المرافق المحدب

انظر إلى هذه المقالة كمثال.

لنفترض أن F تمثل دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي X. عندئذٍ ( بالتكامل بالتجزئة )،  $${\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,xX)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}$$ له المرافق المحدب $${\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}$$

هناك تفسير معين له التحول $${\displaystyle f^{\text{inc}}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{tf(u),0\}\,du,}$$ لأن هذا إعادة ترتيب غير متناقصة للدالة الأولية f ؛ على وجه الخصوص،${\displaystyle f^{\text{inc}}=f}$بالنسبة للدالة f غير المتناقصة.

أعلن أن${\displaystyle f\leq g}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$للجميع${\displaystyle x.}$إذن، فإن الاقتران المحدب يعكس الترتيب ، وهو ما يعني بحكم التعريف أنه إذا${\displaystyle f\leq g}$ثم${\displaystyle f^{*}\geq g^{*}.}$

لعائلة من الدوال${\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ويترتب على ذلك إمكانية تبديل القيم العليا.

${\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}),}$

ومن متباينة الحد الأقصى والحد الأدنى التي

${\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}).}$

المرافق المحدب للدالة يكون دائمًا شبه متصل من الأسفل . المرافق الثنائي${\displaystyle f^{**}}$(المرافق المحدب للمرافق المحدب) هو أيضًا الغلاف المحدب المغلق ، أي أكبر دالة محدبة شبه متصلة من الأسفل مع${\displaystyle f^{**}\leq f.}$ لضمان الأداء السليم${\displaystyle f,}$

${\displaystyle f=f^{**}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f}$محدبة وشبه متصلة من الأسفل، وفقًا لنظرية فينكل-مورو .

تُشير متباينة فينكل (أدناه) إلى${\displaystyle f^{**}\leq f}$وبشكل أدق،${\displaystyle f^{**}}$هي أكبر دالة محدبة شبه متصلة من الأسفل لا تتجاوز${\displaystyle f}$، والتي توصف غالبًا بأنها الغلاف المحدب المغلق لـ${\displaystyle f}$على وجه الخصوص، وبحسب نظرية فينكل-مورو ، فإن الدالة المناسبة تساوي مرافقها الثنائي إذا وفقط إذا كانت محدبة وشبه متصلة من الأسفل. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

لأي دالة f ومرافقتها المحدبة f * ، فإن متباينة فينكل (المعروفة أيضًا باسم متباينة فينكل-يونغ ) تتحقق لكل${\displaystyle x\in X}$ و${\displaystyle p\in X^{*}}$:

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p).}$

علاوة على ذلك، لا تتحقق المساواة إلا عندما${\displaystyle p\in \partial f(x)}$، أين${\displaystyle \partial f(x)}$هو التدرج الفرعي . ويتبع البرهان من تعريف المرافق المحدب:${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde {x}}\left\{\langle p,{\tilde {x}}\rangle -f({\tilde {x}})\right\}\geq \langle p,x\rangle -f(x).}$

لوظيفتين${\displaystyle f_{0}}$و${\displaystyle f_{1}}$وعدد${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$علاقة التحدب

${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{*}\leq (1-\lambda )f_{0}^{*}+\lambda f_{1}^{*}}$

يحمل. الـ${\displaystyle {*}}$العملية بحد ذاتها عبارة عن دالة محدبة.

الالتفاف الأدنى (أو المجموع الأعلى) لدالتين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \left(f\operatorname {\Box } g\right)(x)=\inf \left\{f(xy)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

العملية${\displaystyle \operatorname {\Box } }$متناظر (تبديلي) وتجميعي، أي

${\displaystyle f\Box g=g\Box f,\qquad (f\Box g)\Box h=f\Box (g\Box h).}$

يترك${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$لتكن دوالًا مناسبة ومحدبة وشبه متصلة من الأسفل على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$عندئذٍ يكون الالتفاف الأدنى محدبًا وشبه متصل من الأسفل (ولكن ليس بالضرورة أن يكون صحيحًا)، ^{[ 4 ]} ويحقق

${\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*},}$

أو، على نحو مماثل،

${\displaystyle \left(f_{1}+\cdots +f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}^{*},}$

والذي يعبر عن سلوك الاقتران المحدب فيما يتعلق بمجموع الدوال.

للالتفاف الأدنى لدالتين تفسير هندسي: الرسم البياني (الدقيق) للالتفاف الأدنى لدالتين هو مجموع مينكوفسكي للرسوم البيانية (الدقيقة) لتلك الدوال. ^{[ 5 ]}

إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل، فإن مشتقتها هي الوسيط الذي يحقق القيمة القصوى في حساب المرافق المحدب:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{*}}{\langle x,x^{*}\rangle }-f^{*}\left(x^{*}\right)}$و

${\displaystyle f^{{*}\prime }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\rangle }-f(x);}$

لذلك

${\displaystyle x=\nabla f^{*}\left(\nabla f(x)\right),}$

${\displaystyle x^{*}=\nabla f\left(\nabla f^{*}\left(x^{*}\right)\right),}$

وعلاوة على ذلك

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}(x)\right)=1,}$

${\displaystyle f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}\right)\cdot f^{\prime \prime }\left(x(x^{*})\right)=1.}$

إذا كان ذلك لبعض${\displaystyle \gamma >0,}$${\displaystyle g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f\left(\lambda x+\delta \right)}$، ثم

${\displaystyle g^{*}\left(x^{*}\right)=-\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}$

يترك${\displaystyle A:X\to Y}$ليكن مؤثرًا خطيًا محدودًا . لأي دالة محدبة${\displaystyle f}$على${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \left(Af\right)^{*}=f^{*}A^{*}}$

أين

${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}}$

هي الصورة الأصلية لـ${\displaystyle f}$بالنسبة إلى${\displaystyle A}$و${\displaystyle A^{*}}$هو العامل المرافق لـ${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}

دالة محدبة مغلقة${\displaystyle f}$متناظر بالنسبة لمجموعة معينة${\displaystyle G}$من التحويلات الخطية المتعامدة ،

${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$للجميع${\displaystyle x}$وكل شيء${\displaystyle A\in G}$

إذا وفقط إذا كان مرافقها المحدب${\displaystyle f^{*}}$متناظر بالنسبة إلى${\displaystyle G.}$