2)-sالخطيئة⁡(π2s)Γ(s)β(s){\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}

أينΓ(s){\displaystyle \Gamma (s)}هي دالة غاما . وقد افترضها أويلر في عام 1749 وأثبتها مالمستين في عام 1842. [ 2 ]

قيم محددة

الأعداد الصحيحة الموجبة

لكل عدد صحيح فردي موجب2ن+1{\displaystyle 2n+1}، المعادلة التالية صحيحة: [ 3 ]

β(2ن+1)=(-1)نهـ2ن2(2ن)!(π2)2ن+1{\displaystyle \beta (2n+1)\;=\;{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{2(2n)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}}

أينهـن{\displaystyle E_{n}}هو العدد النوني لأويلر . وهذا ينتج عنه:

β(1)=π4،{\displaystyle \beta (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}
β(3)=π332،{\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}
β(5)=5π51536،{\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}
β(7)=61π7184320{\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}

لا توجد صيغة مغلقة أولية معروفة لقيم دالة بيتا ديريشليه عند الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة، ولم يتم التوصل بعد إلى طريقة لتحديد الطبيعة الحسابية لقيم بيتا الزوجية (على غرار دالة زيتا ريمان عند الأعداد الصحيحة الفردية الأكبر من 3).β(2)=جي{\displaystyle \beta (2)=G}يُعرف باسم ثابت كاتالان .

لقد ثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد من الشكلβ(2ن){\displaystyle \beta (2n)}[ 4 ] وواحد على الأقل من الأرقامβ(2)،β(4)،β(6)،...،β(12){\displaystyle \beta (2)،\beta (4)،\beta (6)،...،\beta (12)}غير عقلانية. [ 5 ]

يمكن إعطاء قيم بيتا الزوجية بدلالة دوال بوليجاما وأعداد برنولي : [ 6 ]

β(2ن)=ψ(2ن-1)(1/4)42ن-1(2ن)!ن-π2ن(22ن-1)|ب2ن|2(2ن)!{\displaystyle \beta (2n)={\frac {\psi ^{(2n-1)}(1/4)}{4^{2n-1}(2n)!}}n-{\frac {\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2(2n)!}}}

يمكننا أيضًا التعبير عن دالة بيتا للقيم الموجبةن{\displaystyle n}بدلالة التكامل العكسي للظل :

β(ن)=تين(1){\displaystyle \beta (n)={\text{Ti}}_{n}(1)}
β(1)=دالة الظل العكسي⁡(1){\displaystyle \beta (1)=\arctan(1)}

لكل عدد صحيح موجب k :

β(2ك)=12(2ك-1)!∑م=0∞((∑ل=0ك-1(2ك-12ل)(-1)لأ2ك-2ل-12ل+2م+1)-(-1)ك-12م+2ك)أ2م(2م)!(π2)2م+2ك،\beta(2k) = \frac{1}{2(2k-1)!} \sum_{m=0}^{\infty} \left( \left( \sum_{l=0}^{k-1}{\binom{2k-1}{2l}}{\frac{(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1} \right) - \frac{(-1)^{k-1}}{2m+2k} \right) \frac{A_{2m}}{(2m)!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2m+2k}

أينأك{\displaystyle A_{k}}هو عدد أويلر المتعرج .

sالقيمة التقريبية β (ثانية)OEIS
10.7853981633974483096156608A003881
20.9159655941772190150546035A006752
30.9689461462593693804836348A153071
40.9889445517411053361084226A175572
50.9961578280770880640063194A175571
60.9986852222184381354416008A175570
70.9995545078905399094963465A258814
80.9998499902468296563380671A258815
90.9999496841872200898213589A258816

الأعداد الصحيحة السالبة

بالنسبة للأعداد الصحيحة الفردية السالبة، تكون الدالة صفرًا:

β(-2ن-1)=0{\displaystyle \beta (-2n-1)\;=\;0}

لكل عدد زوجي سالب، ينطبق ما يلي: [ 3 ]

β(-2ن)=12هـ2ن{\displaystyle \beta (-2n)\;=\;{\frac {1}{2}}E_{2n}}.

وهو كذلك:

β(0)=12{\displaystyle \beta (0)\;=\;{\frac {1}{2}}}.

المشتق

لدينا: [ 3 ]

β′(-1)=2جيπ{\displaystyle \beta '(-1)={\frac {2G}{\pi }}}

β′(0)=2ln⁡Γ(14)-ln⁡π-32ln⁡2=ln⁡ϖπ{\displaystyle \beta '(0)=2\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})-\ln \pi -{\tfrac {3}{2}}\ln 2=\ln {\tfrac {\varpi }{\sqrt {\pi }}}}

β′(1)=π4(γ+2ln⁡2+3ln⁡π-4ln⁡Γ(14))=π4(γ-ln⁡2+2ln⁡πϖ){\displaystyle \beta '(1)={\tfrac {\pi }{4}}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}}))={\tfrac {\pi }{4}}(\gamma -\ln 2+2\ln {\tfrac {\pi }{\varpi }})}

معγ{\displaystyle \gamma }كونه ثابت أويلر ،ϖ{\displaystyle \varpi }كونه ثابت ليمنيسكات وجي{\displaystyle G}كونه ثابت كاتالان . تم اشتقاق الهوية الأخيرة بواسطة مالمستين في عام 1842. [ 2 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ علاقة بيتا ديريشليه – زيتا هورويتز ، الرياضيات الهندسية
  2. 1 2 بلاغوشين، ياروسلاف ف. (2014-10-01). "إعادة اكتشاف تكاملات مالمستين، وتقييمها باستخدام طرق التكامل الكفافي وبعض النتائج ذات الصلة" . مجلة رامانوجان . 35 (1): 21-110 . doi : 10.1007/s11139-013-9528-5 . ISSN 1572-9303 . 
  3. 1 2 3 وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة بيتا ديريشليه" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2024-08-08 .
  4. ^ ريفال، ت. زوديلين، دبليو (2003). "الخصائص الديوفانتينية للأرقام المتعلقة بالثابت الكاتالوني" . الرياضيات أنالن . 326 (4): 705-721 . دوى : 10.1007 / s00208-003-0420-2 . اتش دي ال : 1959.13/803688 . ردمك 1432-1807 . 
  5. ^ زوديلين، وديم (2019). "حساب الثابت الكاتالوني وأقاربه" . Abhandlungen aus dem Mathatischen Seminar der Universität هامبورغ . 89 (1): 45-53 . أرخايف : 1804.09922 . دوى : 10.1007/s12188-019-00203-ث . ISSN 0025-5858 . 
  6. ↑ كولبيغ، ك.س. (1996). "دالة بوليغاما ψ(k)(x) لـ x=14 و x=34" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 75 (1): 43-46 . doi : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 . ISSN 0377-0427 . 
  • جلاسر، إم إل (1972). "تقييم مجاميع الشبكة. الجزء الأول: الإجراءات التحليلية". مجلة الفيزياء الرياضية 14 (3): 409. رمز Bibcode : 1973JMP....14..409G . doi : 10.1063/1.1666331 .
  • J. Spanier and KB Oldham, An Atlas of Functions , (1987) Hemisphere, New York.