المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل

في الإحصاء ، تُعرف المتتالية القابلة للتبادل من المتغيرات العشوائية (أو أحيانًا المتتالية التبادلية ) ^{[ 1 ]} بأنها متتالية X1 _، X2 _، X3 ، ... (قد تكون محدودة أو غير محدودة الطول) لا يتغير توزيعها الاحتمالي المشترك عند تغيير المواضع التي يظهر فيها عدد محدود منها في المتتالية. بعبارة أخرى، يكون التوزيع المشترك ثابتًا عند إجراء تبديل محدود. على سبيل المثال _، المتتاليات   

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6}\quad {\text{ و }}\quad X_{3},X_{6},X_{1},X_{5},X_{2},X_{4}}$

كلاهما لهما نفس التوزيع الاحتمالي المشترك.

يرتبط هذا الأمر ارتباطًا وثيقًا باستخدام المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع في النماذج الإحصائية. وتنشأ متواليات المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل في حالات أخذ العينات العشوائية البسيطة .

بصورة رسمية، فإن المتتالية القابلة للتبديل من المتغيرات العشوائية هي متتالية منتهية أو غير منتهية X1 _، X2 _، X3 _، ... من المتغيرات العشوائية بحيث يكون التوزيع الاحتمالي المشترك للمتتالية المُبدَّلة لأي تبديل منتهٍ σ للمؤشرات 1 ، 2 ، 3، ... (يؤثر التبديل على عدد منتهٍ فقط من المؤشرات، مع ثبات الباقي)   

${\displaystyle X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},X_{\sigma (3)},\dots }$

هو نفسه التوزيع الاحتمالي المشترك للتسلسل الأصلي. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يُقال إن تسلسل الأحداث E1 _، E2 _، E3 _، ... قابل للتبادل إذا وفقط إذا كان تسلسل دوال المؤشر الخاصة به قابلاً للتبادل. 

دالة التوزيع F _{( x₁ , …}  , _{xₙ )} لتسلسل محدود من المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل متناظرة في متغيراتها _{x₁, …, xₙ .} وقدّم أولاف كالينبيرغ تعريفًا مناسبًا للتبادلية في ^{العمليات العشوائية ذات} الزمن ^{المستمر .} _[ 3 ^] [ 4 _]  

طُرح هذا المفهوم لأول مرة من قِبل ويليام إرنست جونسون في كتابه الصادر عام 1924 بعنوان "المنطق، الجزء الثالث: الأسس المنطقية للعلم" . ^{[ 5 ]} ويُعادل مفهوم التبادلية مفهوم التحكم الإحصائي الذي طرحه والتر شيوهارت أيضاً في عام 1924. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ترتبط خاصية التبادلية ارتباطًا وثيقًا باستخدام المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع (iid) في النماذج الإحصائية. ^{[ 8 ]} تكون سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع، بشرط وجود شكل توزيعي أساسي، قابلة للتبادل. وينتج هذا مباشرةً من بنية التوزيع الاحتمالي المشترك الناتج عن شكل المتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع.

تُعتبر مخاليط المتتابعات القابلة للتبادل (وخاصةً متتابعات المتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع) قابلةً للتبادل. ويمكن إثبات العكس بالنسبة للمتتابعات اللانهائية، من خلال نظرية تمثيل مهمة وضعها برونو دي فينيتي (والتي وسّعها لاحقًا علماء احتمالات آخرون مثل هالموس وسافاج ) . [ 9 ] تُظهر الصيغ ^{الموسّعة للنظرية أنه} في أي متتابعة لانهائية من المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل، تكون المتغيرات العشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع شرطيًا، بالنظر إلى شكل التوزيع الأساسي. ترد هذه النظرية بإيجاز أدناه. ( أظهرت نظرية دي فينيتي الأصلية صحة ذلك فقط بالنسبة لمتغيرات المؤشر العشوائية، ولكن تم توسيعها لاحقًا لتشمل جميع متتابعات المتغيرات العشوائية). بعبارة أخرى، تُصنّف نظرية دي فينيتي المتتابعات القابلة للتبادل على أنها مخاليط من متتابعات مستقلة ومتطابقة التوزيع - في حين أن المتتابعة القابلة للتبادل لا يشترط أن تكون مستقلة ومتطابقة التوزيع بشكل مطلق، إلا أنه يمكن التعبير عنها كمزيج من متتابعات مستقلة ومتطابقة التوزيع أساسية. ^{[ 1 ]}  

