مؤشر ميلر

تشكل مؤشرات ميلر نظام تدوين في علم البلورات لمستويات الشبكة في شبكات البلورات (برافي) .

على وجه الخصوص، يتم تحديد عائلة من مستويات الشبكة لشبكة برافي (مباشرة) معينة بواسطة ثلاثة أعداد صحيحة h و k و l ، وهي مؤشرات ميلر . تُكتب هذه المؤشرات ( hkl ) ، وتشير إلى عائلة مستويات الشبكة (المتوازية) (لشبكة برافي المعطاة) المتعامدة مع ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3},}$حيث تمثل b _i متجهات الإزاحة الأساسية أو الأولية للشبكة المقلوبة لشبكة برافي المعطاة. (لاحظ أن المستوى ليس دائمًا متعامدًا مع التركيبة الخطية لمتجهات الشبكة المباشرة أو الأصلية).${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}}$لأن متجهات الشبكة المباشرة لا يلزم أن تكون متعامدة فيما بينها. ويستند هذا إلى حقيقة أن متجه الشبكة المقلوبة g (المتجه الذي يشير إلى نقطة في الشبكة المقلوبة من أصل الشبكة المقلوبة) هو متجه الموجة لموجة مستوية في متسلسلة فورييه لدالة مكانية (مثل دالة الكثافة الإلكترونية) التي تتبع دوريتها شبكة برافي الأصلية، وبالتالي تتطابق جبهات الموجة المستوية مع مستويات الشبكة المتوازية للشبكة الأصلية. وبما أن متجه التشتت المقاس في علم البلورات بالأشعة السينية ،${\displaystyle \Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _ {\mathrm {out} }-\mathbf {k} _ {\mathrm {in} }}$مع k _out كمتجه موجة الأشعة السينية الخارجة (المشتتة من الشبكة البلورية) و k _in كمتجه موجة الأشعة السينية الداخلة (باتجاه الشبكة البلورية)، يساوي متجه الشبكة المقلوبة g كما هو مذكور في معادلات لاوي ، يتم تمييز ذروة الأشعة السينية المشتتة المقاسة عند كل متجه تشتت مقاس Δ k بواسطة مؤشرات ميلر .

بحسب الاصطلاح، تُكتب الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام خط، كما في 3 للدلالة على  -3. وعادةً ما تُكتب الأعداد الصحيحة في أبسط صورة، أي أن قاسمها المشترك الأكبر يجب أن يكون  1. تُستخدم مؤشرات ميلر أيضًا للدلالة على الانعكاسات في علم البلورات بالأشعة السينية . في هذه الحالة، لا تكون الأعداد الصحيحة بالضرورة في أبسط صورة، ويمكن اعتبارها مُقابلة لمستويات متباعدة بحيث يكون فرق الطور بين الانعكاسات من المستويات المتجاورة مساويًا لطول موجة واحد بالضبط (2π ) ، بغض النظر عما إذا كانت هناك ذرات على جميع هذه المستويات أم لا.

وهناك أيضاً العديد من الرموز ذات الصلة: ^{[ 1 ]}

• يشير الرمز { hkl } إلى مجموعة جميع المستويات المكافئة لـ ( hkl ) من خلال تناظر الشبكة.

في سياق اتجاهات البلورات (وليس مستوياتها)، تكون الرموز المقابلة كما يلي:

• [ hkl ] ، مع استخدام الأقواس المربعة بدلاً من الأقواس الدائرية، يشير إلى اتجاه في أساس متجهات الشبكة المباشرة بدلاً من الشبكة المقلوبة؛ و
• وبالمثل، فإن الترميز ⟨ hkl ⟩ يشير إلى مجموعة جميع الاتجاهات التي تعادل [ hkl ] عن طريق التناظر.

ملاحظة: بالنسبة لتداخلات لاو-براغ

• لا يحتوي hkl على أي أقواس عند تحديد الانعكاس

تم تقديم مؤشرات ميلر في عام 1839 من قبل عالم المعادن البريطاني ويليام هالوز ميلر ، على الرغم من أن نظامًا مطابقًا تقريبًا ( معاملات فايس ) كان قد استخدمه عالم المعادن الألماني كريستيان صموئيل فايس منذ عام 1817. ^{[ 2 ]} عُرفت الطريقة تاريخيًا أيضًا باسم نظام ميلر، والمؤشرات باسم ميلر، ^{[ 3 ]} على الرغم من أن هذا نادر الآن.

