نظرية الاستقرار

لو${\displaystyle \det A=0}$ثم رتبة${\displaystyle A}$هو صفر أو واحد.

• إذا كانت الرتبة صفرًا، فإن${\displaystyle A=0}$ولا يوجد تدفق.
• إذا كانت الرتبة واحدًا، فـ${\displaystyle \ker A}$و${\displaystyle \operatorname {im} A}$كلاهما أحادي البعد.
  • لو${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$ثم دع${\displaystyle v}$فترة${\displaystyle \ker A}$ودع${\displaystyle w}$أن تكون صورة معكوسة لـ${\displaystyle v}$ثم في${\displaystyle \{v,w\}}$أساس،${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$وبالتالي فإن التدفق عبارة عن قص على طول${\displaystyle v}$الاتجاه. في هذه الحالة،${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$.
  • لو${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$ثم دع${\displaystyle v}$فترة${\displaystyle \ker A}$ودع${\displaystyle w}$فترة${\displaystyle \operatorname {im} A}$ثم في${\displaystyle \{v,w\}}$أساس،${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$لبعض الأعداد الحقيقية غير الصفرية${\displaystyle a}$.
    • لو${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ثم يصبح غير مستقر، ويتباعد بمعدل${\displaystyle a}$من${\displaystyle \ker A}$على طول الترجمات المتوازية لـ${\displaystyle \operatorname {im} A}$.
    • لو${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$ثم يصبح مستقراً، ويتقارب بمعدل${\displaystyle a}$ل${\displaystyle \ker A}$على طول الترجمات المتوازية لـ${\displaystyle \operatorname {im} A}$.

لو${\displaystyle \det A\neq 0}$، نجد أولاً الشكل الطبيعي لجوردان للمصفوفة، للحصول على أساس${\displaystyle \{v,w\}}$في أي${\displaystyle A}$وهو أحد الأشكال الثلاثة الممكنة:

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$أين${\displaystyle a,b\neq 0}$.
  • لو${\displaystyle a,b>0}$، ثم${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(ab)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$الأصل هو مصدر ، بمنحنيات متكاملة من الشكل${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle a,b<0}$. الأصل هو حوض .
  • لو${\displaystyle a>0>b}$أو${\displaystyle a<0<b}$، ثم${\displaystyle \det A<0}$والأصل هو نقطة سرجية . مع منحنيات تكاملية على شكل${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$.
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$أين${\displaystyle a\neq 0}$ويمكن تبسيط ذلك أكثر عن طريق تغيير الأساس مع${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$وبعد ذلك${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$يمكننا حل المعادلة بشكل صريح لـ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$مع${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$الحل هو${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$مع${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$تُسمى هذه الحالة " العقدة المنحلة ". المنحنيات التكاملية في هذا الأساس هي تمددات مركزية لـ${\displaystyle x=y\ln y}$بالإضافة إلى المحور السيني.
  • لو${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$إذا كان المصدر متدهوراً، فهو مصدر متدهور . وإلا فهو مصب متدهور .
  • في كلتا الحالتين،${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$أين${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$في هذه الحالة،${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$.
  • لو${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$إذن، هذا حوض حلزوني . في هذه الحالة، ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$الخطوط التكاملية عبارة عن حلزونات لوغاريتمية .
  • لو${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$إذن، هذا مصدر حلزوني . في هذه الحالة، ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$الخطوط التكاملية عبارة عن حلزونات لوغاريتمية .
  • لو${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$إذن، هذا دوران (" استقرار محايد ") بمعدل${\displaystyle a}$لا يتحرك باتجاه الأصل ولا بعيدًا عنه. في هذه الحالة، ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$الخطوط المتكاملة عبارة عن دوائر.

يُظهر مخطط الاستقرار على اليمين ملخص النتائج. في كل حالة، باستثناء حالة${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$القيم${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$يسمح بتصنيف فريد لنوع التدفق.

في الحالة الخاصة لـ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$هناك حالتان لا يمكن التمييز بينهما بواسطة${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$في كلتا الحالتين،${\displaystyle A}$لها قيمة ذاتية واحدة فقط، بتعدد جبري 2.

• إذا كانت القيمة الذاتية تمتلك فضاءً ذاتيًا ثنائي الأبعاد ( تعدد هندسي 2)، فإن النظام يكون عقدة مركزية (تسمى أحيانًا " نجمة " أو " عقدة حرجة ") والتي تكون إما مصدرًا (عندما${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$) أو حوض (عندما${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$). ^{[ 2 ]}
• إذا كان للنظام فضاء ذاتي أحادي البعد ( تعدد هندسي 1)، فإن النظام يكون عقدة متدهورة (إذا${\displaystyle \det A>0}$) أو تدفق القص (إذا${\displaystyle \det A=0}$).

متى${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$لدينا${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1}$لذا فإن التدفق يحافظ على المساحة. في هذه الحالة، يتم تصنيف نوع التدفق بواسطة${\displaystyle \det A}$.

