حزمة كانون

في الرياضيات ، الحزمة الأساسية لمجموعة جبرية غير شاذة${\displaystyle V}$من الأبعاد${\displaystyle n}$حزمة الخطوط فوق الحقل${\displaystyle \,\!\أوميغا ^{n}=\أوميغا }$، وهو${\displaystyle n}$القوة الخارجية لحزمة الظل التمام$أوميغا$على${\displaystyle V}$.

على الأعداد المركبة ، هي حزمة المحددات لحزمة الظل التمامية الهولومورفية${\displaystyle T^{*}V}$أو بعبارة أخرى، هي حزمة الخط لـ (هولومورفيك)${\displaystyle n}$- نماذج على${\displaystyle V}$هذا هو الكائن الثنائي لثنائية سير على${\displaystyle V}$ويمكن اعتبارها أيضاً حزمة قابلة للعكس .

الفئة الأساسية هي فئة القواسم لقاسم كارتييه${\displaystyle K}$على${\displaystyle V}$مما يؤدي إلى ظهور الحزمة الأساسية - وهي فئة تكافؤ للتكافؤ الخطي على${\displaystyle V}$ويمكن تسمية أي قاسم فيه بالقاسم القانوني . أما القاسم غير القانوني فهو أي قاسم −${\displaystyle K}$مع${\displaystyle K}$قانوني.

الحزمة المضادة للكانونية هي الحزمة العكسية المقابلة${\displaystyle \omega ^{-1}}$عندما تكون الحزمة المضادة للقانونية${\displaystyle V}$وافية ،​${\displaystyle V}$يُطلق عليه اسم صنف فانو .

لنفترض أن${\displaystyle X}$هو صنف ناعم وهذا${\displaystyle D}$هو قاسم سلس على${\displaystyle X}$تربط صيغة الإضافة الحزم الأساسية لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle D}$إنه تماثل طبيعي

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

من حيث التصنيفات الأساسية، فهو

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

تُعدّ هذه الصيغة من أقوى الصيغ في الهندسة الجبرية. ومن الأدوات المهمة في الهندسة الثنائية النسبية الحديثة عكس الاقتران ، الذي يسمح باستنتاج نتائج حول نقاط التفرد.${\displaystyle X}$من حالات التفرد لـ${\displaystyle D}$.

يترك${\displaystyle X}$أن يكون سطحًا عاديًا. جنس${\displaystyle g}$التليف${\displaystyle f:X\to B}$ل${\displaystyle X}$هو تشاكل مسطح صحيح${\displaystyle f}$إلى منحنى أملس بحيث${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}}$وجميع ألياف${\displaystyle f}$جنس حسابي${\displaystyle g}$. لو${\displaystyle X}$هو سطح إسقاط أملس وألياف${\displaystyle f}$لا تحتوي على منحنيات عقلانية للتقاطع الذاتي${\displaystyle -1}$عندئذٍ يُطلق على التليف اسم التليف الأدنى . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$إذا كان يقبل تليفًا من النوع 0 (الأدنى)، فإنه يكون${\displaystyle X}$يحكمها نظام ثنائي العقلانية، أي ثنائي العقلانية لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times B}$.

بالنسبة للتليف الأدنى من النوع 1 (يسمى أيضًا التليف الإهليلجي )${\displaystyle f:X\to B}$جميع ألياف ما عدا عدد محدود منها${\displaystyle f}$تكون الألياف متكاملة هندسيًا ، وجميع الألياف متصلة هندسيًا (بحسب نظرية زاريسكي للاتصال ). على وجه الخصوص، بالنسبة لليف${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}}$ل${\displaystyle f}$لدينا ذلك${\displaystyle F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0,}$أين${\displaystyle K_{X}}$هو قاسم أساسي لـ${\displaystyle X}$إذا${\displaystyle \operatorname {gcd} (a_{i})=1}$،${\displaystyle F}$متكامل هندسياً، وألياف متعددة فيما عدا ذلك.

