نموذج الإلكترون شبه الحر

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

في فيزياء المواد الصلبة ، يُعدّ نموذج الإلكترون شبه الحر (أو نموذج NFE ) نموذجًا ميكانيكيًا كميًا للخواص الفيزيائية للإلكترونات التي تتحرك بحرية شبه تامة عبر الشبكة البلورية للمادة الصلبة. ويرتبط هذا النموذج ارتباطًا وثيقًا بتقريب الشبكة الفارغة الأكثر تجريدًا . ويُمكّن هذا النموذج من فهم وحساب بنية نطاقات الطاقة الإلكترونية ، لا سيما في المعادن .

يمثل هذا النموذج تحسينًا فوريًا لنموذج الإلكترون الحر ، حيث تم اعتبار المعدن بمثابة غاز إلكتروني غير متفاعل وتم إهمال الأيونات تمامًا.

الصياغة الرياضية

علاقة التشتت لنموذج الإلكترون الحر شبه ثنائي الأبعاد كدالة للبنية البلورية الأساسية.

يُعدّ نموذج الإلكترون شبه الحر تعديلاً لنموذج غاز الإلكترون الحر، ويتضمن اضطراباً دورياً ضعيفاً يهدف إلى محاكاة التفاعل بين إلكترونات التوصيل والأيونات في مادة صلبة بلورية . هذا النموذج، كنموذج الإلكترون الحر، لا يأخذ في الحسبان تفاعلات الإلكترون-إلكترون؛ أي أن تقريب الإلكترون المستقل لا يزال سارياً.

كما هو موضح في نظرية بلوخ ، فإن إدخال جهد دوري في معادلة شرودنغر ينتج عنه دالة موجية على الشكل التالي:

ψك(ر)=uك(ر)هـأناك⋅ر{\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}

حيث الدالةuك{\displaystyle u_{\mathbf {k} }}له نفس الدورية مثل الشبكة :

uك(ر)=uك(ر+تي){\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {T} )}

(أينتي{\displaystyle T}(هو متجه إزاحة الشبكة.)

ولأنها تقريبية للإلكترون الحر تقريبًا، يمكننا أن نفترض أن

uك(ر)≈1Ωر{\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}} أينΩر{\displaystyle \Omega _{r}}يشير إلى حجم الحالات ذات نصف القطر الثابتر{\displaystyle r}(كما هو موضح في مفارقة جيبس ).

يمكن إدخال حل من هذا الشكل في معادلة شرودنغر، مما ينتج عنه المعادلة المركزية :

(λك-ε)جك+∑جييوجيجك-جي=0{\displaystyle (\lambda _{\mathbf {k} }-\varepsilon )C_{\mathbf {k} }+\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }C_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0}

أينε{\displaystyle \varepsilon }الطاقة الكلية، والطاقة الحركيةλك{\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }}يتميز بـ

λكψك(ر)=-ℏ22م∇2ψك(ر)=-ℏ22م∇2(uك(ر)هـأناك⋅ر){\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}(u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} })}

والتي، بعد القسمة علىψك(ر){\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}، يختزل إلى

λك=ℏ2ك22م{\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}

إذا افترضنا أنuك(ر){\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}ثابت تقريبًا و∇2uك(ر)≪ك2.{\displaystyle \nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ll k^{2}.}

المعاملات المتبادلةجك{\displaystyle C_{\mathbf {k} }}ويوجي{\displaystyle U_{\mathbf {G} }}هي معاملات فورييه للدالة الموجيةψ(ر){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}والطاقة الكامنة المحجوبةيو(ر){\displaystyle U(\mathbf {r} )}، على التوالى:

يو(ر)=∑جييوجيهـأناجي⋅ر{\displaystyle U(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}ψ(ر)=∑كجكهـأناك⋅ر{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }C_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}

المتجهاتجي{\displaystyle \mathbf {G} }تمثل متجهات الشبكة المقلوبة ، و هي القيم المنفصلة لـك{\displaystyle \mathbf {k} }يتم تحديدها من خلال الشروط الحدية للشبكة قيد الدراسة.

