نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 41 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي ( DMFT ) طريقةً لتحديد البنية الإلكترونية للمواد ذات الارتباطات القوية . في هذه المواد، ينهار تقريب الإلكترونات المستقلة، المستخدم في نظرية الكثافة الوظيفية وحسابات بنية النطاق المعتادة . تُسدّ نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي، وهي معالجة غير اضطرابية للتفاعلات المحلية بين الإلكترونات، الفجوة بين حدّ غاز الإلكترونات شبه الحر والحدّ الذري لفيزياء المادة المكثفة . [ 1 ]

تتألف نظرية المجال الديناميكي متعدد الأجسام (DMFT) من تحويل مسألة الشبكة متعددة الأجسام إلى مسألة محلية متعددة الأجسام ، تُسمى نموذج الشوائب. [ 2 ] في حين أن مسألة الشبكة غير قابلة للحل عمومًا، فإن نموذج الشوائب عادةً ما يكون قابلاً للحل من خلال مخططات مختلفة. لا يُعد التحويل في حد ذاته تقريبًا. التقريب الوحيد المُستخدم في مخططات DMFT العادية هو افتراض أن طاقة الشبكة الذاتية كمية محلية مستقلة عن الزخم. يصبح هذا التقريب دقيقًا في حالة الشبكات ذات التنسيق اللانهائي . [ 3 ]

من أبرز نجاحات نظرية الكثافة الوظيفية الديناميكية (DMFT) وصفها للانتقال الطوري بين المعدن وعازل موت عند زيادة قوة الترابطات الإلكترونية . وقد طُبقت بنجاح على مواد حقيقية، بالاشتراك مع تقريب الكثافة المحلية لنظرية الكثافة الوظيفية. [ 4 ] [ 5 ]

العلاقة بنظرية المجال المتوسط

تُشابه معالجة نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي (DMFT) للنماذج الكمومية الشبكية معالجة نظرية المجال المتوسط ​​(MFT) للنماذج الكلاسيكية، مثل نموذج إيزينغ . [ 6 ] في نموذج إيزينغ، تُحوّل مسألة الشبكة إلى مسألة موقع واحد فعّالة، حيث يُفترض أن يُعيد مغنطتها إنتاج مغنط الشبكة من خلال "مجال متوسط" فعّال. يُسمى هذا الشرط شرط الاتساق الذاتي. وينص على أن تُعيد الكميات القابلة للرصد في الموقع الواحد إنتاج الكميات "المحلية" للشبكة بواسطة مجال فعّال. في حين أن هاميلتوني إيزينغ ذي المواقع المتعددة يصعب حله تحليليًا (حتى الآن، لا توجد حلول تحليلية إلا للحالتين أحادية وثنائية الأبعاد)، فإن مسألة الموقع الواحد تُحل بسهولة.

وبالمثل، تُسقط نظرية المجال المغناطيسي الديناميكي (DMFT) مسألة الشبكة ( مثل نموذج هوبارد ) على مسألة الموقع الواحد. في DMFT، تكون الكمية القابلة للرصد المحلية هي دالة غرين المحلية . وبالتالي، فإن شرط الاتساق الذاتي لـ DMFT هو أن تُعيد دالة غرين للشوائب إنتاج دالة غرين المحلية للشبكة من خلال مجال متوسط ​​فعال، وهو في DMFT دالة التهجين.Δ(τ){\displaystyle \Delta (\tau )}نموذج الشوائب. يعود اسم نظرية المجال المتوسط ​​(DMFT) إلى حقيقة أن المجال المتوسطΔ(τ){\displaystyle \Delta (\tau )}يعتمد على الزمن، أو ديناميكي. وهذا يشير أيضًا إلى الاختلاف الرئيسي بين نظرية إيزينغ المتوسطة (Ising MFT) ونظرية إيزينغ المتوسطة الديناميكية (DMFT): إذ تحوّل نظرية إيزينغ المتوسطة مشكلة اللف المغزلي المتعدد إلى مشكلة موقع واحد ولفة مغزلية واحدة. بينما تحوّل نظرية إيزينغ المتوسطة الديناميكية مشكلة الشبكة إلى مشكلة موقع واحد، إلا أن الأخيرة تظل في جوهرها مشكلة أجسام متعددة، ما يسمح برصد التقلبات الزمنية الناتجة عن ترابط الإلكترونات.

