صيغة فا دي برونو

صيغة فا دي برونو هي متطابقة رياضية تُعمم قاعدة السلسلة لتشمل المشتقات العليا. سُميت نسبةً إلى فرانشيسكو فا دي برونو ( 1855 ، 1857 ) ، مع أنه لم يكن أول من صاغها أو برهنها. ففي عام 1800، أي قبل فا دي برونو بأكثر من 50 عامًا، كان عالم الرياضيات الفرنسي لويس فرانسوا أنطوان أربوغاست قد ذكر الصيغة في كتاب مدرسي في حساب التفاضل والتكامل، ^[¹^] والذي يُعتبر أول مرجع منشور في هذا الموضوع. ^[²^]

لعلّ أشهر صيغة لفا دي برونو تقول:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\cdots m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot {}

f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot {}

\prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}

،

حيث يكون المجموع شاملاً $n$ - صفوف من الأعداد الصحيحة غير السالبة $(m_{1},\ldots ,m_{n})$ تلبية القيد $1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.$ أحيانًا، ولإعطائها نمطًا لا يُنسى، تُكتب بطريقة تكون فيها المعاملات التي لها التفسير التوافقي الذي نناقشه أدناه أقل وضوحًا:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {}

f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot {}

\prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}

.

بدمج المصطلحات ذات القيمة نفسها $m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k$ ولاحظ ذلك $m_{j}$ يجب أن يكون صفرًا لـ $j>n-k+1$ ويؤدي ذلك إلى صيغة أبسط نوعًا ما معبر عنها بدلالة كثيرات حدود بيل الأسية الجزئية (أو غير الكاملة) $B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})$ :

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot {}

B_{n,k}{\bigl (}g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x){\bigr )}

.

هذه الصيغة فعالة للجميع $n\geq 0$ لكن بالنسبة لـ $n>0$ كثيرات الحدود $B_{n,0}$ تكون القيم صفرًا، وبالتالي يمكن أن يبدأ الجمع في الصيغة بـ $k=1$ .

التوافقي

الصيغة لها شكل "توافقي":

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)

أين

$\pi$ يمر عبر المجموعة $\Pi$ من جميع أقسام المجموعة $\{1,\ldots ,n\}$ ،
" $B\in \pi$ " تعني المتغير $B$ يستعرض قائمة جميع "الكتل" الخاصة بالقسم $\pi$ ، و
$|A|$ يشير إلى عدد عناصر المجموعة $A$ (لهذا السبب $|\pi |$ يمثل عدد الكتل في القسم $\pi$ و $|B|$ حجم الكتلة $B$ ).

مثال

فيما يلي شرحٌ مُفصّل للصيغة التوافقية لـ $n=4$ قضية.

{\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}

النمط هو:

{\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}

العامل $g''(x)g'(x)^{2}$ يتوافق هذا مع تجزئة العدد الصحيح 4 إلى 2 + 1 + 1، وذلك بشكل واضح. العامل $f'''(g(x))$ يتوافق ذلك مع حقيقة وجود ثلاثة حدود في هذا التقسيم. ويتوافق المعامل 6 المصاحب لهذه العوامل مع حقيقة وجود ستة تقسيمات بالضبط لمجموعة من أربعة عناصر، بحيث تقسمها إلى جزء واحد بحجم 2 وجزأين بحجم 1.

وبالمثل، فإن العامل $g''(x)^{2}$ في السطر الثالث، يُمثل ذلك تجزئة العدد الصحيح 4 إلى 2 + 2 (4، لأننا نجد المشتقة الرابعة)، بينما $f''(g(x))$ يتوافق ذلك مع حقيقة وجود حدين (2 + 2) في هذا التقسيم. ويتوافق المعامل 3 مع حقيقة وجود ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$ طرق تقسيم 4 كائنات إلى مجموعات من 2. وينطبق المفهوم نفسه على الكائنات الأخرى.

