حزمة تكرارية

في الرياضيات ، الحزمة التكرارية هي حزمة متجهة تظهر على غراسمانيان بطريقة تكرارية طبيعية: بالنسبة لغراسمانيان من${\displaystyle k}$- الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد${\displaystyle V}$، بالنظر إلى نقطة في فضاء غراسمان تتوافق مع a${\displaystyle k}$فضاء متجهي ذو أبعاد${\displaystyle W\subseteq V}$الألياف فوق${\displaystyle W}$الفضاء الفرعي${\displaystyle W}$في حالة الفضاء الإسقاطي ، تُعرف الحزمة التكرارية باسم حزمة الخط التكرارية.

تُسمى الحزمة التكرارية أيضًا بالحزمة الشاملة، لأن أي حزمة متجهة (فوق فضاء متراص ^{[ 1 ]} ) هي سحب عكسي للحزمة التكرارية؛ أي أن فضاء غراسمان هو فضاء تصنيفي للحزم المتجهة. ولهذا السبب، تُعد الحزمة التكرارية مهمة في دراسة الفئات المميزة .

تُبنى الحزم التكرارية في كل من الطوبولوجيا الجبرية والهندسة الجبرية. في الهندسة الجبرية، تكون حزمة الخط التكرارية ( كحزمة قابلة للعكس )

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

ثنائية حزمة المستوى الفائق أو حزمة سير الملتوية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$حزمة المستوى الفائق هي حزمة الخط المقابلة للمستوى الفائق ( القاسم ) .${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$إن حزمة الخط التكرارية وحزمة المستوى الفائق هما بالضبط مولدان لمجموعة بيكارد للفضاء الإسقاطي. ^{[ 2 ]}

في نظرية "K" لمايكل عطية ، تُسمى حزمة الخط التكرارية فوق فضاء إسقاطي معقد بحزمة الخط القياسية . وتُسمى حزمة الكرة للحزمة القياسية عادةً بحزمة هوبف . (انظر مولد بوت ).

وبشكل عام، توجد أيضًا حزم تكرارية على حزمة إسقاطية لحزمة متجهة، بالإضافة إلى حزمة غراسمان .

لقد سقط مصطلح الحزمة الكنسية القديم من شعبيته، على أساس أن مصطلح الكنسية هو بالفعل مصطلح محمل بشكل كبير، سواء في المصطلحات الرياضية أو في الخلط مع الفئة الكنسية في الهندسة الجبرية .

تُعرَّف فضاءات غراسمان بأنها فضاءات المعاملات للفضاءات الجزئية الخطية ، ذات بُعد مُحدد، في فضاء متجهي مُحدد.${\displaystyle W}$. لو${\displaystyle G}$هو من سكان غراسمان، و${\displaystyle V_{g}}$هو الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle W}$بما يتوافق مع${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$هذه هي البيانات المطلوبة تقريبًا لحزمة متجهة: أي فضاء متجه لكل نقطة${\displaystyle g}$، متغيرة باستمرار. كل ما يمكن أن يمنع تعريف الحزمة التكرارية من هذا المؤشر هو الصعوبة التي...${\displaystyle V_{g}}$ستتقاطع. إصلاح هذا هو تطبيق روتيني لجهاز الاتحاد المنفصل ، بحيث يكون إسقاط الحزمة من فضاء كلي مكون من نسخ متطابقة من${\displaystyle V_{g}}$، والتي لا تتقاطع الآن. وبهذا، نحصل على الحزمة.

تم تضمين حالة الفضاء الإسقاطي. اصطلاحاً${\displaystyle P(V)}$قد يكون من المفيد حمل الحزمة التكرارية بمعنى الفضاء المزدوج . أي، مع${\displaystyle V^{*}}$الفضاء المزدوج، نقاط${\displaystyle P(V)}$تحمل الفضاءات المتجهة الفرعية لـ${\displaystyle V^{*}}$التي هي نواة هذه الدوال، عند اعتبارها (أشعة من) الدوال الخطية على${\displaystyle V^{*}}$. لو${\displaystyle V}$له أبعاد${\displaystyle n+1}$، حزمة الخط التكرارية هي حزمة تكرارية واحدة، والأخرى، التي تم وصفها للتو، هي من الرتبة${\displaystyle n}$.

يترك${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ليكن غراسمانيان للفضاءات المتجهة ذات البعد n في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$كمجموعة، هي مجموعة جميع الفضاءات المتجهة ذات البعد n من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$على سبيل المثال، إذا كان n = 1، فإنه الفضاء الإسقاطي الحقيقي k .