وصف مؤشر DMFT لنموذج هوبارد

رسم الخرائط

نموذج هوبارد أحادي المدار

يصف نموذج هوبارد [ 7 ] التفاعل الموضعي بين الإلكترونات ذات الدوران المتعاكس بواسطة معلمة واحدة،يو{\displaystyle U}قد يأخذ هاميلتونيان هوبارد الشكل التالي:

حهوبارد=ت∑⟨أناج⟩σجأناσ†ججσ+يو∑أنانأنا↑نأنا↓{\displaystyle H_{\text{Hubbard}}=t\sum _{\langle ij\rangle \sigma }c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+U\sum _{i}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }}

حيث، عند كبح مؤشرات الدوران 1/2σ{\displaystyle \sigma }،جأنا†،جأنا{\displaystyle c_{i}^{\dagger },c_{i}}تشير إلى عوامل إنشاء وإفناء الإلكترون على مدار موضعي في الموقعأنا{\displaystyle i}، ونأنا=جأنا†جأنا{\displaystyle n_{i}=c_{i}^{\dagger }c_{i}}.

تم وضع الافتراضات التالية:

  • يساهم مدار واحد فقط في الخصائص الإلكترونية (كما قد يكون الحال بالنسبة لذرات النحاس في الكوبرات فائقة التوصيل ، والتيد{\displaystyle d}(الأشرطة غير متدهورة)
  • تكون المدارات متمركزة للغاية بحيث لا يحدث إلا الانتقال بين أقرب الجيرانت{\displaystyle t}يؤخذ في الاعتبار

مشكلة مساعدة: نموذج شوائب أندرسون

يُعدّ نموذج هوبارد عمومًا غير قابل للتطبيق باستخدام تقنيات توسيع الاضطراب المعتادة. تقوم نظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​(DMFT) بتحويل نموذج الشبكة هذا إلى ما يُسمى بنموذج شوائب أندرسون (AIM). يصف هذا النموذج تفاعل موقع واحد (الشوائب) مع "حوض" من المستويات الإلكترونية (الموصوفة بمعاملات الإفناء والإنشاء).أصσ{\displaystyle a_{p\sigma }}وأصσ†{\displaystyle a_{p\sigma }^{\dagger }}) من خلال دالة تهجين. نموذج أندرسون المقابل لنموذجنا أحادي الموقع هو نموذج شوائب أندرسون أحادي المدار، والذي يتم صياغته الهاميلتونية، عند كبح بعض مؤشرات اللف المغزلي 1/2σ{\displaystyle \sigma }، يكون:

حهدف=∑صϵصأص†أص⏟ححمام+∑صσ(Vصσجσ†أصσ+ح.ج.)⏟حمزج+يون↑ن↓-μ(ن↑+ن↓)⏟حالموقع{\displaystyle H_{\text{AIM}}=\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}a_{p}^{\dagger }a_{p}} _{H_{\text{bath}}}+\underbrace {\sum _{p\sigma }\left(V_{p}^{\sigma }c_{\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }+h.c.\right)} _{H_{\text{mix}}}+\underbrace {Un_{\uparrow }n_{\downarrow }-\mu \left(n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\right)} _{H_{\text{loc}}}}

أين

  • ححمام{\displaystyle H_{\text{bath}}}يصف المستويات الإلكترونية غير المترابطةϵص{\displaystyle \epsilon _{p}}من الحمام
  • حالموقع{\displaystyle H_{\text{loc}}}يصف هذا الشائبة، حيث يتفاعل إلكترونان بتكلفة طاقيةيو{\displaystyle U}
  • حمزج{\displaystyle H_{\text{mix}}}يصف مصطلح التهجين (أو الاقتران) بين الشوائب والحمام من خلال مصطلحات التهجين.Vصσ{\displaystyle V_{p}^{\sigma }}

