العمل (الفيزياء)

على الرغم من أن مصطلح "العمل" لم يُستخدم رسميًا حتى عام 1826، إلا أن مفاهيم مشابهة كانت موجودة قبل ذلك. ومن بين الأسماء المبكرة لهذا المفهوم: لحظة النشاط، وكمية الفعل، والقوة الكامنة، والتأثير الديناميكي، والكفاءة ، وحتى القوة . ^{[ 5 ]} وفي عام 1637، كتب الفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت : ^{[ 6 ]}

رفع 100 رطل لمسافة قدم واحدة مرتين هو نفسه رفع 200 رطل لمسافة قدم واحدة، أو 100 رطل لمسافة قدمين.

في عام 1686، كتب الفيلسوف الألماني غوتفريد لايبنتز : ^{[ 7 ]}

إن نفس القوة ["العمل" بالمصطلحات الحديثة] ضرورية لرفع الجسم أ الذي يزن رطلاً واحداً (الميزان) إلى ارتفاع 4 ياردات (الزند)، كما هو ضروري لرفع الجسم ب الذي يزن 4 أرطال إلى ارتفاع ياردة واحدة.

في عام 1759، وصف جون سميتون كمية أطلق عليها اسم "القوة" للدلالة على بذل القوة أو الجاذبية أو الدفع أو الضغط، بهدف إحداث الحركة. ويضيف سميتون أن هذه الكمية يمكن حسابها بضرب الوزن المرفوع في الارتفاع الذي يمكن رفعه إليه في فترة زمنية محددة، مما يجعل هذا التعريف مشابهاً بشكل ملحوظ لتعريف كوريوليس . ^{[ 8 ]}

ظهر مصطلح الشغل (أو الشغل الميكانيكي )، واستخدام مبدأ الشغل والطاقة في الميكانيكا، بشكل مستقل في أواخر عشرينيات القرن التاسع عشر من قبل عالم الرياضيات الفرنسي غاسبار غوستاف كوريوليس وأستاذ الميكانيكا التطبيقية الفرنسي جان فيكتور بونسيليه . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} سعى كلا العالِمين إلى تطوير رؤية ميكانيكية مناسبة لدراسة ديناميكيات وقدرة الآلات، مثل محركات البخار التي ترفع دلاء الماء من مناجم الخام المغمورة. ووفقًا للمهندس والمؤرخ الفرنسي رينيه دوغاس، فإن الفضل في مصطلح الشغل، بالمعنى المستخدم حاليًا في الميكانيكا، يعود إلى سولومون دي كو . ^{[ 12 ]} سبق مفهوم الشغل الافتراضي ، واستخدام الطرق التباينية في الميكانيكا، ظهور مصطلح "الشغل الميكانيكي"، ولكنه كان يُسمى في الأصل "العزم الافتراضي". أُعيدت تسميته بعد اعتماد مصطلحات بونسيليه وكوريوليس. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

إن حساب الشغل كـ "القوة مضروبة في جزء المسار المستقيم" لا ينطبق إلا في أبسط الحالات، كما ذُكر سابقًا. إذا كانت القوة متغيرة، أو إذا كان الجسم يتحرك على مسار منحني، وربما يدور وليس بالضرورة أن يكون صلبًا، فإن مسار نقطة تأثير القوة فقط هو المهم لحساب الشغل المبذول، ومركبة القوة الموازية لسرعة نقطة التأثير فقط هي التي تبذل شغلًا (شغل موجب عندما يكون في نفس اتجاه السرعة، وسالب عندما يكون في الاتجاه المعاكس). يمكن وصف هذه المركبة من القوة بالكمية القياسية المسماة المركبة المماسية ( F cos( θ ) ، حيث θ هي الزاوية بين القوة والسرعة). ومن ثم، يمكن صياغة التعريف الأكثر عمومية للشغل على النحو التالي:

الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة هو التكامل الخطي لمكونها القياسي المماسي على طول مسار نقطة تطبيقها.

إذا كانت القوة متغيرة (مثل ضغط نابض)، فنحن بحاجة إلى استخدام حساب التفاضل والتكامل لإيجاد الشغل المبذول. إذا كانت القوة كمتغير لـ x معطاة بالصيغة F ( x ) ، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة على طول المحور x من _x1 إلى x2 هو _:

$${\displaystyle W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} .}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن الشغل المبذول لقوة متغيرة كتكامل محدد للقوة على الإزاحة. ^{[ 25 ]}

إذا كانت الإزاحة كمتغير زمني معطاة بالعلاقة ∆ x (t) ، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة المتغيرة من t ₁ إلى t ₂ هو:

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن العمل المنجز لقوة متغيرة على أنه تكامل محدد للقدرة على مر الزمن.

