تكامل ديريشليه

يترك${\displaystyle f(t)}$تكون دالة معرفة كلما${\displaystyle t\geq 0}$ثم يُعطى تحويل لابلاس الخاص به$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,}$$ إذا كان التكامل موجودًا. ^{[ 3 ]}

إحدى خصائص تحويل لابلاس المفيدة لتقييم التكاملات غير المحددة هي $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {f(t)}{t}}\right]=\int _{s}^{\infty }F(u)\,du,}$$ متاح${\textstyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(t)}{t}}}$موجود.

فيما يلي، نحتاج إلى النتيجة${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\{\sin t\}={\frac {1}{s^{2}+1}}}$، وهو تحويل لابلاس للدالة${\displaystyle \sin t}$بالإضافة إلى نسخة من نظرية أبيل (وهي نتيجة لنظرية القيمة النهائية لتحويل لابلاس ).

لذلك، $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt&=\lim _{s\to 0}\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\lim _{s\to 0}{\mathcal {L}}\left[{\frac {\sin t}{t}}\right]\\[6pt]&=\lim _{s\to 0}\int _{s}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}+1}}=\lim _{s\to 0}\arctan u{\Biggr |}_{s}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{s\to 0}\left[{\frac {\pi }{2}}-\arctan(s)\right]={\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

إن حساب تكامل ديريشليه باستخدام تحويل لابلاس يكافئ حساب نفس التكامل المزدوج المحدد عن طريق تغيير ترتيب التكامل ، أي $${\displaystyle \left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt\,ds\right)=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,ds\,dt\right),}$$$${\displaystyle \left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s^{2}+1}}\,ds={\frac {\pi }{2}}\right)=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt\right),{\text{ provided }}s>0.}$$ يُبرر تغيير الترتيب بحقيقة أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle s>0}$، التكامل متقارب بشكل مطلق.

أولاً، أعد كتابة التكامل كدالة للمتغير الإضافي .${\displaystyle s}$، أي تحويل لابلاس لـ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sin t}{t}}}$فلنفعل ذلك .$${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.}$$

لتقييم تكامل ديريشليه، نحتاج إلى تحديد ⁠${\displaystyle f(0)}$استمرارية​${\displaystyle f}$يمكن تبرير ذلك بتطبيق نظرية التقارب المسيطر بعد التكامل بالتجزئة. اشتق بالنسبة إلى${\displaystyle s>0}$ثم نطبق قاعدة لايبنيز للتفاضل تحت علامة التكامل لنحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{ds}}&={\frac {d}{ds}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial s}}e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt.\end{aligned}}}$$

والآن ، باستخدام صيغة أويلر${\displaystyle e^{it}=\cos t+i\sin t}$، يمكن التعبير عن دالة الجيب بدلالة الدوال الأسية المركبة: $${\displaystyle \sin t={\frac {1}{2i}}\left(e^{it}-e^{-it}\right).}$$

لذلك، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{ds}}&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {e^{it}-e^{-it}}{2i}}dt\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-t(s-i)}-e^{-t(s+i)}\right]dt\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[{\frac {-1}{s-i}}e^{-t(s-i)}-{\frac {-1}{s+i}}e^{-t(s+i)}\right]_{0}^{\infty }\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\left({\frac {-1}{s-i}}+{\frac {1}{s+i}}\right)\right]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{s-i}}-{\frac {1}{s+i}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {s+i-(s-i)}{s^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{s^{2}+1}}.\end{aligned}}}$$

التكامل فيما يتعلق بـ${\displaystyle s}$أعطِ $${\displaystyle f(s)=\int {\frac {-ds}{s^{2}+1}}=A-\arctan s,}$$

أين${\displaystyle A}$هو ثابت تكامل يجب تحديده. بما أن${\displaystyle \lim _{s\to \infty }f(s)=0}$،​​${\displaystyle \textstyle A=\lim _{s\to \infty }\arctan s={\frac {\pi }{2}}}$باستخدام القيمة الأساسية. هذا يعني أنه بالنسبة لـ${\displaystyle s>0}$$${\displaystyle f(s)={\frac {\pi }{2}}-\arctan s.}$$

وأخيرًا، بالاستمرارية عند ⁠${\displaystyle s=0}$لدينا​​${\displaystyle \textstyle f(0)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(0)={\frac {\pi }{2}}}$، كما كان من قبل.

يعتبر$${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{z}}.}$$

كدالة للمتغير المركب${\displaystyle z}$، ولها قطب بسيط عند الأصل، مما يمنع تطبيق ليمّة جوردان ، التي يتم استيفاء فرضياتها الأخرى.

ثم قم بتعريف دالة جديدة ^{[ 4 ]}$${\displaystyle g(z)={\frac {e^{iz}}{z+i\varepsilon }}.}$$

تم نقل القطب إلى المحور التخيلي السالب، لذلك${\displaystyle g(z)}$يمكن دمجها على طول نصف الدائرة${\displaystyle \gamma }$نصف قطر${\displaystyle R}$مركزها في${\displaystyle z=0}$يمتد في الاتجاه التخيلي الموجب، ومغلق على طول المحور الحقيقي. ثم نأخذ النهاية ⁠${\displaystyle \varepsilon \to 0}$⁠ .