• لو${\displaystyle \det A>0}$إذن، فهو دوران ("استقرار محايد") حول نقطة الأصل.
• لو${\displaystyle \det A=0}$إذن فهو تدفق قصي.
• لو${\displaystyle \det A<0}$إذن، الأصل هو نقطة سرجية.

لتكن f : R → R دالة قابلة للتفاضل باستمرار ولها نقطة ثابتة a ، f ( a ) = a . لنعتبر النظام الديناميكي الناتج عن تكرار الدالة f :

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$$

تكون النقطة الثابتة a مستقرة إذا كانت القيمة المطلقة لمشتقة f عند a أقل من 1، وغير مستقرة إذا كانت أكبر من 1. وذلك لأن الدالة f بالقرب من النقطة a لها تقريب خطي بميل f' ( a ) :

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)\left(x-a\right).}$$

هكذا

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}=f(x_{n})&\approx f(a)+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\\&=a+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$$

وهذا يعني أن المشتقة تقيس معدل اقتراب التكرارات المتتالية من النقطة الثابتة a أو ابتعادها عنها. إذا كانت المشتقة عند a تساوي 1 أو -1 بالضبط، فسنحتاج إلى مزيد من المعلومات لتحديد الاستقرار.

يوجد معيار مماثل للدالة f : R ⁿ → R ⁿ القابلة للتفاضل باستمرار والتي لها نقطة ثابتة a ، ويُعبَّر عنه بدلالة مصفوفة جاكوبي الخاصة بها عند a ، J _a ( f ) . إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ J أعدادًا حقيقية أو مركبة بقيم مطلقة أقل من 1، فإن a نقطة ثابتة مستقرة؛ أما إذا كانت قيمة مطلقة واحدة منها على الأقل أكبر من 1، فإن a غير مستقرة. وكما هو الحال بالنسبة لـ n = 1، فإن حالة كون أكبر قيمة مطلقة تساوي 1 تتطلب مزيدًا من البحث  ، إذ أن اختبار مصفوفة جاكوبي غير حاسم. وينطبق المعيار نفسه بشكل أعم على التشاكلات التفاضلية لمتشعب أملس .

يمكن تحليل استقرار النقاط الثابتة لنظام من المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة من الدرجة الأولى باستخدام القيم الذاتية للمصفوفة المقابلة.

نظام مستقل

$${\displaystyle x'=Ax,}$$

حيث x ( t ) ∈ Rⁿ و A مصفوفة من ^الرتبة n × n ذات عناصر حقيقية، ولها حل ثابت

$${\displaystyle x(t)=0.}$$

(بمعنى آخر، نقطة الأصل 0 ∈ R n ^هي نقطة توازن للنظام الديناميكي المقابل). يكون هذا الحل مستقرًا تقاربيًا عندما t → ∞ ("في المستقبل") إذا وفقط إذا كان Re ( λ ) < 0 لجميع القيم الذاتية λ للمصفوفة A. وبالمثل، يكون مستقرًا تقاربيًا عندما t → −∞ ("في الماضي") إذا وفقط إذا كان Re( λ ) > 0 لجميع القيم الذاتية λ للمصفوفة A. إذا وُجدت قيمة ذاتية λ للمصفوفة A بحيث Re( λ ) > 0، فإن الحل يكون غير مستقر عندما t → ∞ .

يمكن تحديد استقرار النظام الخطي بحل المعادلة التفاضلية لإيجاد القيم الذاتية، أو دون حل المعادلة باستخدام معيار راوث-هرويتز للاستقرار . القيم الذاتية للمصفوفة هي جذور متعددة الحدود المميزة لها . تُسمى متعددة الحدود ذات متغير واحد ومعاملات حقيقية متعددة حدود هورويتز إذا كانت الأجزاء الحقيقية لجميع الجذور سالبة تمامًا. تنص نظرية راوث-هرويتز على إمكانية توصيف متعددات حدود هورويتز باستخدام خوارزمية تتجنب حساب الجذور.

يمكن في كثير من الأحيان إثبات الاستقرار التقاربي للنقاط الثابتة لنظام غير خطي باستخدام نظرية هارتمان-جروبمان .

لنفترض أن v حقل متجه من الرتبة C1 في R^ ⁿ والذي ينعدم عند النقطة p ، ^أي v ( p ) = 0. عندئذٍ يكون النظام المستقل المقابل

$${\displaystyle x'=v(x)}$$

له حل ثابت

$${\displaystyle x(t)=p.}$$

لتكن J _{_p} ( v ) مصفوفة جاكوبية من الرتبة n × n لحقل المتجهات v عند النقطة p . إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ J_p لها جزء حقيقي سالب تمامًا، فإن الحل يكون مستقرًا تقاربيًا. يمكن اختبار هذا الشرط باستخدام معيار راوث-هرويتز .