ينتج عزم الدوران عن قوتين متساويتين ومتعاكستين تؤثران على نقطتين مختلفتين من جسم صلب. قد تلغي محصلة هاتين القوتين بعضهما بعضًا، لكن تأثيرهما على الجسم هو عزم الدوران T. ويُحسب شغل عزم الدوران كما يلي: $${\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,}$$ حيث يمثل T ⋅ ω القدرة خلال اللحظة dt . ويعطي مجموع هذه الكميات الصغيرة من الشغل على مسار الجسم الصلب الشغل، $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.}$$ يتم حساب هذا التكامل على طول مسار الجسم الصلب بسرعة زاوية ω تتغير مع الزمن، وبالتالي يقال إنه يعتمد على المسار .

إذا حافظ متجه السرعة الزاوية على اتجاه ثابت، فإنه يأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,}$$ أين${\displaystyle \phi }$هي زاوية الدوران حول متجه الوحدة الثابت S. في هذه الحالة، يصبح شغل عزم الدوران، $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,}$$ حيث C هو المسار من${\displaystyle \phi (t_{1})}$ل${\displaystyle \phi (t_{2})}$يعتمد هذا التكامل على المسار الدوراني${\displaystyle \phi (t)}$وبالتالي فهو يعتمد على المسار.

إذا كان عزم الدوران${\displaystyle \tau }$يتماشى مع متجه السرعة الزاوية بحيث، $${\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,}$$ وإذا كان كل من عزم الدوران والسرعة الزاوية ثابتين، فإن الشغل يأخذ الشكل التالي، ^{[ 2 ]}$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).}$$

يمكن فهم هذه النتيجة ببساطة أكبر من خلال اعتبار عزم الدوران ناتجًا عن قوة ذات مقدار ثابت F ، يتم تطبيقها عموديًا على ذراع عزم على مسافة${\displaystyle r}$كما هو موضح في الشكل. ستؤثر هذه القوة على طول المسافة على طول القوس الدائري.${\displaystyle l=s=r\phi }$إذن، العمل المنجز هو $${\displaystyle W=Fs=Fr\phi .}$$ أدخل عزم الدوران τ = Fr ، لتحصل على $${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}$$ كما هو موضح أعلاه.

لاحظ أن مركبة عزم الدوران في اتجاه متجه السرعة الزاوية فقط هي التي تساهم في الشغل.

لذلك، فإن الشغل المبذول بواسطة قوة F على جسم يتحرك على طول منحنى C يُعطى بالتكامل الخطي : $${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,}$$ حيث يُحدد dx ( t ) المسار C، و v هي السرعة على طول هذا المسار. وبشكل عام، يتطلب هذا التكامل أن يكون المسار الذي تُحدد عليه السرعة، لذا يُقال إن حساب الشغل يعتمد على المسار.

يُعطي المشتق الزمني للتكامل الخاص بالشغل القدرة اللحظية، $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

إذا كان الشغل المبذول لقوة مطبقة مستقلاً عن المسار، فإن الشغل الذي تبذله هذه القوة، وفقًا لنظرية التدرج ، يُحدد دالة جهد تُحسب عند بداية ونهاية مسار نقطة التأثير. هذا يعني وجود دالة جهد U ( x ) يمكن حسابها عند النقطتين x ( t1 ) و x ( _{t2 )} للحصول على الشغل على أي مسار بين هاتين النقطتين. جرت العادة على تعريف هذه الدالة بإشارة سالبة بحيث يكون الشغل الموجب بمثابة انخفاض في الجهد ، أي$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}$$

تُسمى الدالة U ( x ) طاقة الوضع المرتبطة بالقوة المؤثرة. وتُسمى القوة المشتقة من هذه الدالة طاقة وضع محافظة . ومن أمثلة القوى التي تمتلك طاقة وضع: قوة الجاذبية وقوة الزنبرك.