التكامل المركب يساوي صفرًا وفقًا لنظرية البواقي ، حيث لا توجد أقطاب داخل مسار التكامل .${\displaystyle \gamma }$⁠ : $${\displaystyle 0=\int _{\gamma }g(z)\,dz=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ix}}{x+i\varepsilon }}\,dx+\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{i(Re^{i\theta }+\theta )}}{Re^{i\theta }+i\varepsilon }}iR\,d\theta .}$$

يختفي الحد الثاني عندما${\displaystyle R}$يؤول إلى اللانهاية. أما بالنسبة للتكامل الأول، فيمكن استخدام صيغة واحدة من نظرية سوخوتسكي-بليميل للتكاملات على خط الأعداد الحقيقية: لدالة مركبة ذات قيم f معرفة وقابلة للتفاضل باستمرار على خط الأعداد الحقيقية وثوابت حقيقية.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$مع${\displaystyle a<0<b}$يجد المرء $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,}$$

أين${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يرمز إلى القيمة الرئيسية لكوشي . بالعودة إلى الحساب الأصلي أعلاه، يمكن كتابة $${\displaystyle 0={\mathcal {P}}\int {\frac {e^{ix}}{x}}\,dx-\pi i.}$$

بأخذ الجزء التخيلي من كلا الجانبين وملاحظة أن الدالة${\textstyle {\frac {\sin x}{x}}}$إذا كان العدد زوجيًا، فسنحصل على $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx.}$$

أخيراً، $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

أو بدلاً من ذلك، اختر كمنحنى تكامل لـ${\displaystyle f}$اتحاد أنصاف دوائر نصف المستوى العلوي ذات أنصاف أقطار${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle R}$بالإضافة إلى قطعتين من خط الأعداد الحقيقية تربط بينهما. من جهة أخرى، يكون التكامل الكفافي صفرًا، بغض النظر عن${\displaystyle \varepsilon }$و​${\displaystyle R}$من ناحية أخرى، كما${\displaystyle \varepsilon \to 0}$و${\displaystyle R\to \infty }$الجزء التخيلي للتكامل يتقارب إلى${\textstyle 2I+\Im {\big (}\ln 0-\ln(\pi i){\big )}=2I-\pi }$(هنا${\displaystyle \ln z}$(أي فرع من فروع اللوغاريتم في النصف العلوي من المستوى المركب)، مما يؤدي إلى${\displaystyle \textstyle I={\frac {\pi }{2}}}$⁠ .

ضع في اعتبارك الصيغة المعروفة لنواة ديريشليه : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle D_{n}(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(2kx)={\frac {\sin[(2n+1)x]}{\sin(x)}}.}$$

ويترتب على ذلك مباشرة ما يلي: $${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

يُعرِّف $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{\sin(x)}}&x\neq 0\\[6pt]0&x=0\end{cases}}}$$

بوضوح،${\displaystyle f}$تكون متصلة عندما${\displaystyle x\in (0,\pi /2]}$; لرؤية استمراريتها عند ⁠${\displaystyle 0}$تطبيق قاعدة لوبيتال :$${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)-x}{x\sin(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-\sin(x)}{2\cos(x)-x\sin(x)}}=0.}$$

لذلك،${\displaystyle f}$يستوفي متطلبات مبرهنة ريمان-ليبيغ . وهذا يعني: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\pi /2}f(x)\sin(\lambda x)dx=0\quad \Longrightarrow \quad \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx=\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)}}dx.}$$

نود أن نحسب: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}dt=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(t)}{t}}dt\\[6pt]=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx\\[6pt]=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)}}dx\\[6pt]=&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}}dx\\[6pt]=&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$$

ومع ذلك، يجب علينا تبرير تغيير الحد الحقيقي في${\displaystyle \lambda }$إلى الحد التكاملي في${\displaystyle n}$، وهو ما سيترتب على إثبات أن النهاية موجودة بالفعل.

باستخدام التكامل بالتجزئة ، نحصل على: $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}dx=\int _{a}^{b}{\frac {d(1-\cos(x))}{x}}dx=\left.{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}dx}$$

الآن، كما${\displaystyle a\to 0}$و${\displaystyle b\to \infty }$الحد الموجود على اليسار يتقارب دون أي مشكلة. انظر قائمة نهايات الدوال المثلثية . سنبين الآن أن${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}dx}$قابلة للتكامل المطلق، مما يعني أن النهاية موجودة. ^{[ 7 ]}

أولاً، نسعى إلى تحديد نطاق التكامل بالقرب من نقطة الأصل. باستخدام متسلسلة تايلور لتوسيع دالة جيب التمام حول الصفر، $${\displaystyle 1-\cos(x)=1-\sum _{k\geq 0}{\frac {{(-1)^{(k+1)}}x^{2k}}{2k!}}=\sum _{k\geq 1}{\frac {{(-1)^{(k+1)}}x^{2k}}{2k!}}.}$$

لذلك، $${\displaystyle \left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}\right|=\left|-\sum _{k\geq 0}{\frac {x^{2k}}{2(k+1)!}}\right|\leq \sum _{k\geq 0}{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x|}.}$$

بتقسيم التكامل إلى أجزاء، نحصل على $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}\right|dx\leq \int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {2}{x^{2}}}dx+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{|x|}dx+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {2}{x^{2}}}dx\leq K,}$$

لبعض الثوابت${\displaystyle K>0}$هذا يُظهر أن التكامل قابل للتكامل المطلق، مما يعني أن التكامل الأصلي موجود، وبالانتقال من${\displaystyle \lambda }$ل${\displaystyle n}$كان ذلك مبرراً بالفعل، والدليل كامل.