فيما يلي مخطط يسهل تذكره:

{\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}

الاختلافات

النسخة متعددة المتغيرات

يترك $y=g(x_{1},\dots ,x_{n})$ إذن، تبقى المتطابقة التالية صحيحة بغض النظر عما إذا كان $n$ المتغيرات إما متميزة، أو متطابقة، أو مقسمة إلى عدة فئات مميزة من المتغيرات غير القابلة للتمييز (إذا بدا الأمر غامضًا، فانظر المثال الملموس أدناه): ^{[ 3 ]}

{\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}

حيث (كما سبق)

$\pi$ يمر عبر المجموعة $\Pi$ من جميع أقسام المجموعة $\{1,\ldots ,n\}$ ،
" $B\in \pi$ " تعني المتغير $B$ يستعرض قائمة جميع "الكتل" الخاصة بالقسم $\pi$ ، و
$|A|$ يشير إلى عدد عناصر المجموعة $A$ (لهذا السبب $|\pi |$ يمثل عدد الكتل في القسم $\pi$ و

$|B|$ حجم الكتلة $B$ ).

توجد صيغ أكثر عمومية للحالات التي تكون فيها جميع الدوال متجهة، بل وحتى ذات قيم في فضاء باناخ . في هذه الحالة، يجب النظر في مشتقة فريشيه أو مشتقة جاتو .

مثال

تتوافق الحدود الخمسة في التعبير التالي بشكل واضح مع التقسيمات الخمسة للمجموعة $\{1,2,3\}$ وفي كل حالة، رتبة مشتقة $f$ عدد الأجزاء في القسم:

{\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}

إذا كانت المتغيرات الثلاثة غير قابلة للتمييز عن بعضها البعض، فإن ثلاثة من الحدود الخمسة المذكورة أعلاه غير قابلة للتمييز عن بعضها البعض أيضًا، وعندها نحصل على الصيغة الكلاسيكية ذات المتغير الواحد.

إصدار سلسلة الطاقة الرسمي

يفترض $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}$ و $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}$ هي متسلسلات قوى رسمية و $b_{0}=0$ .

ثم التركيب $f\circ g$ وهي مرة أخرى سلسلة قوى رسمية ،

f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},

أين $c_{0}=a_{0}$ والمعامل الآخر $c_{n}$ ل $n\geq 1$ يمكن التعبير عنها كمجموع على تركيبات من $n$ أو كمجموع مكافئ على تجزئات الأعداد الصحيحة لـ $n$ :

c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},

أين

{\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}

هي مجموعة تركيبات $n$ مع $k$ يشير إلى عدد الأجزاء،

أو

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},

أين

{\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}

هي مجموعة تقسيمات $n$ داخل $k$ الأجزاء، في شكل تكرار الأجزاء.

يتم الحصول على الشكل الأول عن طريق اختيار معامل $x^{n}$ في $(b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}$ "عن طريق الفحص"، ويتم الحصول على الشكل الثاني من خلال جمع الحدود المتشابهة، أو بدلاً من ذلك، عن طريق تطبيق نظرية الحدود المتعددة .

الحالة الخاصة $f(x)=e^{x}$ ، $g(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n!}}a_{n}x^{n}$ تعطي الصيغة الأسية . الحالة الخاصة $f(x)=1/(1-x)$ ، $g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}$ يُعطي تعبيرًا عن مقلوب متسلسلة القوى الرسمية $\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}$ في هذه الحالة $a_{0}=1$ .

يقدم ستانلي ^{[ 4 ]} صيغة لمتسلسلات القوى الأسية. في متسلسلة القوى الرسمية

f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},

لدينا $n$ المشتقة عند 0:

f^{(n)}(0)=a_{n}.

لا ينبغي تفسير هذا على أنه قيمة دالة، لأن هذه المتسلسلات شكلية بحتة؛ لا يوجد شيء اسمه التقارب أو التباعد في هذا السياق.

لو

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}

و

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}

و

g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},

ثم المعامل $c_{n}$ (والذي سيكون $n$ المشتقة من $h$ (تُقيّم عند 0 إذا كنا نتعامل مع متسلسلات متقاربة بدلاً من متسلسلات القوى الرسمية) تُعطى بواسطة

c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}

أين $\pi$ يمر عبر مجموعة جميع أقسام المجموعة $\{1,\ldots ,n\}$ و $B_{1},\ldots ,B_{k}$ هي كتل التقسيم $\pi$ ، و $|B_{j}|$ هو عدد أعضاء $j$ الكتلة رقم th، لـ $j=1,\ldots ,k$ .

