مبدأ إيكيلاند التبايني

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 98 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي ، مبدأ إيكيلاند التبايني ، الذي اكتشفه إيفار إيكيلاند ، [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] هو نظرية تؤكد وجود حلول شبه مثالية لبعض مسائل التحسين .

يمكن استخدام مبدأ إيكيلاند عندما لا تكون مجموعة المستوى الأدنى لمسألة التصغير متراصة ، بحيث لا يمكن تطبيق نظرية بولزانو-ويرستراس . يعتمد هذا المبدأ على اكتمال الفضاء المتري . [ 4 ]

لقد ثبت أن هذا المبدأ مكافئ لاكتمال الفضاءات المترية. [ 5 ] في نظرية البرهان ، هو مكافئ لـ Π 1 1 CA 0 على RCA 0 ، أي قوي نسبيًا.

كما يؤدي ذلك إلى برهان سريع لنظرية كارستي للنقطة الثابتة . [ 4 ] [ 6 ]

تاريخ

كان إيكيلاند مرتبطًا بجامعة باريس دوفين عندما اقترح هذه النظرية. [ 1 ]

مبدأ إيكيلاند التبايني

تعريفات أولية

وظيفةو:X→R∪{-∞،+∞}{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}القيم في الأعداد الحقيقية الموسعةR∪{-∞،+∞}=[-∞،+∞]{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ]}يقال إنهمحدود من الأسفل إذامعلوماتو(X)=معلوماتx∈Xو(x)>-∞{\displaystyle \inf _{}f(X)=\inf _{x\in X}f(x)>-\infty }ويسمىصحيح إذا كان يحتوي على قيمة غير فارغةالمجال الفعال ، وهو بحسب التعريف المجموعة دوم⁡و =تعريف {x∈X:و(x)≠+∞}،{\displaystyle \operatorname {dom} f~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:f(x)\neq +\infty \},} ولا يساوي ذلك أبداً-∞.{\displaystyle -\infty .}بمعنى آخر، تكون الخريطة صحيحة إذا كانت قيمتها فيR∪{+∞}{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}وليس بشكل متطابق+∞.{\displaystyle +\infty .} الخريطةو{\displaystyle f}تكون الدالة صحيحة ومحدودة من الأسفل إذا وفقط إذا-∞<معلوماتو(X)≠+∞،{\displaystyle -\infty <\inf _{}f(X)\neq +\infty ,}أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذامعلوماتو(X)∈R.{\displaystyle \inf _{}f(X)\in \mathbb {R} .}

وظيفةو:X→[-∞،+∞]{\displaystyle f:X\to [-\infty ,+\infty ]}تكون شبه متصلة من الأسفل عند قيمة معينةx0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}إذا كان لكل حقيقيy<و(x0){\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}يوجد حييو{\displaystyle U}لx0{\displaystyle x_{0}}بحيثو(u)>y{\displaystyle f(u)>y}للجميعu∈يو.{\displaystyle u\in U.} تُسمى الدالة شبه متصلة من الأسفل إذا كانت شبه متصلة من الأسفل عند كل نقطة من نقاطها.X،{\displaystyle X,}وهذا يحدث إذا وفقط إذا{x∈X: و(x)>y}{\displaystyle \{x\in X:~f(x)>y\}}مجموعة مفتوحة لكلy∈R،{\displaystyle y\in \mathbb {R} ,}أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كانت جميع مجموعات المستوى الأدنى{x∈X: و(x)≤y}{\displaystyle \{x\in X:~f(x)\leq y\}}مغلقة .​