دالة ماتسوبارا غرين لهذا النموذج، مُعرَّفة بواسطةجيعفريت(τ)=-⟨تيج(τ)ج†(0)⟩{\displaystyle G_{\text{imp}}(\tau )=-\langle Tc(\tau )c^{\dagger }(0)\rangle }يتم تحديدها بالكامل بواسطة المعاييريو،μ{\displaystyle U,\mu }وما يسمى بوظيفة التهجينΔσ(أناωن)=∑ص|Vصσ|2أناωن-ϵص{\displaystyle \Delta _{\sigma }(i\omega _{n})=\sum _{p}{\frac {|V_{p}^{\sigma }|^{2}}{i\omega _{n}-\epsilon _{p}}}}، وهو تحويل فورييه للزمن التخيلي لـΔσ(τ){\displaystyle \Delta _{\sigma }(\tau )}.

تصف دالة التهجين هذه ديناميكيات الإلكترونات التي تنتقل داخل وخارج الوسط المحيط. وينبغي أن تحاكي ديناميكيات الشبكة البلورية بحيث تكون دالة غرين للشوائب مماثلة لدالة غرين للشبكة البلورية المحلية. وترتبط هذه الدالة بدالة غرين غير المتفاعلة بالعلاقة التالية:

(جي0)-1(أناωن)=أناωن+μ-Δ(أناωن){\displaystyle ({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})=i\omega _{n}+\mu -\Delta (i\omega _{n})}(1)

يتضمن حل نموذج شوائب أندرسون حساب متغيرات قابلة للرصد مثل دالة غرين التفاعليةجي(أناωن){\displaystyle G(i\omega _{n})}لدالة تهجين معينةΔ(أناωن){\displaystyle \Delta (i\omega _{n})}ويو،μ{\displaystyle U,\mu }إنها مشكلة صعبة ولكنها ليست مستعصية. توجد عدة طرق لحل مشكلة الهدف المتقدم، مثل:

معادلات الاتساق الذاتي

يتطلب شرط الاتساق الذاتي دالة غرين للشوائبجيأنامص(τ){\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(\tau )}ليتوافق مع دالة غرين للشبكة المحليةجيأناأنا(τ)=-⟨تيجأنا(τ)جأنا†(0)⟩{\displaystyle G_{ii}(\tau )=-\langle Tc_{i}(\tau )c_{i}^{\dagger }(0)\rangle }:

جيأنامص(أناωن)=جيأناأنا(أناωن)=∑ك1أناωن+μ-ϵ(ك)-Σ(ك،أناωن)=جيلoج(أناωن){\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=G_{ii}(i\omega _{n})=\sum _{k}{\frac {1}{i\omega _{n}+\mu -\epsilon (k)-\Sigma (k,i\omega _{n})}}=G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}

أينΣ(ك،أناωن){\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}يشير إلى طاقة الشبكة الذاتية.

تقريب نظرية المجال الديناميكي المتوسط: موضعية طاقة الشبكة الذاتية

تتمثل التقريبات الوحيدة لنظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​(بصرف النظر عن التقريب الذي يمكن إجراؤه لحل نموذج أندرسون) في إهمال التقلبات المكانية للطاقة الذاتية للشبكة ، عن طريق مساواتها بالطاقة الذاتية للشوائب:

Σ(ك،أناωن)≈Σأنامص(أناωن){\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{imp}(i\omega _{n})}

يصبح هذا التقريب دقيقًا في حالة الشبكات ذات التنسيق اللانهائي، أي عندما يكون عدد الجيران لكل موقع لانهائيًا. في الواقع، يمكن إثبات أنه في التوسع التخطيطي لطاقة الشبكة الذاتية، لا تبقى سوى المخططات المحلية عند الانتقال إلى حالة التنسيق اللانهائي.