هذه النسخة من الصيغة مناسبة بشكل خاص لأغراض التوافقية .

يمكننا أيضًا الكتابة وفقًا للرموز المذكورة أعلاه

g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},

أين $B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})$ هي كثيرات حدود بيل .

حالة خاصة

لو $f(x)=e^{x}$ ثم جميع مشتقات $f$ هي نفسها وعامل مشترك بين كل مصطلح:

{d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),

أين $B_{n}(x)$ هي متعددة الحدود الأسية الكاملة من الرتبة n من نوع بيل .

في حالة $g(x)$ إذا كانت دالة توليد العزوم التراكمية ، فإن $f(g(x))$ هي دالة توليد العزوم ، ومتعددة الحدود في مشتقات مختلفة من $g$ هي متعددة الحدود التي تعبر عن العزوم كدوال للمتراكمات .

انظر أيضاً

قاعدة السلسلة – صيغة في حساب التفاضل والتكامل
تفاضل الدوال المثلثية – العملية الرياضية لإيجاد مشتقة الدالة المثلثية
قواعد التفاضل – قواعد حساب مشتقات الدوال
قاعدة لايبنتز العامة – تعميم لقاعدة الضرب في حساب التفاضل والتكامل
الدوال العكسية والتفاضل – صيغة مشتقة الدالة العكسية. صفحات تعرض وصفًا موجزًا لأهداف إعادة التوجيه.
نظرية لاغرانج العكسية – صيغة لعكس متسلسلة تايلور
خطية التفاضل - خاصية حساب التفاضل والتكامل
قاعدة الضرب – صيغة مشتقة الضرب
جدول المشتقات – قواعد حساب مشتقات الدوال. صفحات تعرض وصفًا موجزًا لأهداف إعادة التوجيه.
متطابقات حساب المتجهات - المتطابقات الرياضية

ملحوظات

↑ ( أربوغاست 1800 ) .
↑ وفقًا لكريك (2005 ، ص 120-122) : انظر أيضًا تحليل عمل أربوغاست بواسطة جونسون (2002 ، ص 230) .
↑ هاردي، مايكل (2006). "توافقية المشتقات الجزئية" . المجلة الإلكترونية للتوافقية . 13 (1): R1. doi : 10.37236/1027 . S2CID 478066 .
↑ انظر "الصيغة التركيبية" في الفصل 5 من كتاب ستانلي، ريتشارد ب. (1999) [1997]. التوافقية العددية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-55309-4.

مراجع

دراسات ومقالات تاريخية

بريغاليا، ألدو (2004)، “L’Opera Matematica”، في جياكاردي، ليفيا (محرر)، فرانشيسكو فا دي برونو. البحث العلمي في الإرشادات والإفصاح والدراسة والخطوط لقصة جامعة تورينو (باللغة الإيطالية)، المجلد. الثاني عشر، تورينو : Deputazione Subalpina di Storia Patria، الصفحات من 111 إلى 172 " العمل الرياضي " عبارة عن مقال عن النشاط الرياضي، يصف كلاً من البحث والنشاط التدريسي لفرانشيسكو فا دي برونو.
كريك، أليكس د.د. (فبراير 2005)، "تاريخ ما قبل صيغة فا دي برونو"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 112 (2): 217-234 ، doi : 10.2307/30037410 ، JSTOR 30037410 ، MR 2121322 ، Zbl 1088.01008 .
جونسون، وارن ب. (مارس 2002)، "التاريخ الغريب لصيغة فا دي برونو" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 109 (3): 217-234 ، CiteSeerX 10.1.1.109.4135 ، doi : 10.2307/2695352 ، JSTOR 2695352 ، MR 1903577 ، Zbl 1024.01010 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 11 أبريل 2021 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مايو 2018 .