يتم تعريف مؤشرات ميلر بالنسبة لأي اختيار لخلية الوحدة وليس فقط بالنسبة لمتجهات الأساس الأولية، كما هو مذكور أحيانًا.

توجد طريقتان متكافئتان لتحديد معنى مؤشرات ميلر: ^{[ 1 ]} عبر نقطة في الشبكة المقلوبة ، أو كمعكوس التقاطعات على طول متجهات الشبكة. يرد كلا التعريفين أدناه. في كلتا الحالتين، يلزم اختيار متجهات الشبكة الثلاثة a1 _و a2 و _{a3 التي تحدد خلية الوحدة (لاحظ أن خلية الوحدة} التقليدية قد تكون أكبر من الخلية الأولية لشبكة برافي ، كما توضح الأمثلة أدناه ). بناءً _على هذه المتجهات، يتم تحديد متجهات الشبكة المقلوبة الأولية الثلاثة أيضًا (يرمز لها بـ _b1 و _b2 و b3 ₎ .

ثم، بالنظر إلى مؤشرات ميلر الثلاثة h و k و l ، فإن ( hkl ) تشير إلى المستويات المتعامدة مع متجه الشبكة المقلوبة: $${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$$ أي أن ( hkl ) يشير ببساطة إلى متجه عمودي على المستويات في أساس متجهات الشبكة المقلوبة الأولية. ولأن الإحداثيات أعداد صحيحة، فإن هذا المتجه العمودي هو دائمًا متجه شبكة مقلوبة. ويعني شرط وجود أقل عدد من الحدود أنه أقصر متجه شبكة مقلوبة في الاتجاه المحدد.

بصورة مكافئة، يرمز ( hkl ) إلى مستوى يتقاطع مع النقاط الثلاث a1 _/ h و a2 _/ k و a3 / l ، أو مع مضاعفاتها. أي أن مؤشرات ميلر تتناسب عكسيًا مع نقاط تقاطع المستوى، وذلك في أساس متجهات الشبكة. إذا كان أحد المؤشرات يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المستويات لا تتقاطع _مع ذلك المحور (نقطة التقاطع "عند اللانهاية").

بالنظر فقط إلى المستويات ( hkl ) التي تتقاطع مع نقطة واحدة أو أكثر من نقاط الشبكة ( مستويات الشبكة )، فإن المسافة العمودية d بين مستويات الشبكة المتجاورة ترتبط بمتجه الشبكة المتبادل (الأقصر) المتعامد مع المستويات بالصيغة: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle d={\frac {2\pi }{|\mathbf {g} _{hk\ell }|}}.}$$

يشير الرمز [ hkl ] ذو الصلة إلى الاتجاه : $${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$$ أي أنه يستخدم أساس الشبكة المباشرة بدلاً من الشبكة المقلوبة. لاحظ أن [ hkl ] ليس عموديًا بشكل عام على مستويات ( hkl ) ، إلا في الشبكة المكعبة كما هو موضح أدناه.

في حالة البلورات المكعبة البسيطة، تكون متجهات الشبكة متعامدة ومتساوية الطول (يرمز لها عادةً بـ a )، كما هو الحال في الشبكة المقلوبة. وبالتالي، في هذه الحالة الشائعة، يشير كل من مؤشري ميلر ( hkl ) و [ hkl ] ببساطة إلى المتجهات العمودية/الاتجاهات في الإحداثيات الديكارتية .