وهكذا، كما هو الحال في نظريات المجال المتوسط ​​الكلاسيكية، يُفترض أن تصبح نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي (DMFT) أكثر دقة مع ازدياد الأبعاد (وبالتالي عدد الجيران). بعبارة أخرى، في الأبعاد المنخفضة، ستجعل التقلبات المكانية تقريب نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي أقل موثوقية.

تصبح التقلبات المكانية ذات أهمية أيضاً في جوار التحولات الطورية . هنا، ينتج عن نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي (DMFT) ونظريات المجال المتوسط ​​الكلاسيكية أسس حرجة للمجال المتوسط ، ولا تنعكس التغيرات الملحوظة قبل التحول الطوري في طاقة DMFT الذاتية.

حلقة DMFT

لإيجاد دالة غرين للشبكة المحلية، يجب تحديد دالة التهجين بحيث تتطابق دالة غرين للشوائب المقابلة مع دالة غرين للشبكة المحلية المطلوبة. وأكثر الطرق شيوعًا لحل هذه المشكلة هي استخدام طريقة الاستدعاء الذاتي الأمامي، أي، بالنسبة لـيو{\displaystyle U}،μ{\displaystyle \mu }ودرجة الحرارةتي{\displaystyle T}:

  1. ابدأ بتخمين لـΣ(ك،أناωن){\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}(عادة،Σ(ك،أناωن)=0{\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})=0})
  2. قم بعمل تقريب DMFT: Σ(ك،أناωن)≈Σأنامص(أناωن){\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}
  3. احسب دالة غرين المحليةجيلoج(أناωن){\displaystyle G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}
  4. احسب المجال المتوسط ​​الديناميكيΔ(أناω)=أناωن+μ-جيلoج-1(أناωن)-Σأنامص(أناωن){\displaystyle \Delta (i\omega )=i\omega _{n}+\mu -G_{\mathrm {loc} }^{-1}(i\omega _{n})-\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}
  5. حل مسألة الهدف لدالة غرين لشوائب جديدةجيأنامص(أناωن){\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}، استخلاص طاقتها الذاتية:Σأنامص(أناωن)=(جي0)-1(أناωن)-(جيأنامص)-1(أناωن){\displaystyle \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})-(G_{\mathrm {imp} })^{-1}(i\omega _{n})}
  6. ارجع إلى الخطوة 2 حتى الوصول إلى التقارب، أي عندماجيأنامصن=جيأنامصن+1{\displaystyle G_{\mathrm {imp} }^{n}=G_{\mathrm {imp} }^{n+1}}.

التطبيقات

يمكن استخدام دالة غرين للشبكة المحلية وغيرها من الكميات القابلة للرصد للشوائب لحساب عدد من الكميات الفيزيائية كدالة للارتباطات.يو{\displaystyle U}عرض النطاق الترددي، التعبئة ( الجهد الكيميائي)μ{\displaystyle \mu }) ودرجة الحرارةتي{\displaystyle T}:

وعلى وجه الخصوص، انخفاض نسبة الإشغال المزدوج كـيو{\displaystyle U}الزيادة هي سمة مميزة لانتقال موت.

الإضافات

يحتوي DMFT على العديد من الامتدادات، حيث يوسع الشكلية المذكورة أعلاه لتشمل مشاكل المدارات المتعددة والمواقع المتعددة والارتباطات بعيدة المدى وعدم التوازن.