هذا يعني أن المتتاليات اللانهائية من المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل يمكن اعتبارها مكافئة لمتتاليات من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع الشرطي، استنادًا إلى شكل توزيعي أساسي. (تجدر الإشارة إلى أن هذا التكافؤ لا ينطبق تمامًا على التبادلية المحدودة. مع ذلك، بالنسبة للمتجهات المحدودة من المتغيرات العشوائية، يوجد تقريب دقيق لنموذج المتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع). المتتالية اللانهائية القابلة للتبادل ثابتة تمامًا ، وبالتالي ينطبق عليها قانون الأعداد الكبيرة في صورة نظرية بيركوف-خينشين . ^{[ 4 ]} هذا يعني أنه يمكن إعطاء التوزيع الأساسي تفسيرًا عمليًا باعتباره التوزيع التجريبي النهائي لمتتالية القيم. العلاقة الوثيقة بين المتتاليات القابلة للتبادل من المتغيرات العشوائية وشكل المتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع تعني أنه يمكن تبرير الأخير على أساس التبادلية اللانهائية. هذا المفهوم محوري في تطوير برونو دي  فينيتي للاستدلال التنبؤي وللإحصاءات البايزية . كما يمكن إثبات أنه فرضية أساسية مفيدة في الإحصاءات التكرارية ، ويربط بين النموذجين. ^{[ 10 ]}

نظرية التمثيل: تستند هذه العبارة إلى العرض الوارد في كتاب أونيل (2009) في المراجع أدناه. بافتراض وجود سلسلة لانهائية من المتغيرات العشوائية${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$نُعرّف دالة التوزيع التجريبية الحدية${\displaystyle F_{\mathbf {X} }}$بواسطة

${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I(X_{i}\leq x).}$

(هذه هي نهاية سيزارو لدوال المؤشر. في الحالات التي لا توجد فيها نهاية سيزارو، يمكن تعريف هذه الدالة على أنها نهاية باناخ لدوال المؤشر، وهي امتداد لهذه النهاية. توجد هذه النهاية الأخيرة دائمًا لمجاميع دوال المؤشر، بحيث يكون التوزيع التجريبي دائمًا محددًا جيدًا.) هذا يعني أنه لأي متجه من المتغيرات العشوائية في المتتالية، لدينا دالة التوزيع المشترك المعطاة بـ

${\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\int \prod _{i=1}^{n}F_{\mathbf {X} }(x_{i})\,dP(F_{\mathbf {X} }).}$

إذا كانت دالة التوزيع${\displaystyle F_{\mathbf {X} }}$يتم فهرسة بواسطة معلمة أخرى${\displaystyle \theta }$ثم (مع تعريف الكثافات بشكل مناسب) لدينا

${\displaystyle p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\int \prod _{i=1}^{n}p_{X_{i}}(x_{i}\mid \theta )\,dP(\theta ).}$

تُظهر هذه المعادلات التوزيع المشترك أو الكثافة التي تتميز بتوزيع خليط يعتمد على التوزيع التجريبي المحدود الأساسي (أو معلمة تشير إلى هذا التوزيع).

لاحظ أن ليس كل المتتاليات القابلة للتبادل المحدودة هي خليط من توزيعات مستقلة ومتطابقة التوزيع. ولتوضيح ذلك، تخيل سحب عينة عشوائية من مجموعة محدودة دون إرجاع حتى لا يتبقى أي عنصر. المتتالية الناتجة قابلة للتبادل، ولكنها ليست خليطًا من توزيعات مستقلة ومتطابقة التوزيع. في الواقع، إذا تم تحديد العنصر المتبقي بناءً على جميع العناصر الأخرى في المتتالية، فسيكون العنصر المتبقي معروفًا.

