التقريب الخطي

في الرياضيات ، التقريب الخطي هو تقريب لدالة عامة باستخدام دالة خطية (أو بالأحرى، دالة تآلفية ). ويُستخدم على نطاق واسع في طريقة الفروق المحدودة لإنتاج طرق من الدرجة الأولى لحل المعادلات أو تقريب حلولها.

بفرض دالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر${\displaystyle f}$بالنسبة لمتغير حقيقي واحد ، تنص نظرية تايلور على الحالة${\displaystyle n=1}$تنص على أن $${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+R_{2}}$$ أين${\displaystyle R_{2}}$يمثل الحد المتبقي. يتم الحصول على التقريب الخطي بحذف الباقي: $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa).}$$

هذا تقريب جيد عندما${\displaystyle x}$قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle a}$بما أن المنحنى، عند التدقيق فيه، سيبدأ في التشابه مع الخط المستقيم، فإن التعبير الموجود على الجانب الأيمن هو ببساطة معادلة الخط المماس لمنحنى${\displaystyle f}$في${\displaystyle (a,f(a))}$ولهذا السبب، تُسمى هذه العملية أيضًا بتقريب خط المماس . وتتحسن التقريبات الخطية في هذه الحالة بشكل أكبر عندما تكون المشتقة الثانية لـ a،${\displaystyle f''(a)}$، صغيرة بما فيه الكفاية (قريبة من الصفر) (أي عند نقطة انعطاف أو بالقرب منها ).

لو${\displaystyle f}$يكون مقعرًا لأسفل في الفترة بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle a}$، سيكون التقريب مبالغًا فيه (لأن المشتقة تتناقص في تلك الفترة). إذا${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة مقعرة لأعلى ، فسيكون التقريب أقل من القيمة الحقيقية. ^{[ 1 ]}

يتم الحصول على التقريبات الخطية للدوال المتجهة لمتغير متجه بنفس الطريقة، مع استبدال المشتقة عند نقطة ما بمصفوفة جاكوبي . على سبيل المثال، بالنظر إلى دالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f(x,y)}$باستخدام القيم الحقيقية، يمكن تقريب${\displaystyle f(x,y)}$ل${\displaystyle (x,y)}$بالقرب من${\displaystyle (a,b)}$وفقًا للصيغة $${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(xa\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(yb\right).}$$

الطرف الأيمن هو معادلة المستوى المماس لمنحنى${\displaystyle z=f(x,y)}$في${\displaystyle (a,b).}$

في الحالة الأكثر عمومية لفضاءات باناخ ، يكون لدينا $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(xa)}$$ أين${\displaystyle Df(a)}$هو مشتق من فريشيه${\displaystyle f}$في${\displaystyle a}$.

أوجد تقريب الدالة الخطي${\displaystyle f(x)={\sqrt {x+3}}\ }$في${\displaystyle a=1}$واستخدمه لتقريب الأرقام${\displaystyle {\sqrt {3.98}}}$و${\displaystyle {\sqrt {4.05}}}$هل هذه التقديرات مبالغ فيها أم أقل من الواقع؟ ^{[ 9 ]}

حل

مشتق من${\displaystyle f(x)=(x+3)^{1 \over {2}}}$يكون${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}\ (x+3)^{\frac {-1}{2}}\ ={\frac {1}{2{\sqrt {x+3}}}}\ }$وهكذا لدينا${\displaystyle f(1)=2}$و${\displaystyle f'(1)={\frac {1}{4}}\ }$وضع هذه القيم في${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}$نلاحظ أن عملية التخطيط الخطي هي${\displaystyle L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=2+{\frac {1}{4}}\ (x-1)={\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }$التقريب الخطي المقابل هو${\displaystyle {\sqrt {x+3}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }$

على وجه الخصوص، لدينا${\displaystyle {\sqrt {3.98}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {0.98}{4}}\ =1.995}$و${\displaystyle {\sqrt {4.05}}\approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {1.05}{4}}\ =2.0125}$.

• تقريب ذي الحدين
• طريقة أويلر
• الفروق المحدودة
• طرق الفروق المحدودة
• طريقة نيوتن
• سلسلة الطاقة
• التقريب التربيعي
• سلسلة تايلور

• وينشتاين، آلان؛ مارسدن، جيرولد إي. (1984). حساب التفاضل والتكامل 3. ​​برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ص  775. ISBN 0-387-90985-0.
• سترانج، جيلبرت (1991). حساب التفاضل والتكامل . كلية ويليسلي. ص  94. ISBN 0-9614088-2-0.
• بوك، ديفيد؛ هوكيت ، شيرلي أو. (2005). كيفية الاستعداد لامتحان حساب التفاضل والتكامل المتقدم . هاوباج، نيويورك: سلسلة بارونز التعليمية. ص 118. ISBN  0-7641-2382-3.