نُعرّف الحزمة التكرارية γ _{n , k} على${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$كما يلي. الفضاء الكلي للحزمة هو مجموعة جميع الأزواج ( V , v ) التي تتكون من نقطة V من فضاء غراسمان ومتجه v في V ؛ وهو معطى بطوبولوجيا الفضاء الجزئي للجداء الديكارتي${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$تُعطى خريطة الإسقاط π بالعلاقة π( V , v ) = V. إذا كانت F هي الصورة العكسية لـ V تحت π، فإنها تُعطى بنية فضاء متجهي بالعلاقة a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). أخيرًا، لإثبات التفاهة المحلية، إذا كانت لدينا نقطة X في فضاء غراسمان، ولتكن U مجموعة جميع V التي يُسقط الإسقاط المتعامد p على X، فإن V تُسقط V بشكل متماثل على X ، ^{[ 3 ]} ثم نُعرّف

${\displaystyle {\begin{cases}\phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}

وهو تماثل واضح . وبالتالي، فإن النتيجة هي حزمة متجهات من الرتبة n .

يظل التعريف أعلاه منطقياً إذا استبدلنا${\displaystyle \mathbb {R} }$مع المجال المعقد${\displaystyle \mathbb {C} .}$

بحسب التعريف، فإن غراسمانيان اللانهائي${\displaystyle G_{n}}$هو الحد المباشر لـ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$مثل${\displaystyle k\to \infty .}$بأخذ النهاية المباشرة للحزم γ _{n , k} نحصل على الحزمة التكرارية γ _n من${\displaystyle G_{n}.}$إنها حزمة شاملة بمعنى: لكل فضاء متراص X ، يوجد تقابل طبيعي

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

حيث يشير القوس على اليسار إلى فئة التماثل، وعلى اليمين إلى مجموعة فئات التشاكل لحزم المتجهات الحقيقية من الرتبة n . ويُعطى التطبيق العكسي كما يلي: بما أن X مجموعة متراصة، فإن أي حزمة متجهات E هي حزمة فرعية من حزمة تافهة.${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$بالنسبة لبعض قيم k، فإن E تحدد خريطة

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

فريدة حتى التماثل.

ملاحظة : يمكن تعريف الحزمة التكرارية بأنها حزمة شاملة؛ لنفترض وجود تقابل طبيعي

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

لأي فضاء شبه متراص X. بما أن${\displaystyle G_{n}}$هي النهاية المباشرة للفضاءات المدمجة، وهي شبه مدمجة، وبالتالي توجد حزمة متجهة فريدة فوقها.${\displaystyle G_{n}}$وهذا يتوافق مع خريطة الهوية على${\displaystyle G_{n}.}$إنها تحديدًا الحزمة التكرارية، وبالتقييد، نحصل على الحزم التكرارية على الكل${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

تُعرَّف حزمة المستويات الفائقة H على فضاء إسقاطي حقيقي k- كما يلي. الفضاء الكلي لـ H هو مجموعة جميع الأزواج ( L , f ) التي تتكون من خط L يمر بنقطة الأصل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$و f دالة خطية على L. يتم إعطاء خريطة الإسقاط π بواسطة π( L , f ) = L (بحيث يكون الليف فوق L هو الفضاء المتجهي المزدوج لـ L ). الباقي يشبه تمامًا حزمة الخط التكرارية.

بمعنى آخر، H هي الحزمة المزدوجة لحزمة الخط التكرارية.

في الهندسة الجبرية، حزمة المستوى الفائق هي حزمة الخط ( كحزمة قابلة للعكس ) المقابلة لقاسم المستوى الفائق

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

لنفترض أن x₀ = ₀ ، حيث xᵢ _هي الإحداثيات المتجانسة . يمكن توضيح ذلك كما يلي: إذا كان D قاسمًا (ويل) على${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$يُعرّف المرء حزمة الخطوط المقابلة O ( D ) على X بواسطة

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

حيث K هو حقل الدوال الكسرية على X. وباعتبار D هو H ، نحصل على:

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

حيث يُنظر إلى x ₀ ، كالمعتاد، على أنه مقطع شامل للحزمة الملتوية O (1). (في الواقع، يُعد التشاكل المذكور أعلاه جزءًا من التناظر المعتاد بين قواسم ويل وقواسم كارتييه). أخيرًا، يتوافق ثنائي الحزمة الملتوية مع حزمة الخط التكرارية (انظر أدناه).