تتمتع المتتابعات القابلة للتبادل ببعض خصائص التغاير والارتباط الأساسية، مما يعني أنها عمومًا مرتبطة ارتباطًا إيجابيًا. بالنسبة للمتتابعات اللانهائية من المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل، يكون التغاير بين المتغيرات العشوائية مساويًا لتباين متوسط ​​دالة التوزيع الأساسية. ^{[ 10 ]} أما بالنسبة للمتتابعات المحدودة القابلة للتبادل، فإن التغاير هو أيضًا قيمة ثابتة لا تعتمد على المتغيرات العشوائية المحددة في المتتابعة. يوجد حد أدنى أضعف من حد التبادلية اللانهائية، ومن الممكن وجود ارتباط سلبي.

التغاير للمتتاليات القابلة للتبادل (اللانهائية): إذا كانت المتتالية${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$إذا كان قابلاً للتبادل، فـ

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\operatorname {var} (\operatorname {E} (X_{i}\mid F_{\mathbf {X} }))=\operatorname {var} (\operatorname {E} (X_{i}\mid \theta ))\geq 0\quad {\text{for }}i\neq j.}$

التغاير للمتتاليات القابلة للتبادل (المنتهية): إذا${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$قابل للاستبدال بـ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {var} (X_{i})}$، ثم

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})\geq -{\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\quad {\text{for }}i\neq j.}$

يمكن إثبات نتيجة المتتالية المنتهية على النحو التالي. باستخدام حقيقة أن القيم قابلة للتبادل، لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \operatorname {var} (X_{1}+\cdots +X_{n})\\&=\operatorname {var} (X_{1})+\cdots +\operatorname {var} (X_{n})+\underbrace {\operatorname {cov} (X_{1},X_{2})+\cdots \quad {}} _{\text{all ordered pairs}}\\&=n\sigma ^{2}+n(n-1)\operatorname {cov} (X_{1},X_{2}).\end{aligned}}}$

يمكننا بعد ذلك حل المتباينة لإيجاد التغاير، مما ينتج عنه الحد الأدنى المذكور. ويمكن استنتاج عدم سلبية التغاير للمتتالية اللانهائية كنتيجة نهائية من نتيجة المتتالية المنتهية هذه.

يتحقق تساوي الحد الأدنى للمتتاليات المنتهية في نموذج الجرة البسيط: تحتوي الجرة على كرة حمراء واحدة و n − 1 كرة خضراء، ويتم سحبها عشوائيًا دون إرجاع حتى تصبح الجرة فارغة. لنفترض أن X _i = 1 إذا تم سحب الكرة الحمراء في المحاولة رقم i، و 0 خلاف ذلك. لا يمكن تمديد متتالية منتهية تحقق الحد الأدنى للتغاير إلى متتالية قابلة للتبادل أطول. ^{[ 11 ]}    

• أي توليفة محدبة أو توزيع خليط من متواليات مستقلة ومتطابقة التوزيع من المتغيرات العشوائية قابلة للتبادل. وعكس هذه الفرضية هو نظرية دي فينيتي . ^{[ 12 ]}
• لنفترض أن الجرة تحتوي على${\displaystyle n}$أحمر و${\displaystyle m}$لنفترض أن الكرات الزرقاء تُسحب دون إرجاع حتى يصبح الإناء فارغًا.${\displaystyle X_{i}}$ليكن المتغير العشوائي المؤشر للحدث الذي${\displaystyle i}$الكرة الرخامية المسحوبة رقم - حمراء. ثم${\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n+m}}$هي متتالية قابلة للتبادل. لا يمكن تمديد هذه المتتالية إلى أي متتالية قابلة للتبادل أطول.
• لنفترض أن الجرة تحتوي على${\displaystyle n}$أحمر و${\displaystyle m}$لنفترض أيضًا أنه تم سحب كرة زجاجية من الجرة ثم إعادتها بكرة زجاجية إضافية من نفس اللون.${\displaystyle X_{i}}$ليكن المتغير العشوائي المؤشر للحدث الذي${\displaystyle i}$الكرة الرخامية المسحوبة رقم - حمراء. ثم${\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$هي متتالية قابلة للتبادل. يُطلق على هذا النموذج اسم جرة بوليا .
• يترك${\displaystyle (X,Y)}$لها توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات بمعاملات${\displaystyle \mu =0}$،${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=1}$ومعامل ارتباط عشوائي${\displaystyle \rho \in (-1,1)}$المتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تكون قابلة للتبادل، ولكنها مستقلة فقط إذا${\displaystyle \rho =0}$دالة الكثافة هي${\displaystyle p(x,y)=p(y,x)\propto \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}(x^{2}+y^{2}-2\rho xy)\right].}$