بيان النظرية

مبدأ إيكلاند التبايني [ 7 ] —Let(X،د){\displaystyle (X,d)}ليكن فضاءً متريًا كاملاً وليكنو:X→R∪{+∞}{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}لتكن دالة شبه متصلة من الأسفل ومحدودة من الأسفل (لذامعلوماتو(X)∈R{\displaystyle \inf _{}f(X)\in \mathbb {R} }). يختارx0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}بحيثو(x0)∈R{\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} }(أو ما يعادل ذلك،و(x0)≠+∞{\displaystyle f(x_{0})\neq +\infty }) وإصلاح أي شيء حقيقيε>0.{\displaystyle \varepsilon >0.} يوجد بعضv∈X{\displaystyle v\in X}بحيث و(v) ≤ و(x0)-εد(x0،v){\displaystyle f(v)~\leq ~f\left(x_{0}\right)-\varepsilon \;d\left(x_{0},v\right)} ولكلx∈X{\displaystyle x\in X}بخلافv{\displaystyle v}(إنه،x≠v{\displaystyle x\neq v}) و(v) < و(x)+εد(v،x).{\displaystyle f(v)~<~f(x)+\varepsilon \;d(v,x).}

دليل

عرّف دالةجي:X×X→R∪{+∞}{\displaystyle G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}بواسطة جي(x،y) =تعريف و(x)+εد(x،y){\displaystyle G(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)+\varepsilon \;d(x,y)} وهي دالة شبه متصلة من الأسفل لأنها مجموع الدوال شبه المتصلة من الأسفلو{\displaystyle f}والدالة المستمرة(x،y)↦εد(x،y).{\displaystyle (x,y)\mapsto \varepsilon \;d(x,y).} منحz∈X،{\displaystyle z\in X,}لنرمز إلى الدوال التي يكون فيها أحد الإحداثيات ثابتًا عندz{\displaystyle z}بواسطة جيz =تعريف جي(z،⋅):X→R∪{+∞} و {\displaystyle G_{z}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~G(z,\cdot ):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}\;{\text{ and }}}جيz =تعريف جي(⋅،z):X→R∪{+∞}{\displaystyle G^{z}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~G(\cdot ,z):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} وحدد المجموعة F(z) =تعريف {y∈X:جيz(y)≤و(z)} = {y∈X:و(y)+εد(y،z)≤و(z)}،{\displaystyle F(z)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:G^{z}(y)\leq f(z)\right\}~=~\{y\in X:f(y)+\varepsilon \;d(y,z)\leq f(z)\},} وهو ليس فارغًا لأنz∈F(z).{\displaystyle z\in F(z).} عنصرv∈X{\displaystyle v\in X}يحقق هذا الشرط نتيجة هذه النظرية إذا وفقط إذاF(v)={v}.{\displaystyle F(v)=\{v\}.}يبقى العثور على مثل هذا العنصر.

يمكن التحقق من ذلك لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}

  1. F(x){\displaystyle F(x)}مغلق (لأنجيx=تعريفجي(⋅،x):X→R∪{+∞}{\displaystyle G^{x}\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,G(\cdot ,x):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}(شبه متصل من الأسفل)؛
  2. لوx∉دوم⁡و{\displaystyle x\notin \operatorname {dom} f}ثمF(x)=X؛{\displaystyle F(x)=X;}
  3. لوx∈دوم⁡و{\displaystyle x\in \operatorname {dom} f}ثمx∈F(x)⊆دوم⁡و؛{\displaystyle x\in F(x)\subseteq \operatorname {dom} f;}بخاصة،x0∈F(x0)⊆دوم⁡و؛{\displaystyle x_{0}\in F\left(x_{0}\right)\subseteq \operatorname {dom} f;}
  4. لوy∈F(x){\displaystyle y\in F(x)}ثمF(y)⊆F(x).{\displaystyle F(y)\subseteq F(x).}