الأعمال البحثية

Arbogast, LFA (1800)، Du calcul des Derivations [ في حساب التفاضل والتكامل للمشتقات ] (بالفرنسية)، ستراسبورغ: Levrault، ص. xxiii+404متوفر مجاناً بالكامل من كتب جوجل .
Faà di Bruno, F. (1855)، "Sullo sviluppo delle funzioni" [ حول تطوير الوظائف ] ، Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (باللغة الإيطالية)، 6 : 479– 480، LCCN 06036680 متاح مجاناً بالكامل من كتب جوجل . ورقة بحثية معروفة يقدم فيها فرانشيسكو فا دي برونو نسختين من الصيغة التي تحمل اسمه الآن، نُشرت في المجلة التي أسسها بارنابا تورتوليني .
Faà di Bruno, F. ( 1857)، “Note sur une nouvelle formule de calcul Differentiel” [ حول صيغة جديدة لحساب التفاضل والتكامل ] ، المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية (بالفرنسية)، 1 : 359–360متاح مجاناً بالكامل من كتب جوجل .
Faà di Bruno, Francesco (1859)، Théorie générale de l'élimission [ نظرية القضاء العامة ] (بالفرنسية)، باريس: Leiber et Faraguet، ص. x+224متاح مجاناً بالكامل من كتب جوجل .
فلاندرز، هارلي (2001) "من فورد إلى فا"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 108(6): 558-61 doi : 10.2307/2695713
فرانكل، ل. إي. (1978)، "صيغ للمشتقات العليا للدوال المركبة"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 83 (2): 159-165 ، Bibcode : 1978MPCPS..83..159F ، doi : 10.1017/S0305004100054402 ، MR 0486377 ، S2CID 121007038 ، Zbl 0388.46032 .
كرانتز، ستيفن ج . باركس، هارولد ر. (2002)، كتاب تمهيدي للوظائف التحليلية الحقيقية ، نصوص بيركهاوزر المتقدمة - باسلر ليربوشر ( الطبعة الثانية)، بوسطن: بيركهاوزر فيرلاغ ، ص. الرابع عشر + 205، ISBN 978-0-8176-4264-8، MR 1916029 ، Zbl 1015.26030
بورتيوس، إيان ر. (2001)، "الفقرة 4.3: صيغة فا دي برونو" ، التفاضل الهندسي ( الطبعة الثانية)، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 83-85 ، ISBN 978-0-521-00264-6، MR 1871900 ، Zbl 1013.53001 .
TA، (Tiburce Abadie، JFC) (1850)، "Sur la différentiation des fonctions de fonctions" [ حول اشتقاق الوظائف ] ، Nouvelles annales de mathmatiques، Journal des candidats aux écoles polytechnique et Normale ، Série 1 ( بالفرنسية)، 9 : 119–125{{citation}}CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) , available at NUMDAM . هذه الورقة، وفقًا لجونسون (2002 ، ص 228)، هي إحدى الأوراق التمهيدية لـ Faà di Bruno 1855 : لاحظ أن المؤلف يوقع فقط بـ "TA"، ونسبة العمل إلى JFC Tiburce Abadie تعود مرة أخرى إلى جونسون.
A., (Tiburce Abadie, JFC) (1852)، "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski" [ حول اشتقاق الوظائف. سلسلة بورمان ولاغرانج ورونسكي. ] , Nouvelles Annales de Mathématiques, Journal des Candidats aux écoles Polytechnique et Normale , Série 1 ( باللغة الفرنسية), 11 : 376–383{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) , available at NUMDAM . هذه الورقة، وفقًا لجونسون (2002 ، ص 228)، هي إحدى الأوراق التمهيدية لـ Faà di Bruno 1855 : لاحظ أن المؤلف يوقع فقط بـ "A."، ونسبة العمل إلى JFC Tiburce Abadie تعود مرة أخرى إلى جونسون.

روابط خارجية

وايسستين ، إريك دبليو. “صيغة فاء دي برونو” . عالم الرياضيات .

[1] ( أربوغاست 1800 ) .

[2] وفقًا لكريك (2005 ، ص 120-122) : انظر أيضًا تحليل عمل أربوغاست بواسطة جونسون (2002 ، ص 230) .

[3] هاردي، مايكل (2006). "توافقية المشتقات الجزئية" . المجلة الإلكترونية للتوافقية . 13 (1): R1. doi : 10.37236/1027 . S2CID 478066 .

[4] انظر "الصيغة التركيبية" في الفصل 5 من كتاب ستانلي، ريتشارد ب. (1999) [1997]. التوافقية العددية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-55309-4.

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]