في هذه الحالة، ينتج عن تدرج العمل $${\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,}$$ ويُقال إن القوة F "قابلة للاستنتاج من جهد كامن". ^{[ 26 ]}

لأن الجهد U يُحدد قوة F عند كل نقطة x في الفضاء، تُسمى مجموعة القوى هذه مجال قوة . تُحسب القدرة المؤثرة على جسم بواسطة مجال القوة من تدرج الشغل، أو الجهد، في اتجاه سرعة الجسم V.$${\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

في غياب القوى الأخرى، تُؤدي الجاذبية إلى تسارع ثابت نحو الأسفل لكل جسم يتحرك بحرية. بالقرب من سطح الأرض، يكون تسارع الجاذبية g = 9.8  م/ ^ث² ، وقوة الجاذبية المؤثرة على جسم كتلته m هي F _g = mg . من الملائم تخيّل أن قوة الجاذبية هذه مُركّزة في مركز كتلة الجسم.

إذا تم إزاحة جسم وزنه mg لأعلى أو لأسفل مسافة رأسية y ₂ − y ₁ ، فإن الشغل W المبذول على الجسم هو:

$${\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y}$$

حيث Fg _هي الوزن ( بالباوند-قوة بالوحدات الإمبراطورية، وبالنيوتن بالوحدات الدولية)، و Δy هو التغير في الارتفاع y . لاحظ أن الشغل المبذول بفعل الجاذبية يعتمد فقط على الحركة الرأسية للجسم. وجود الاحتكاك لا يؤثر على الشغل المبذول على الجسم بفعل وزنه .

لنفترض وجود نابض يؤثر بقوة أفقية F = (− kx , 0, 0) تتناسب مع انحرافه في الاتجاه x بغض النظر عن كيفية حركة الجسم. يُحسب شغل هذا النابض على جسم يتحرك على طول المنحنى X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) باستخدام سرعته v = ( v _x , v _y , v _z ) ، للحصول على $${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$$لتبسيط الحساب، إذا افترضنا أن التلامس مع الزنبرك يحدث عند الزمن t = 0 ، فإن تكامل حاصل ضرب المسافة x في السرعة x، أي xv _x dt ، بالنسبة للزمن t يساوي ½ x² ^. الشغل هو حاصل ضرب المسافة في قوة الزنبرك، والتي تعتمد بدورها على المسافة؛ ومن هنا تأتي النتيجة x² ^.

العمل${\displaystyle W}$ما يفعله جسم من الغاز بمحيطه هو:

$${\displaystyle W=\int _{a}^{b}P\,dV}$$

حيث P هو الضغط، و V هو الحجم، و a و b هما الحجمان الابتدائي والنهائي.

في حالة كون القوة المحصلة F ثابتة في كل من المقدار والاتجاه، وموازية لسرعة الجسيم، فإن الجسيم يتحرك بتسارع ثابت a على طول خط مستقيم. ^{[ 30 ]} تُعطى العلاقة بين القوة المحصلة والتسارع بالمعادلة F = ma ( قانون نيوتن الثاني )، ويمكن التعبير عن إزاحة الجسيم s بالمعادلة

$${\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$$

وهذا يتبع من${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$(انظر معادلات الحركة ).

يُحسب شغل القوة المحصلة كحاصل ضرب مقدارها في إزاحة الجسيم. وبالتعويض بالمعادلات السابقة، نحصل على:

$${\displaystyle W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

اشتقاق آخر: بواسطة $${\displaystyle W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

في الحالة العامة للحركة المستقيمة، عندما لا تكون القوة المحصلة F ثابتة في المقدار، ولكنها ثابتة في الاتجاه، وموازية لسرعة الجسيم، يجب تكامل الشغل على طول مسار الجسيم:

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).}$$

بالنسبة لأي قوة محصلة تؤثر على جسيم يتحرك على طول أي مسار منحني، يمكن إثبات أن شغلها يساوي التغير في الطاقة الحركية للجسيم من خلال اشتقاق بسيط مماثل للمعادلة أعلاه. يُعرف هذا بمبدأ الشغل والطاقة .

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

الهوية${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$يتطلب الأمر بعض العمليات الجبرية. من المتطابقة${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$والتعريف${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$ ويتبع ذلك

$${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .}$$

أما الجزء المتبقي من الاشتقاق أعلاه فهو مجرد حساب تفاضلي بسيط، كما هو الحال في الحالة المستقيمة السابقة.