يتركs0=معلوماتx∈F(x0)و(x)،{\displaystyle s_{0}=\inf _{x\in F\left(x_{0}\right)}f(x),}وهو عدد حقيقي لأنو{\displaystyle f}افترض أن يكون محدودًا من الأسفل. اخترx1∈F(x0){\displaystyle x_{1}\in F\left(x_{0}\right)}بحيثو(x1)<s0+2-1.{\displaystyle f\left(x_{1}\right)<s_{0}+2^{-1}.} بعد تحديدsن-1{\displaystyle s_{n-1}}وxن،{\displaystyle x_{n},}يترك sن =تعريف معلوماتx∈F(xن)و(x){\displaystyle s_{n}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf _{x\in F\left(x_{n}\right)}f(x)} واختار xن+1∈F(xن){\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)} بحيث و(xن+1)<sن+2-(ن+1).{\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.} لأين≥0،{\displaystyle n\geq 0,}xن+1∈F(xن){\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)}يضمن ذلكsن≤و(xن+1){\displaystyle s_{n}\leq f\left(x_{n+1}\right)}وF(xن+1)⊆F(xن)،{\displaystyle F\left(x_{n+1}\right)\subseteq F\left(x_{n}\right),}وهذا بدوره يعنيsن+1≥sن{\displaystyle s_{n+1}\geq s_{n}}وبالتالي أيضاً و(xن+2)≥sن+1≥sن.{\displaystyle f\left(x_{n+2}\right)\geq s_{n+1}\geq s_{n}.} لذلك إذان≥1{\displaystyle n\geq 1}ثمxن+1∈F(xن)=تعريف{y∈X:و(y)+εد(y،xن)≤و(xن)}{\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right){\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\left\{y\in X:f(y)+\varepsilon \;d\left(y,x_{n}\right)\leq f\left(x_{n}\right)\right\}}وو(xن+1)≥sن-1،{\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)\geq s_{n-1},}والتي تضمن εد(xن+1،xن) ≤ و(xن)-و(xن+1) ≤ و(xن)-sن-1 < 12ن.{\displaystyle \varepsilon \;d\left(x_{n+1},x_{n}\right)~\leq ~f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n+1}\right)~\leq ~f\left(x_{n}\right)-s_{n-1}~<~{\frac {1}{2^{n}}}.}

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبةن،ص≥1،{\displaystyle n,p\geq 1,}د(xن+ص،xن) ≤ 2ε-12ن،{\displaystyle d\left(x_{n+p},x_{n}\right)~\leq ~2\;{\frac {\varepsilon ^{-1}}{2^{n}}},} مما يثبت أنx∙:=(xن)ن=0∞{\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }}هي متتالية كوشي. لأنX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً متريًا كاملاً، فإنه يوجدv∈X{\displaystyle v\in X}بحيثx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتقارب إلىv.{\displaystyle v.} لأين≥0،{\displaystyle n\geq 0,}منذF(xن){\displaystyle F\left(x_{n}\right)}هي مجموعة مغلقة تحتوي على المتتاليةxن،xن+1،xن+2،...،{\displaystyle x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,}يجب أن يحتوي أيضًا على حد هذه المتتالية، وهوv؛{\displaystyle v;}هكذاv∈F(xن){\displaystyle v\in F\left(x_{n}\right)}وعلى وجه الخصوص،v∈F(x0).{\displaystyle v\in F\left(x_{0}\right).}

ستتحقق النظرية بمجرد إثبات أنF(v)={v}.{\displaystyle F(v)=\{v\}.} فلندعx∈F(v){\displaystyle x\in F(v)}ويبقى أن نثبتx=v.{\displaystyle x=v.} لأنx∈F(xن){\displaystyle x\in F\left(x_{n}\right)}للجميعن≥0،{\displaystyle n\geq 0,}ويترتب على ذلك ما سبق ذكره.εد(x،xن)≤2-ن،{\displaystyle \varepsilon \;d\left(x,x_{n}\right)\leq 2^{-n},}مما يعني أنx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتقارب إلىx.{\displaystyle x.} لأنx∙{\displaystyle x_{\bullet }}ويتقارب أيضًا إلىv{\displaystyle v}والحدود في الفضاءات المترية فريدة من نوعها،x=v.{\displaystyle x=v.}◼{\displaystyle \blacksquare }QED