لنفترض وجود تليف من النوع 1 الأدنى${\displaystyle f:X\to B}$. يترك${\displaystyle F_{1},\dots ,F_{r}}$لتكن الألياف المحدودة العدد التي ليست متكاملة هندسيًا، واكتب${\displaystyle F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}}$أين${\displaystyle m_{i}>1}$هو القاسم المشترك الأكبر لمعاملات مفكوك${\displaystyle F_{i}}$إلى مكونات متكاملة؛ وتسمى هذه الألياف المتعددة . من خلال علم التماثل وتغيير الأساس، يكون لدينا ذلك${\displaystyle R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}}$أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي حزمة قابلة للعكس و${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هي حزمة التواء (${\displaystyle {\mathcal {T}}}$مدعوم على${\displaystyle b\in B}$بحيث${\displaystyle h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1}$ثم، يكون لدى المرء ذلك

${\displaystyle \omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)}$

أين${\displaystyle 0\leq a_{i}<m_{i}}$لكل${\displaystyle i}$و${\displaystyle \operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})}$[ ^{1 ] يلاحظ} المرء أن

${\displaystyle \operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1}$.

على سبيل المثال، بالنسبة للتليف الأدنى من النوع 1 لسطح (شبه) ثنائي القطع الناقص الناتج عن تحويل ألبانيز ، تُشير صيغة الحزمة الأساسية إلى أن هذا التليف لا يحتوي على ألياف متعددة. ويمكن استخلاص نتيجة مماثلة لأي تليف أدنى من النوع 1 لسطح K3 . من ناحية أخرى، فإن التليف الأدنى من النوع 1 لسطح إنريكيس سيحتوي دائمًا على ألياف متعددة، وبالتالي، لن يحتوي هذا السطح على مقطع.

بنوع فريد${\displaystyle X}$توجد عدة طرق لتعريف القاسم الكنسي. إذا كان التنوع طبيعيًا، فإنه يكون أملسًا في البعد المشترك الأول. على وجه الخصوص، يمكننا تعريف القاسم الكنسي على الموضع الأملس. وهذا يعطينا فئة قواسم ويل فريدة على${\displaystyle X}$هذه هي الفئة، التي يُرمز إليها بـ${\displaystyle K_{X}}$يُشار إلى ذلك باسم القاسم الأساسي على${\displaystyle X.}$

أو بدلاً من ذلك، مرة أخرى على نوع عادي${\displaystyle X}$يمكن للمرء أن يفكر${\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})}$، ال${\displaystyle -d}$التماثل المتجانس للمركب الثنائي المعياري لـ${\displaystyle X}$تتوافق هذه الحزمة مع فئة قواسم ويل ، والتي تساوي فئة القواسم${\displaystyle K_{X}}$كما هو موضح أعلاه. في غياب فرضية التوزيع الطبيعي، تبقى النتيجة نفسها إذا${\displaystyle X}$هل S2 وغورنشتاين في البعد الأول؟

إذا كانت الفئة الأساسية فعّالة ، فإنها تُحدد تطبيقًا كسريًا من V إلى الفضاء الإسقاطي. يُسمى هذا التطبيق بالتطبيق الأساسي . التطبيق الكسري المُحدد بواسطة المضاعف النوني للفئة الأساسية هو التطبيق الأساسي من الرتبة n . يُرسل التطبيق الأساسي من الرتبة n المجموعة V إلى فضاء إسقاطي ذي بُعد أقل بواحد من بُعد المقاطع العامة للمضاعف النوني للفئة الأساسية. قد تحتوي التطبيقات الأساسية من الرتبة n على نقاط أساسية، مما يعني أنها غير مُعرّفة في كل مكان (أي أنها قد لا تكون تشاكلًا بين أصناف). قد تحتوي على ألياف ذات بُعد موجب، وحتى لو كانت أليافها ذات بُعد صفري، فليس بالضرورة أن تكون تشاكلات تحليلية محلية .

• الهندسة الثنائية
• الصيغة التفاضلية