أساس مزدوج

في الجبر الخطي ، بالنظر إلى فضاء متجهي${\displaystyle V}$مع أساس${\displaystyle B}$مجموعة من المتجهات المفهرسة بواسطة مجموعة فهارس${\displaystyle I}$( عدد )${\displaystyle I}$هو بُعد​${\displaystyle V}$), المجموعة الثنائية لـ${\displaystyle B}$هي مجموعة${\displaystyle B^{*}}$من المتجهات في الفضاء المزدوج${\displaystyle V^{*}}$بنفس مجموعة الفهرس${\displaystyle I}$بحيث${\displaystyle B}$و${\displaystyle B^{*}}$تشكل نظامًا ثنائي التعامد . المجموعة الثنائية مستقلة خطيًا دائمًا ولكنها لا تمتد بالضرورة${\displaystyle V^{*}}$إذا امتد${\displaystyle V^{*}}$، ثم${\displaystyle B^{*}}$يُطلق عليه الأساس المزدوج أو الأساس المتبادل للأساس${\displaystyle B}$.

نرمز إلى مجموعات المتجهات المفهرسة بـ${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$و${\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}$يعني كون المتجه ثنائي التعامد أن حاصل الضرب الداخلي بين عناصره يساوي 1 إذا كانت المؤشرات متساوية، ويساوي 0 فيما عدا ذلك. ويمكن التعبير عن ذلك رمزياً بتقييم متجه ثنائي في${\displaystyle V^{*}}$على متجه في الفضاء الأصلي${\displaystyle V}$:

${\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$هو رمز دلتا كرونيكر .

لإجراء عمليات على متجه، يجب أن تتوفر لدينا طريقة مباشرة لحساب مركباته. في الإطار الديكارتي، العملية اللازمة هي الضرب القياسي للمتجه والمتجه الأساسي. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال،

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}}$

أين${\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}}$هو الأساس في إطار ديكارتي. مكونات${\displaystyle \mathbf {x} }$يمكن العثور عليها بواسطة

${\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}$

لكن في إطار غير ديكارتي، ليس بالضرورة أن يكون لدينا${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0}$للجميع${\displaystyle i\neq j}$ومع ذلك، من الممكن دائمًا إيجاد المتجهات${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$في الفضاء المزدوج بحيث

${\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).}$

تتحقق المساواة عندما${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$s هي الأساس المزدوج لـ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$لاحظ الفرق في موضع المؤشر${\displaystyle i}$.

توجد المجموعة الثنائية دائمًا وتُعطي تطبيقًا من V إلى V ^* ، أي التطبيق الذي يُرسل vᵢ إلى vᵢ ^. وهذا يعني، على وجه الخصوص، أن بُعد الفضاء الثنائي أكبر _من أو يساوي بُعد V.

مع ذلك، فإن المجموعة الثنائية لـ V ذات الأبعاد اللانهائية لا تمتد عبر فضاءها الثنائي V ^* . على سبيل المثال، لننظر إلى التطبيق w في V ^* من V إلى الكميات العددية الأساسية F، المعطى بالعلاقة w ( vi ₎ = 1 لجميع قيم i . من الواضح أن هذا التطبيق غير صفري على جميع قيم _vi . إذا كان w عبارة عن توليفة خطية منتهية من متجهات الأساس الثنائية vi ^، على سبيل المثال${\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}$بالنسبة لمجموعة جزئية منتهية K من I ، فإنه لأي j ليس في K ،${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$وهذا يناقض تعريف w . لذا، فإن w هذا لا يقع في امتداد المجموعة الثنائية.

الفضاء الثنائي لفضاء لانهائي الأبعاد له بُعد أكبر (أي عدد عناصر لانهائي أكبر) من الفضاء الأصلي، وبالتالي لا يمكن أن يكون لهما أساس بنفس مجموعة الفهرسة. مع ذلك، توجد مجموعة ثنائية من المتجهات تُعرّف فضاءً جزئيًا من الفضاء الثنائي متماثلًا مع الفضاء الأصلي. علاوة على ذلك، بالنسبة للفضاءات المتجهة الطوبولوجية ، يمكن تعريف فضاء ثنائي متصل ، وفي هذه الحالة قد يوجد أساس ثنائي.

هناك طريقة أخرى لتقديم الفضاء الثنائي لفضاء متجهي ( وحدة ) وهي تقديمه بمعنى فئوي. وللقيام بذلك، لنفترض${\displaystyle A}$أن تكون وحدة نمطية معرفة على الحلقة${\displaystyle R}$(إنه،${\displaystyle A}$هو عنصر في الفئة${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$ثم نُعرّف الفضاء الثنائي لـ${\displaystyle A}$، المشار إليه${\displaystyle A^{\ast }}$، يكون${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}$، الوحدة المكونة من الكل${\displaystyle R}$- تشاكلات الوحدات الخطية من${\displaystyle A}$داخل${\displaystyle R}$لاحظ إذن أنه يمكننا تعريف ثنائي للثنائي، يُشار إليه بالثنائي المزدوج لـ${\displaystyle A}$، مكتوبة على النحو التالي${\displaystyle A^{\ast \ast }}$، وتعريفها على النحو التالي${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}$.

لإنشاء أساس رسمي للفضاء الثنائي، سنقتصر الآن على الحالة التي${\displaystyle F}$هو فضاء حر ذو أبعاد محدودة (يسار)${\displaystyle R}$-وحدة، حيث${\displaystyle R}$هي حلقة ذات عنصر محايد. إذن، نفترض أن المجموعة${\displaystyle X}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle F}$ومن هنا، نُعرّف دالة دلتا كرونكر${\displaystyle \delta _{xy}}$على أساس${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle \delta _{xy}=1}$لو${\displaystyle x=y}$و${\displaystyle \delta _{xy}=0}$لو${\displaystyle x\neq y}$ثم المجموعة${\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }$يصف مجموعة مستقلة خطيًا مع كل${\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}$. منذ${\displaystyle F}$هو ذو أبعاد محدودة، الأساس${\displaystyle X}$لها عدد عناصر محدود. إذن، المجموعة${\displaystyle S}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle F^{\ast }}$و${\displaystyle F^{\ast }}$هو حق (حر)${\displaystyle R}$-وحدة.

على سبيل المثال، متجهات الأساس القياسية لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$( المستوى الديكارتي )

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

ومتجهات الأساس القياسية لفضاءها الثنائي${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}$نكون

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}$

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، بالنسبة لقاعدة معينة${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$الأساس المتعامد الثنائي${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}$يمكن إيجادها باستخدام الصيغ التالية:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}$

حيث يرمز ^{T إلى} عملية النقل و

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

حجم متوازي المستطيلات المتكون من متجهات الأساس${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}$و${\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}$

بشكل عام، يمكن حساب الأساس الثنائي لأساس في فضاء متجهي محدود الأبعاد بسهولة على النحو التالي: بمعلومية الأساس${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$والأساس المزدوج المقابل${\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}$يمكننا بناء المصفوفات

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ثم تنص الخاصية المميزة للأساس الثنائي على ما يلي:

${\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}$

وبالتالي فإن مصفوفة الأساس المزدوج${\displaystyle G}$يمكن حسابها على النحو التالي

${\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}$

• الشبكة المقلوبة
• مؤشر ميلر
• محور المنطقة

• ليبيديف، ليونيد ب.؛ كلاود، مايكل ج.؛ إيريمييف، فيكتور أ. (2010). تحليل الموترات مع تطبيقات في الميكانيكا . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981431312-4.
• "إيجاد الأساس المزدوج" . ستاك إكستشينج . 27 مايو 2012.