امتداد متعدد المدارات

يمكن توسيع نطاق نظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​(DMFT) لتشمل نماذج هوبارد ذات المدارات المتعددة، وتحديدًا مع تفاعلات الإلكترون-الإلكترون من الشكل التالي:يوαβنαنβ{\displaystyle U_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }}أينα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }تشير إلى مدارات مختلفة. يسمح الجمع مع نظرية الكثافة الوظيفية (DFT+DMFT) [ 4 ] [ 8 ] بإجراء حساب واقعي للمواد المترابطة. [ 9 ]

مؤشر DMFT الموسع

ينتج عن نظرية DMFT الموسعة طاقة ذاتية للشوائب المحلية للتفاعلات غير المحلية، وبالتالي تسمح لنا بتطبيق DMFT على نماذج أكثر عمومية مثل نموذج tJ .

مجموعة DMFT

لتحسين تقريب نظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​(DMFT)، يمكن تطبيق نموذج هوبارد على مسألة شوائب متعددة المواقع (تجمعات)، مما يسمح بإضافة بعض التبعية المكانية لطاقة الشوائب الذاتية. تحتوي التجمعات على 4 إلى 8 مواقع عند درجات الحرارة المنخفضة، وتصل إلى 100 موقع عند درجات الحرارة المرتفعة.

يُعدّ تقريب التجمع الديناميكي للوسط النموذجي (TMDCA) منهجًا غير اضطرابي للحصول على الحالة الإلكترونية الأرضية لأنظمة متعددة الأجسام ذات ارتباط قوي، وهو مبني على تقريب التجمع الديناميكي (DCA). [ 10 ]

امتدادات تخطيطية

يمكن الحصول على التبعيات المكانية للطاقة الذاتية خارج نطاق نظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​(DMFT)، بما في ذلك الارتباطات بعيدة المدى في جوار الانتقال الطوري ، من خلال امتدادات تخطيطية لنظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​[ 11 ] باستخدام مزيج من التقنيات التحليلية والرقمية. وتُعد نقطة البداية لتقريب الرأس الديناميكي [ 12 ] ومنهج الفرميون المزدوج هي رأس الجسيمين المحلي .

عدم التوازن

استُخدمت نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي (DMFT) لدراسة النقل غير المتوازن والإثارات الضوئية. [ 13 ] ولا يزال حساب دالة غرين لنموذج AIM خارج حالة التوازن بدقة يُمثل تحديًا كبيرًا. كما طُبقت نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي على النماذج البيئية لوصف ديناميكيات المجال المتوسط ​​لمجتمع ذي عدد ديناميكي حراري من الأنواع. [ 14 ]