مستخرج فون نيومان هو مستخرج عشوائية يعتمد على قابلية التبادل: فهو يوفر طريقة لأخذ سلسلة قابلة للتبادل من الأصفار والآحاد ( تجارب برنولي )، باحتمالية p تساوي صفرًا و${\displaystyle q=1-p}$من 1، وإنتاج سلسلة قابلة للتبادل (أقصر) من 0 و 1 باحتمالية 1/2.

قسّم المتتالية إلى أزواج غير متداخلة: إذا كان العنصران في الزوج متساويين (00 أو 11)، فاستبعده؛ إذا كان العنصران في الزوج غير متساويين (01 أو 10)، فاحتفظ بالأول. ينتج عن هذا متتالية من تجارب برنولي مع${\displaystyle p=1/2,}$لأن احتمالات أن يكون الزوج المعطى 01 أو 10 متساوية، وذلك بحسب مبدأ التبادل.

تظهر المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل في دراسة إحصائيات U ، وخاصة في تحليل هوفدينغ. ^{[ 13 ]}

يُعد التبادل فرضية أساسية في طريقة الاستدلال غير المعتمدة على التوزيع للتنبؤ المطابق . ^{[ 14 ]}

• نظرية دي فينيتي
• قانون هيويت-سافاج الصفري الواحد
• إعادة أخذ العينات
• إعادة التوزيع (الإحصاء) §  اختبارات التبديل ، اختبارات إحصائية تعتمد على التبادل بين المجموعات

• ألدوس، ديفيد ج.، التبادلية والمواضيع ذات الصلة ، في: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XIII — 1983، ملاحظات محاضرة في الرياضيات. 1117، ص  1–198، سبرينغر، برلين، 1985. ISBN 978-3-540-15203-3doi : 10.1007/BFb0099421
• تشاو، يوان شيه وتيشر، هنري، نظرية الاحتمالات: الاستقلال، التبادلية، المارتينجالات، نصوص سبرينغر في الإحصاء، الطبعة الثالثة، سبرينغر، نيويورك، 1997. 488 صفحة + 22 صفحة تمهيدية. ISBN  0-387-98228-0
• داويد، أ. فيليب (2013). "قابلية التبادل وتداعياتها". في داميان، بول؛ وآخرون  (محررون). نظرية بايز وتطبيقاتها . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 19-30 . ISBN  978-0-19-969560-7.
• كالينبيرغ، أو. ، التناظرات الاحتمالية ومبادئ الثبات . سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك (2005). 510 صفحة. ISBN  0-387-25115-4.
• كينغمان، جيه إف سي، استخدامات التبادلية ، حوليات الاحتمالات 6 (1978) 83 – 197 MR 0494344 JSTOR 2243211  
• أونيل، ب. (2009) التبادلية، والارتباط، وتأثير بايز. المجلة الإحصائية الدولية 77(2) ، ص  241-250. ISBN 978-3-540-15203-3دوى : 10.1111/j.1751-5823.2008.00059.x
• تايلور، روبرت لي؛ دافر، بيتر زد؛ باترسون، رونالد إف (1985). نظريات النهايات لمجاميع  المتغيرات العشوائية القابلة للتبادل . روومان وألان هيلد. الصفحات 1-152 . ISBN  9780847674350.