متتالية أويلر

في الرياضيات ، تُعدّ متتالية أويلر متتالية تامة خاصة من الحزم على فضاء إسقاطي ذي n بُعد فوق حلقة . وهي تُظهر أن حزمة التفاضلات النسبية متماثلة استقرارًا مع${\displaystyle (n+1)}$مجموع - ضعف ثنائي حزمة سير الملتوية .

يمكن تعميم متتالية أويلر لتشمل حزمة إسقاطية وكذلك حزمة غراسمان (انظر المقالة الأخيرة لهذا التعميم).

يترك${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$ليكن الفضاء الإسقاطي ذو البعد n فوق حلقة تبديلية A.${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}}$لتكن حزمة التفاضلات من الدرجة الأولى على هذا الفضاء، وهكذا. متتالية أويلر هي المتتالية التامة التالية من الحزم على${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$:

$${\displaystyle 0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.}$$

يمكن إنشاء المتتالية بتعريف تشاكل${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}}$مع${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$و${\displaystyle e_{i}=1}$في الدرجة 1، شامل في الدرجات${\displaystyle \geq 1}$والتحقق من ذلك محليًا على${\displaystyle n+1}$في المخططات القياسية، تكون النواة متماثلة مع وحدة التفاضل النسبية. ^{[ 1 ]}

نفترض أن A هو حقل k .

التسلسل المذكور أعلاه هو نظير للتسلسل

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0}$،

أين${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هي حزمة المماس لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$.

دعونا نشرح النسخة الخالية من الإحداثيات لهذه المتتالية، على${\displaystyle \mathbb {P} V}$لـ${\displaystyle (n+1)}$فضاء متجهي ذو أبعاد k على k :

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.}$

يمكن فهم هذه المتتالية بسهولة أكبر من خلال تفسير أجزاء من الحد المركزي على أنها حقول متجهة متجانسة من الدرجة 1 على V. أحد هذه الأجزاء، وهو حقل متجه أويلر ، يرتبط بكل نقطة${\displaystyle v}$من الصنف${\displaystyle V}$متجه المماس${\displaystyle v}$. هذا الحقل المتجهي شعاعي بمعنى أنه يتلاشى بشكل منتظم على الدوال المتجانسة 0، أي الدوال الثابتة عن طريق إعادة التحجيم المتجانس، أو " مستقلة عن الإحداثي الشعاعي ".

دالة (معرفة على مجموعة مفتوحة ما ) على${\displaystyle \mathbb {P} V}$ينتج عن السحب العكسي دالة متجانسة من الدرجة الصفرية على V (معرفة جزئيًا أيضًا). نحصل على حقول متجهة متجانسة من الدرجة الواحدة بضرب حقل متجه أويلر بهذه الدوال. هذا هو تعريف التطبيق الأول، وحقنيته واضحة.

الخريطة الثانية مرتبطة بمفهوم الاشتقاق، وهو مكافئ لمفهوم حقل المتجهات. تذكر أن حقل المتجهات على مجموعة مفتوحة U من الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} V}$يمكن تعريفها على أنها اشتقاق للدوال المعرفة على هذه المجموعة المفتوحة. عند سحبها للخلف في V ، يكون هذا مكافئًا لاشتقاق على الصورة العكسية لـ U يحافظ على الدوال المتجانسة عند الصفر. أي حقل متجه على${\displaystyle \mathbb {P} V}$ويمكن الحصول على ذلك، ويتكون عيب حقنية هذا التحويل تحديدًا من حقول المتجهات الشعاعية.

لذلك فإن نواة التشكل الثاني تساوي صورة التشكل الأول.

بأخذ أعلى قوة خارجية ، يتبين أن الحزمة الأساسية للفضاء الإسقاطي تُعطى بواسطة$${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1)).}$$على وجه الخصوص، تعتبر الفضاءات الإسقاطية من أصناف فانو ، لأن الحزمة القانونية مضادة للكمال وهذه الحزمة الخطية ليس لها مقاطع عالمية غير صفرية، لذا فإن الجنس الهندسي هو 0. ويمكن إيجاد ذلك من خلال النظر إلى متتالية أويلر وإدخالها في صيغة المحدد ^{[ 2 ].}$${\displaystyle \det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\mathcal {E}}'')}$$لأي متتالية قصيرة تامة من الشكل${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0}$.

يمكن استخدام متتالية أويلر لحساب فئات تشيرن للفضاء الإسقاطي. تذكر أنه بالنظر إلى متتالية تامة قصيرة من الحزم المتماسكة، $${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$$ يمكننا حساب فئة تشيرن الكلية لـ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$باستخدام الصيغة${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')}$[ ^{3 ] على} سبيل المثال، في${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$نجد ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle [H]}$يمثل فئة المستوى الفائق في حلقة تشاو${\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})}$باستخدام التسلسل الدقيق ^{[ 5 ]}$${\displaystyle 0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,}$$ يمكننا مرة أخرى استخدام صيغة فئة تشيرن الإجمالية لإيجاد $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}}$$ بما أننا نحتاج إلى عكس متعددة الحدود في المقام، فإن هذا يعادل إيجاد متسلسلة قوى${\displaystyle a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots }$بحيث${\displaystyle a([H])c(\Omega ^{1})=1}$.

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• روبي، إيلينا (2014)، الهندسة الجبرية، قاموس موجز ، برلين/بوسطن: والتر دي جرويتر ، رقم ISBN 978-3-11-031622-3