المراجع والملاحظات

  1. ↑ أ. جورج؛ ج. كوتليار؛ و. كراوث؛ م. روزنبرغ (1996). "نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي لأنظمة الفرميونات المترابطة بقوة وحدود الأبعاد اللانهائية". مراجعات الفيزياء الحديثة . 68 (1): 13. Bibcode : 1996RvMP...68...13G . doi : 10.1103/RevModPhys.68.13 .
  2. ↑ أ. جورج وج. كوتليار (1992). "نموذج هوبارد في الأبعاد اللانهائية". مجلة Physical Review B. 45 ( 12): 6479–6483 . Bibcode : 1992PhRvB..45.6479G . doi : 10.1103/PhysRevB.45.6479 . PMID 10000408 . 
  3. ↑ دبليو. ميتزنر؛ دي. فولاردت (1989). "فيرميونات الشبكة المترابطة في أبعاد d = ∞" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 62 (3): 324-327 . Bibcode : 1989PhRvL..62..324M . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.324 . PMID 10040203 . 
  4. 1 2 ج. كوتليار؛ س. ي. سافراسوف؛ ك. هاولي؛ ف. س. أودوفينكو؛ أ. باركوليت؛ س. أ. ماريانيتي (2006). "حسابات البنية الإلكترونية باستخدام نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي". مراجعات الفيزياء الحديثة . 78 (3): 865. arXiv : cond-mat/0511085 . Bibcode : 2006RvMP...78..865K . doi : 10.1103/RevModPhys.78.865 . S2CID 119099745 . 
  5. ^ د. فولهاردت (2012). "نظرية المجال الديناميكي المتوسط ​​للإلكترونات المترابطة" . أنالين دير فيزيك . 524 (1): 1– 19. بيب كود : 2012AnP...524....1V . دوى : 10.1002/andp.201100250 .
  6. ↑ أنطوان جورج (2004). "مواد الإلكترونات المترابطة بقوة: نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي والبنية الإلكترونية". وقائع مؤتمر معهد الفيزياء الأمريكي . محاضرات في فيزياء أنظمة الإلكترونات المترابطة بشدة، المجلد الثامن، العدد 715. معهد الفيزياء الأمريكي. الصفحات 3-74. arXiv : cond - mat/0403123 . doi : 10.1063/1.1800733 .  
  7. ↑ جون هوبارد (1963). "ارتباطات الإلكترون في نطاقات طاقة ضيقة". وقائع الجمعية الملكية أ . 276 (1365): 238-257 . Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . S2CID 35439962 . 
  8. ↑ ك. هيلد (2007). "حسابات البنية الإلكترونية باستخدام نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي". مجلة الفيزياء المتقدمة 56 (6): 829-926 . arXiv : cond-mat/0511293 . Bibcode : 2007AdPhy..56..829H . doi : 10.1080/00018730701619647 . S2CID 15466043 . 
  9. ↑ "نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي المضمنة، حزمة هيكل إلكتروني تنفذ DFT+DMFT" .
  10. ↑ إيكوما، سي إي؛ تيرليتسكا، إتش؛ تام، كيه-إم؛ مينغ، زد-واي؛ مورينو، جيه؛ جاريل، إم. (2014). "تقريب التجمع الديناميكي للوسط النموذجي لدراسة توطين أندرسون في ثلاثة أبعاد" . مجلة Physical Review B. 89 ( 8): 081107(R). arXiv : 1402.4190 . Bibcode : 2014PhRvB..89h1107E . doi : 10.1103/PhysRevB.89.081107 .
  11. ↑ ج. روهرينجر؛ هـ. هافرمان؛ أ. توشي؛ أ. كاتانين؛ أ. إ. أنتيبوف؛ م. إ. كاتسنيلسون؛ أ. إ. ليختنشتاين؛ أ. ن. روبتسوف؛ ك. هيلد (2018). "مسارات تخطيطية للارتباطات غير المحلية تتجاوز نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي". مراجعات الفيزياء الحديثة . 90 (4) 025003. arXiv : 1705.00024 . Bibcode : 2018RvMP...90b5003R . doi : 10.1103/RevModPhys.90.025003 . S2CID 119186041 . 
  12. ↑ أ. توشي؛ أ. كاتانين؛ ك. هيلد (2007). "تقريب الرؤوس الديناميكي: خطوة تتجاوز نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي". مجلة Physical Review B. 75 ( 4) 045118. arXiv : cond-mat/0603100 . Bibcode : 2007PhRvB..75d5118T . doi : 10.1103/PhysRevB.75.045118 . S2CID 119538856 . 
  13. ↑ آوكي، هيديو؛ تسوجي، ناوتو؛ إيكشتاين، مارتن؛ كولار، ماركوس؛ أوكا، تاكاشي؛ فيرنر، فيليب (24-06-2014). "نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي غير المتوازن وتطبيقاتها" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 86 (2): 779-837 . arXiv : 1310.5329 . Bibcode : 2014RvMP...86..779A . doi : 10.1103/RevModPhys.86.779 . ISSN 0034-6861 . S2CID 119213862 .  
  14. ↑ روي، ف؛ بيرولي، ج؛ بونين، ج؛ كاماروتا، س (29-11-2019). "التطبيق العددي لنظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي للأنظمة المضطربة: تطبيق على نموذج لوتكا-فولتيرا للنظم البيئية" . مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 52 (48): 484001. arXiv : 1901.10036 . Bibcode : 2019JPhA...52V4001R . doi : 10.1088/1751-8121/ab1f32 . ISSN 1751-8113 . 

انظر أيضاً