في الهندسة الجبرية، يوجد هذا المفهوم على أي حقل k . التعريف المحدد هو كما يلي. ليكن${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$و${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$لاحظ أن لدينا:

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

حيث Spec هي Spec النسبية . الآن، ضع:

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

حيث I هي الحزمة المثالية الناتجة عن المقاطع العالمية${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$إذن، L عبارة عن مخطط فرعي مغلق من${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$على نفس المخطط الأساسي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$علاوة على ذلك، فإن النقاط المغلقة لـ L هي بالضبط تلك النقاط ( x , y ) لـ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$بحيث يكون إما x يساوي صفرًا أو صورة x في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$هو y . وبالتالي، فإن L هي حزمة الخط التكرارية كما تم تعريفها من قبل إذا كان k هو حقل الأعداد الحقيقية أو المركبة.

بصورة أكثر إيجازًا، L هو تضخيم نقطة الأصل للفضاء الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$، حيث يكون الموضع x = 0 في L هو القاسم الاستثنائي . (انظر هارتشورن، الفصل الأول، نهاية القسم 4.)

على العموم،${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$هي حزمة المتجهات الجبرية المناظرة لحزمة حرة محلية E ذات رتبة منتهية. ^{[ 4 ]} بما أن لدينا المتتالية التامة :

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

تتوافق حزمة الخط التكرارية L ، كما هو مُعرَّف أعلاه، مع الثنائية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$من حزمة سير الملتوية . عمليًا، يتم استخدام كلا المفهومين (حزمة الخط التكرارية وثنائية الحزمة الملتوية) بشكل متبادل.

على حقل ما، تكون حزمة الخطوط الثنائية الخاصة به هي حزمة الخطوط المرتبطة بقاسم المستوى الفائق H ، والتي تكون مقاطعها العامة هي الأشكال الخطية . فئة تشيرن الخاصة به هي −H . هذا مثال على حزمة خطوط مضادة .${\displaystyle \mathbb {C} ,}$وهذا يعادل القول بأنها حزمة خطية سلبية، مما يعني أن ناقص فئة Chern الخاصة بها هو فئة de Rham للشكل القياسي Kähler .

• إن حزمة الخط التكرارية γ _{1, k} هي تافهة محليًا ولكنها ليست تافهة ، بالنسبة لـ k ≥ 1. ويبقى هذا صحيحًا على الحقول الأخرى.

في الواقع، من السهل إثبات أنه، عندما k = 1، فإن حزمة الخط الحقيقية ذات التكرار هي نفسها الحزمة المعروفة التي يمثل فضاءها الكلي شريط موبيوس . للاطلاع على برهان كامل لهذه الحقيقة، انظر ^{[ 5 ] .}

• مجموعة بيكارد من حزم الخطوط على${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$هي دورية لا نهائية ، وحزمة الخط التكرارية هي مولد.

• في حالة الفضاء الإسقاطي، حيث تكون الحزمة التكرارية حزمة خطية ، فإن الحزمة العكسية المرتبطة بها من المقاطع هي${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$، المعكوس الموتري ( أي حزمة المتجهات الثنائية) لحزمة المستوى الفائق أو حزمة التواء سير${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$بمعنى آخر، حزمة المستوى الفائق هي مولد مجموعة بيكارد ذات الدرجة الموجبة (كقاسم ) والحزمة التكرارية هي عكسها: مولد الدرجة السالبة.

• مجموعة هوبف
• فئة ستيفل-ويتني
• متتالية أويلر
• فئة تشيرن (فئات تشيرن للحزم التكرارية هي المولدات المستقلة جبريًا لحلقة التماثل لـ Grassmannian اللانهائي.)
• نظرية بوريل
• فضاء ثوم (يُطلق على فضاءات ثوم للحزم التكرارية γ _n عندما n →∞ اسم طيف ثوم .)
• حزمة غراسمان

• عطية، مايكل فرانسيس (1989)، نظرية كي ، سلسلة أدفانسد بوك كلاسيكس (  الطبعة الثانية)، أديسون ويسلي ، رقم ISBN 978-0-201-09394-0MR 1043170​ 
• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية (ملف PDF) ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، doi : 10.1002/9781118032527 ، ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ .
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، OCLC 13348052  .
• ميلنور، جون دبليو .؛ ستاشيف، جيمس دي. (1974). الفئات المميزة . دراسات حوليات الرياضيات. المجلد  76. مطبعة جامعة برينستون؛ مطبعة جامعة طوكيو. ISBN 978-0-691-08122-9MR 0440554 .​ 
• روبي، إيلينا (2014)، الهندسة الجبرية: قاموس موجز ، برلين/بوسطن: والتر دي جرويتر، رقم ISBN 978-3-11-031622-3