قبل إجراء تحليل الاضطراب، دعونا أولاً ننظر في الحالة الأساسية التي يُطبق عليها الاضطراب. هنا، الحالة الأساسية هييو(x)=0{\displaystyle U(x)=0}وبالتالي، فإن جميع معاملات فورييه للجهد تساوي صفرًا أيضًا. في هذه الحالة، تختزل المعادلة المركزية إلى الشكل التالي:

(λك-ε)جك=0{\displaystyle (\lambda _{\mathbf {k} }-\varepsilon )C_{\mathbf {k} }=0}

هذه الهوية تعني أنه بالنسبة لكلك{\displaystyle \mathbf {k} }، يجب أن يتحقق أحد الشرطين التاليين:

  1. جك=0{\displaystyle C_{\mathbf {k} }=0}،
  2. λك=ε{\displaystyle \lambda _{\mathbf {k} }=\varepsilon }

لوε{\displaystyle \varepsilon }إذا كان مستوى الطاقة غير متدهور ، فإن الحالة الثانية تحدث لقيمة واحدة فقط منك{\displaystyle \mathbf {k} }أما بالنسبة للباقينك{\displaystyle \mathbf {k} }معامل توسيع فورييهجك{\displaystyle C_{\mathbf {k} }}يساوي صفرًا. في هذه الحالة، يتم الحصول على نتيجة غاز الإلكترونات الحرة القياسي:

ψك∝هـأناك⋅ر{\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }\propto e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}

لوε{\displaystyle \varepsilon }إذا كان مستوى طاقة متدهورًا، فسيكون هناك مجموعة من متجهات الشبكةك1،...،كم{\displaystyle \mathbf {k} _{1},\dots ,\mathbf {k} _{m}}معλ1=⋯=λم=ε{\displaystyle \lambda _{1}=\dots =\lambda _{m}=\varepsilon }ثم سيكون هناكم{\displaystyle m}حلول الموجات المستوية المستقلة التي يكون أي تركيب خطي لها حلاً أيضاً:

ψ∝∑ج=1مأجهـأناكج⋅ر{\displaystyle \psi \propto \sum _{j=1}^{m}A_{j}e^{i\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {r} }}

والآن لنبدأيو{\displaystyle U}يجب أن تكون غير صفرية وصغيرة. يمكن تطبيق نظرية الاضطراب غير المنحلة والمنحلة، على التوالي، في هاتين الحالتين لحساب معاملات فورييه.جك{\displaystyle C_{\mathbf {k} }}دالة الموجة (صحيحة حتى الرتبة الأولى فييو{\displaystyle U}) وقيمة الطاقة الذاتيةε{\displaystyle \varepsilon }(صحيح حتى الدرجة الثانية فييو{\displaystyle U}ومن النتائج المهمة لهذا الاشتقاق أنه لا يوجد تحول من الدرجة الأولى في الطاقةε{\displaystyle \varepsilon }في حالة عدم وجود انحلال، بينما يوجد انحلال في حالة الانحلال (والانحلال شبه التام)، مما يعني أن الحالة الأخيرة أكثر أهمية في هذا التحليل. على وجه الخصوص، عند حدود منطقة بريلوين (أو، بشكل مكافئ، عند أي نقطة على مستوى براغ )، نجد انحلالًا ثنائيًا في الطاقة ينتج عنه تحول في الطاقة يُعطى بالعلاقة التالية:

ε=λك±|يوجي|.{\displaystyle \varepsilon =\lambda _{\mathbf {k} }\pm |U_{\mathbf {G} }|.}

تُعرف فجوة الطاقة هذه بين مناطق بريلوين باسم فجوة النطاق ، وقيمتها تساوي 10 ...2|يوجي|{\displaystyle 2|U_{\mathbf {G} }|}.

نتائج

إن إدخال هذا الاضطراب الضعيف له تأثيرات كبيرة على حل معادلة شرودنغر ، مما يؤدي بشكل ملحوظ إلى فجوة نطاق بين متجهات الموجة في مناطق بريلوين المختلفة .

المبررات

يفترض هذا النموذج إمكانية نمذجة التفاعل بين إلكترونات التوصيل ونوى الأيونات باستخدام جهد اضطراب "ضعيف". قد يبدو هذا تقريبًا مفرطًا، إذ يمكن أن يكون التجاذب الكولومبي بين هذين الجسيمين ذوي الشحنات المتعاكسة كبيرًا جدًا عند المسافات القصيرة. مع ذلك، يمكن تبرير هذا الافتراض جزئيًا بملاحظة خاصيتين مهمتين للنظام الكمومي:

  1. تكون القوة بين الأيونات والإلكترونات في أقصى حالاتها عند المسافات الصغيرة جدًا. ومع ذلك، لا يُسمح لإلكترونات التوصيل بالاقتراب من نوى الأيونات بسبب مبدأ استبعاد باولي : فالمدارات الأقرب إلى نواة الأيون مشغولة بالفعل بإلكترونات النواة. لذلك، لا تقترب إلكترونات التوصيل أبدًا من نوى الأيونات بالقدر الكافي لتشعر بكامل قوتها.
  2. علاوة على ذلك، تحجب إلكترونات النواة مقدار شحنة الأيون التي "تراها" إلكترونات التوصيل. والنتيجة هي شحنة نووية فعّالة تتعرض لها إلكترونات التوصيل، وهي أقل بكثير من الشحنة النووية الفعلية.

انظر أيضاً

مراجع