في ديناميكا الجسيمات، تُستنتج صيغةٌ تربط الشغل المبذول على نظامٍ ما بتغير طاقته الحركية، وذلك من خلال التكامل الأول لقانون نيوتن الثاني للحركة . ومن المفيد ملاحظة أن القوة المحصلة المستخدمة في قوانين نيوتن يُمكن فصلها إلى قوى تؤثر على الجسيم وقوى تُفرض قيودًا على حركته. والجدير بالذكر أن شغل قوة القيد يساوي صفرًا، لذا لا يلزم في مبدأ الشغل والطاقة إلا شغل القوى المؤثرة.

لتوضيح ذلك، تخيل جسيمًا P يتحرك على المسار X ( t ) تحت تأثير قوة F. اعزل الجسيم عن محيطه لتظهر قوى التقييد R ، عندها يأخذ قانون نيوتن الشكل التالي:

$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}$$

حيث m هي كتلة الجسيم.

لنفترض حالة مركبة تتحرك على مسار أفقي مستقيم تحت تأثير قوة دافعة وقوة جاذبية مجموعهما F. تحدد قوى التقييد بين المركبة والطريق R ، ولدينا

$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$

لتبسيط الحسابات، لنفترض أن المسار على طول المحور السيني، أي X = ( d , 0) والسرعة V = ( v , 0) ، وبالتالي R ⋅ V = 0 ، و F ⋅ V = F _x v ، حيث F _x هي مركبة F على طول المحور السيني.

$${\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}$$

ينتج عن دمج كلا الجانبين $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$ إذا كانت F _x ثابتة على طول المسار، فإن تكامل السرعة يساوي المسافة، لذا

$${\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$

كمثال، لنفترض سيارة تنزلق حتى تتوقف، حيث k هو معامل الاحتكاك و w هو وزن السيارة. عندئذٍ، تكون القوة على طول مسار الانزلاق F _x = − kw . ويمكن تحديد سرعة السيارة v من طول الانزلاق s باستخدام مبدأ الشغل والطاقة.

$${\displaystyle kws={\frac {w}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}$$

تعتمد هذه الصيغة على حقيقة أن كتلة المركبة هي m = w / g .

لنفترض مركبة تبدأ حركتها من السكون وتنزلق على سطح مائل (مثل طريق جبلي)، فإن مبدأ الشغل والطاقة يساعد في حساب أقصر مسافة تقطعها المركبة للوصول إلى سرعة V ، ولنقل 60 ميلاً في الساعة (27 متراً في الثانية) . ستؤدي مقاومة التدحرج ومقاومة الهواء إلى إبطاء المركبة، لذا ستكون المسافة الفعلية أكبر مما لو تم إهمال هاتين القوتين.  

لنفترض أن مسار المركبة على الطريق هو X ( t )، وهو منحنى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. القوة المؤثرة على المركبة والتي تدفعها على الطريق هي قوة الجاذبية الثابتة F = (0, 0, w ) ، بينما قوة الطريق المؤثرة على المركبة هي قوة القيد R. ينص قانون نيوتن الثاني على ما يلي:

$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$

ينتج عن الضرب القياسي لهذه المعادلة مع السرعة، V = ( v _x , v _y , v _z ) ،

$${\displaystyle wv_{z}=m{\dot {V}}V,}$$

حيث V هي مقدار V. تُحذف قوى التقييد بين المركبة والطريق من هذه المعادلة لأن R ⋅ V = 0 ، مما يعني أنها لا تبذل شغلاً. بتكامل الطرفين نحصل على

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$$

قوة الوزن w ثابتة على طول المسار، وتكامل السرعة الرأسية هو المسافة الرأسية؛ لذلك،

$${\displaystyle w\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}$$

تذكر أن V ( t ₁ ) = 0. لاحظ أن هذه النتيجة لا تعتمد على شكل الطريق الذي تسلكه المركبة.

لتحديد المسافة على طول الطريق، افترض أن الانحدار 6%، وهو طريق شديد الانحدار. هذا يعني أن الارتفاع ينخفض ​​بمقدار 6 أقدام لكل 100 قدم يتم قطعها - بالنسبة للزوايا الصغيرة كهذه، تكون دالتا الجيب والظل متساويتين تقريبًا. لذلك، فإن المسافة s بالأقدام على منحدر 6% للوصول إلى السرعة V هي على الأقل

$${\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .}$$

تعتمد هذه الصيغة على حقيقة أن وزن المركبة هو w = mg .