بالنسبة للبلورات المكعبة ذات ثابت الشبكة a ، فإن المسافة d بين مستويات الشبكة المتجاورة ( hkl ) هي (من الأعلى)$${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}.}$$

بسبب تناظر البلورات المكعبة، من الممكن تغيير مكان وإشارة الأعداد الصحيحة والحصول على اتجاهات ومستويات متكافئة:

• تشير المؤشرات الموجودة بين قوسين زاويين مثل ⟨100⟩ إلى مجموعة من الاتجاهات المتكافئة بسبب عمليات التناظر، مثل [100] ، [010] ، [001] أو عكس أي من تلك الاتجاهات.
• تشير المؤشرات الموجودة بين قوسين معقوفين أو أقواس معقوفة مثل {100} إلى مجموعة من المتجهات العمودية المستوية المتكافئة بسبب عمليات التناظر، تمامًا كما تشير الأقواس الزاوية إلى مجموعة من الاتجاهات.

بالنسبة للشبكات المكعبة ذات التمركز الوجهي والشبكات المكعبة ذات التمركز الجسمي ، فإن متجهات الشبكة الأولية ليست متعامدة. ومع ذلك، في هذه الحالات، تُعرَّف مؤشرات ميلر بشكل اصطلاحي بالنسبة لمتجهات شبكة الخلية الفائقة المكعبة ، وبالتالي فهي ببساطة الاتجاهات الديكارتية.

بالنسبة لأنظمة الشبكات السداسية والمعينية ، يُستخدم نظام برافي-ميلر عادةً، والذي يستخدم أربعة مؤشرات ( h k i l ) تخضع للقيد التالي :$${\displaystyle h+k+i=0.}$$ هنا h و k و l هي مطابقة لمؤشرات ميلر المقابلة، و i هو مؤشر زائد.

يُظهر نظام الترقيم الرباعي هذا، المُستخدم لترقيم المستويات في الشبكة السداسية، تناظرات التبديل بوضوح. فعلى سبيل المثال، يصبح التشابه بين (110) ≡ (11 2 0) و (1 2 0) ≡ (1 2 10) أكثر وضوحًا عند إظهار الفهرس الزائد.

في الشكل على اليمين، يتمتع المستوى (001) بتناظر ثلاثي: فهو يبقى دون تغيير عند دورانه بمقدار 1/3 (2π / 3 راديان، 120°). تتشابه الاتجاهات [100] و [010] و [ 110 ] تشابهًا كبيرًا. إذا كانت S هي نقطة تقاطع المستوى مع المحور [ 110 ] ، فإن $${\displaystyle i={\frac {1}{S}}.}$$

توجد أيضًا مخططات مخصصة (كما هو الحال في أدبيات المجهر الإلكتروني النافذ ) لفهرسة متجهات الشبكة السداسية (بدلاً من متجهات أو مستويات الشبكة المقلوبة) باستخدام أربعة مؤشرات. ومع ذلك، فهي لا تعمل عن طريق إضافة مؤشر زائد إلى مجموعة المؤشرات الثلاثة المعتادة.

على سبيل المثال، يمكن كتابة متجه الشبكة المقلوبة ( hkl ) كما هو مقترح أعلاه بدلالة متجهات الشبكة المقلوبة كما يلي:${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$_{بالنسبة للبلورات السداسية ،} يمكن التعبير عن ذلك بدلالة متجهات أساس الشبكة المباشرة a1 و a2 و a3 كما _{يلي :}

$${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.}$$

وبالتالي، فإن مؤشرات المنطقة للاتجاه العمودي على المستوى ( hkl ) تكون، في شكل ثلاثي مُعَيَّر بشكل مناسب، ببساطة $${\displaystyle \left[2h+k,\ h+2k,\ {\tfrac {3}{2}}\ell \left({\tfrac {a}{c}}\right)^{2}\right].}$$ ومع ذلك، عندما تُستخدم أربعة مؤشرات للمنطقة العمودية على المستوى ( hkl ) ، فإن الأدبيات غالبًا ما تستخدم $${\displaystyle \left[h,\ k,\ -h-k,\ {\tfrac {3}{2}}\ell \left({\tfrac {a}{c}}\right)^{2}\right]}$$ بدلاً من ذلك. ^{[ 4 ]} وهكذا كما ترون، فإن مؤشرات المنطقة ذات الأربعة فهارس في الأقواس المربعة أو الزاوية تخلط أحيانًا بين فهرس الشبكة المباشرة على اليمين مع مؤشرات الشبكة المتبادلة (عادةً في أقواس دائرية أو معقوفة) على اليسار.