على سبيل المثال، إذاو{\displaystyle f}و(X،د){\displaystyle (X,d)}كما هو موضح في نص النظرية، وإذاx0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}تُصادف أنها أدنى نقطة عالمية لـو،{\displaystyle f,}ثم المتجهv{\displaystyle v}من نتيجة النظرية هوv:=x0.{\displaystyle v:=x_{0}.}

النتائج المترتبة

النتيجة [ 8 ] — ليكن(X،د){\displaystyle (X,d)}ليكن فضاءً متريًا كاملاً ، وليكنو:X→R∪{+∞}{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}لتكن دالة شبه متصلة سفلية علىX{\displaystyle X}أي أنها محدودة من الأسفل وليست مساوية تمامًا لـ+∞.{\displaystyle +\infty .}يصلحε>0{\displaystyle \varepsilon >0}ونقطةx0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}بحيث و(x0) ≤ ε+معلوماتx∈Xو(x).{\displaystyle f\left(x_{0}\right)~\leq ~\varepsilon +\inf _{x\in X}f(x).} ثم، لكلλ>0،{\displaystyle \lambda >0,}توجد نقطةv∈X{\displaystyle v\in X}بحيث و(v) ≤ و(x0)،{\displaystyle f(v)~\leq ~f\left(x_{0}\right),}د(x0،v) ≤ λ،{\displaystyle d\left(x_{0},v\right)~\leq ~\lambda ,} ولجميعx≠v،{\displaystyle x\neq v,}و(x)+ελد(v،x) > و(v).{\displaystyle f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)~>~f(v).}

يمكن تصور المبدأ على النحو التالي: لأي نقطةx0{\displaystyle x_{0}}والتي تكاد تحقق الحد الأدنى، توجد نقطة أخرىv{\displaystyle v}وهو على الأقل بنفس جودةx0{\displaystyle x_{0}}إنه قريب منx0{\displaystyle x_{0}}والدالة المضطربة،و(x)+ελد(v،x){\displaystyle f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)}، له حد أدنى فريد عندv{\displaystyle v}الحل الوسط الجيد هو اتخاذλ:=ε{\displaystyle \lambda :={\sqrt {\varepsilon }}} في النتيجة السابقة. [ 8 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 إيكيلاند، إيفار (1974). "حول مبدأ التباين" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 47 (2): 324-353 . doi : 10.1016/0022-247X(74)90025-0 . ISSN 0022-247X . 
  2. ↑ إيكيلاند، إيفار (1979). "مسائل التصغير غير المحدبة" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 1 (3): 443-474 . doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14595-6 . MR 0526967 . 
  3. ↑ إيكيلاند، إيفار؛ تيمان، روجر (1999). التحليل المحدب ومسائل حساب التفاضل والتكامل . كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية. المجلد 28 (طبعة منقحة من طبعة نورث هولاند (1976) ). فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM). الصفحات 357-373 . ISBN      0-89871-450-8MR 1727362 .​ 
  4. 1 2 كيرك، ويليام أ.؛ غوبل، كازيميرز (1990). موضوعات في نظرية النقطة الثابتة المترية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-38289-0.
  5. ↑ سوليفان، فرانسيس (أكتوبر 1981). "وصف الفضاءات المترية الكاملة" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 83 (2): 345-346 . doi : 10.1090/S0002-9939-1981-0624927-9 . MR 0624927 . 
  6. ↑ أوك، إيفي (2007). "د: الاستمرارية 1". التحليل الحقيقي مع التطبيقات الاقتصادية (ملف PDF) . مطبعة جامعة برينستون. ص 664. ISBN  978-0-691-11768-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 يناير 2009 .
  7. ↑ زالينسكو 2002 ، ص 29.
  8. 1 2 زالينسكو 2002 ، ص. 30.

فهرس