ولاحظ أن المسافات بين المستويات السداسية تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$$ لكن بشكل عام: $${\displaystyle d_{hkl}={\frac {2\pi }{\sqrt {h^{2}{\textbf {b}}_{1}^{2}+k^{2}{\textbf {b}}_{2}^{2}+l^{2}{\textbf {b}}_{3}^{2}+2hk{\textbf {b}}_{1}{\textbf {b}}_{2}\cos \gamma ^{*}+2kl{\textbf {b}}_{2}{\textbf {b}}_{3}\cos \alpha ^{*}+2lh{\textbf {b}}_{1}{\textbf {b}}_{3}\cos \beta ^{*}}}}}$$

الاتجاهات البلورية هي خطوط تربط بين العقد ( الذرات أو الأيونات أو الجزيئات ) في البلورة. وبالمثل، فإن المستويات البلورية هي مستويات تربط بين العقد. بعض الاتجاهات والمستويات تتميز بكثافة عقد أعلى؛ وتؤثر هذه المستويات الكثيفة على سلوك البلورة.

• الخواص البصرية : في المادة المكثفة، ينتقل الضوء من ذرة إلى أخرى عبر تشتت رايلي ؛ وبالتالي، تتغير سرعة الضوء تبعًا للاتجاهات، سواء كانت الذرات قريبة أم بعيدة؛ وهذا ما يُسبب الانكسار المزدوج.
• الامتزاز والتفاعلية : يمكن أن يحدث الامتزاز والتفاعلات الكيميائية عند الذرات أو الجزيئات على أسطح البلورات، وبالتالي فإن هذه الظواهر حساسة لكثافة العقد؛
• التوتر السطحي : يعني تكثف المادة أن الذرات أو الأيونات أو الجزيئات تكون أكثر استقرارًا إذا كانت محاطة بأنواع أخرى مماثلة؛ وبالتالي، يتغير التوتر السطحي للسطح البيني وفقًا للكثافة على السطح.
  • تميل المسامات والبلورات إلى امتلاك حدود حبيبية مستقيمة تتبع مستويات كثيفة.
  • انشقاق
• الانخلاعات ( التشوه اللدن )
  • يميل لب الخلع إلى الانتشار على المستويات الكثيفة (يتم "تخفيف" الاضطراب المرن)؛ وهذا يقلل من الاحتكاك ( قوة بايرلز-نابارو )، ويحدث الانزلاق بشكل متكرر على المستويات الكثيفة؛
  • الاضطراب الذي يحمله الانخلاع ( متجه برجر ) يكون على طول اتجاه كثيف: إن إزاحة عقدة واحدة في اتجاه كثيف هو تشوه أقل؛
  • يميل خط الانخلاع إلى اتباع اتجاه كثيف، وغالبًا ما يكون خط الانخلاع خطًا مستقيمًا، وغالبًا ما تكون حلقة الانخلاع مضلعًا .

لكل هذه الأسباب، من المهم تحديد المستويات وبالتالي وجود نظام تدوين.

عادةً، تكون مؤشرات ميلر أعدادًا صحيحة بحكم التعريف، وهذا القيد ذو أهمية فيزيائية. لفهم ذلك، لنفترض أننا نسمح بوجود مستوى ( abc ) حيث لا تكون مؤشرات ميلر a و b و c (المعرفة أعلاه) أعدادًا صحيحة بالضرورة.

• البنية البلورية
• عادة الكريستال
• علم البلورات الهندسي قبل الأشعة السينية
• خط كيكوتشي
• الشبكة المقلوبة
• محور المنطقة
• MTEX

• قاموس الاتحاد الدولي لعلم البلورات على الإنترنت
• وصف فهرس ميلر مع الرسوم البيانية
• برنامج تعليمي عبر الإنترنت حول مستويات الشبكة ومؤشرات ميلر .
• MTEX  – مجموعة أدوات MATLAB مجانية لتحليل النسيج
• https://sourceforge.net/projects/orilib  – مجموعة من الإجراءات لمعالجة الدوران / التوجيه، بما في ذلك أدوات خاصة لتوجيهات البلورات.